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1、北京 2022-2023 学年高一上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共 8 道小题，每小题 4 分，满分 32 分.）1若a，b是实数，则“2a”是“24a”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由a，b是实数，知：“2a”“24a”，“24a”“2a 或2a ”，“2a”是“24a”的充分不必要条件【答案】A 2下列各组函数是同一函数的是()A|xyx与1y B2(1)yx与1yx C2xyx与yx D321xxyx与yx【解析】针对选项|:xA yx的定义域为|0 x x，函数1y 的定义域为xR，故错误 对于选项2:(1)|1|B y
2、xx和函数1yx不相等，故错误 对于选项2:xC yx的定义域为|0 x x，函数yx的定义域为xR，故错误 对于选项32:1xxD yx的定义域为xR，函数yx的定义域为xR，故正确【答案】D 3命题“对任意xR，都有20 x”的否定为()A对任意xR，都有20 x B不存在xR，都有20 x C存在0 xR，使得200 x D存在0 xR，使得200 x 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意xR，都有20 x”的否定为存在0 xR，使得200 x 【答案】D 4向一个圆台形的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随着时间t变化
3、的函数为()yf t，则以下函数图像中，可能是()yf t的图像的是()A B C D【解析】由圆台形的容器形状可知，其下底半径比上底半径小，则函数的变化率越来越慢，由选项可知，只有选项A符合题意【答案】A 5已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是()Abaca B2cab Cccba D|b ca c【解析】（法1)根据数轴可得0cba且|cba，对于A：因为cb，0a，所以cac，bab，则cacba，即caba，故A错误；对于B：因为0cba，|cba，所以222cba，且2bab，所以22cbab，则2cab，故B错误；对于C：因为0ba，所以11ba，则cc
4、ba，故C错误；对于D：因为|ba，且0c，所以|b ca c，故D正确，（法2)不妨令5c ，4b ，1a ，则63caba ，故A错误；2254cab，故B错误；554ccba，故C错误【答案】D 6已知定义域为R的奇函数()f x在(,0)单调递减，且f（2）0，则满足()0 xf x的x的取值范围是()A(，22，)B 2，2 C 2，0)(0，2 D 2，0)2，)【解析】定义域为R的奇函数()f x在(,0)单调递减，可得()()fxf x，且()f x在(0,)上是减函数，因为f（2）0，所以(2)ff（2）0，且(0)0f，由()0 xf x，可得0 x 时成立；当0 x 时，
5、()0f xf（2），解得02x；当0 x 时，()0(2)f xf，解得20 x 综上可得，22x【答案】B 7已知函数(3)5,1()2,1axxf xaxx是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0,2)B(0，2 C(0,3)D(0，3【解析】因为()f x为R上的减函数，所以1x时，()f x递减，即30a，1x 时，()f x递减，即0a，且(3)15 2aa，联立解得，02a【答案】B 8设函数()f x在(,)上有意义，且对于任意的x，yR，有|()()|f xf yxy并且函数(1)f x 的对称中心是(1,0)，若函数()()g xf xx，则不等式2(2)(2)0gx
6、xg x的解集是()A(，1)(2，)B(1,2)C(，1(2,)D(1,2)【解析】由函数(1)f x 的对称中心是(1,0)，可得()f x的图象关于(0,0)对称即()f x为奇函数，()()fxf x，()()g xf xx，()()g xf xx，()()()()gxfxxf xxg x ，对于任意的x，yR，有|()()|f xf yxy，|()()()|g xg yxyxy，|()()()|1|g xg yxyxy，即()()|1|1g xg yxy，()()02g xg yxy，即()0g x，()g x单调递增，2(2)(2)0gxxg x，2(2)(2)(2)gxxg xg
7、x，222xxx，整理可得，2320 xx，解可得2x 或1x 【答案】A 二、填空题（本大题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分.）9已知集合|1Ax x，|Bx xa，若AB，则实数a的取值范围是 【解析】集合|1Ax x，|Bx xa，若AB，则1a【答案】(，1 10某班“数学兴趣小组”对函数22|(yxxa a 为常数）的图象和性质进行了探究，探究的部分过程如下，请补充完整（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x 3 52 2 1 0 1 2 52 3 y 2 14 m 2 1 2 1 14 2 其中，m （2）根据如表数据，在如图所示的平面直角坐标
8、系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分 观察函数图象发现：函数的值域为 【解析】（1）由对应值列表可知，当3x 时，2y ，则2(3)2|3|2a ，解得1a，则22|1yxx，当2x 时，2(2)2|2|11m ；（2）图象如下：函数的值域为(，2【答案】（1）1；（2）图象见解答；(，2 11若关于x的不等式组2142xaxa 解集不是空集，则实数a的取值范围是 【解析】解2142xaxa 得：2124axa；不等式的解集不是空集；2124aa；解得13a；实数a的取值范围是(1,3)【答案】(1,3)12函数2()241f xxx，()2g xxa，若存在1x，21
9、2x，1，使得12()()f xg x，则a的取值范围是 【解析】因为函数22()2412(1)1f xxxx，当11,12x 时，函数单调递减，则1()1f x ，12，函数()2g xxa在12，1上单调递增，所以2()1g xa，2a，若存在1x，212x，1，使得12()()f xg x，则 1，112a，2a，当 1，112a，2a 时，只需112a 或21a，解得32a 或3a ，所以当 1，112a，2a 时，332a，即实数a的范围为 3，32【答案】3，32 三、解答题（本大题共 4 道小题，每小题 12 分，共 48 分.）13（12 分）已知UR且|16Axx，|2|1B
10、xx求：（1）AB和AB；（2）()()UUAB 解：（1）|2|1|2 1Bxxx x或21|3xx x或1x，又|16Axx，所以|11ABxx 或36x，ABR（2）|1UAx x或6x，|13UBxx，所以()()UUAB 14（12 分）已知二次函数()f x的图象过原点，满足(1)(1)fxfx且最小值为1（1）求()f x的解析式；（2）若函数()f x在区间a，1a 上单调，求实数a的取值范围 解：（1）因为函数的图象过原点，则可设函数的解析式为2()(0)f xaxbx a，由(1)(1)fxfx可得函数的对称轴为1x，则12ba，且f（1）1，即1ab，解得1a，2b ，所
11、以函数的解析式为2()2f xxx；（2）因为函数()f x在区间a，1a 上单调，则1a或1 1a，解得1a或0a，即实数a的范围为(，01，)15（12 分）一元二次方程210 xmxm 有两实根1x，2x（1）求m的取值范围；（2）求12x x的最值 解：（1）一元二次方程210 xmxm 有两实根1x，2x，(m2)4(m1)0，从而解得：2m，(m，2)(2，)（2）一元二次方程x2mx m10 有两实根1x，2x，由根与系数关系得：121x xm，(m，2)(2，)1(m ，1)(1，)，无最值 16（12 分）已知函数4()f xxx（1）判断函数()f x的奇偶性；（2）指出该
12、函数在区间(0，2上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数(),0()5,0(),0f x xg xxf x x，当 1x，t时()g x的取值范围是5，)，求实数t的取值范围（只需写出答案）解：（1）因为函数4()f xxx的定义域为(，0)(0，)，所以(x，0)(0，)时，(x ，0)(0，)，函数4()f xxx的定义域关于原点对称，因为4()()fxxf xx ，所以()f x是奇函数（2）函数()f x在区间(0，2上是减函数，证明：任取1x，2(0 x，2，且1202xx，12121212()(4)()()xxx xf xf xx x，因为1202xx，所以220 x，
13、120 x，所以124x x，所以1240 x x，又因120 xx，120 x x，所以12121212()(4)()()0 xxx xf xf xx x，所以12()()f xf x，所以函数()f x在区间(0，2上是减函数（3）实数t的取值范围为0，1 四、附加题.（本小题满分 14 分）17（14 分）已知数集1Aa，2a，12(1nnaaaa，2)n具有性质P：对任意的(2)kk n，i，(1)ji j n，使得kijaaa成立（1）分别判断数集1，3，4与1，2，3，6是否具有性质P，并说明理由；（2）若36na，求A中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A；
14、（3）求证：1212(2)nnaaaan（1）解：因为31 1，所以数集1，3，4不具有性质P，因为21 1，312，633，所以数集1，2，3，6具有性质P；（2）解：由11a，2122aa，所以A的元素都是整数，构造1A，2，3，6，9，18，36或1A，2，4，5，9，18，36具有性质P，此时元素和为 75 且是最小值；假设7ia，1ja，此时集合中至少需要一个大于等于 4 的元素ka，才能得到 7，所以A中所有元素的和大于 76，假设6ia，2ja，同上，当5ia，3ja，此时集合为1A，2，3，6，9，18，36，所以A中所有元素的和最小，最小值为 75；当4ijaa，此时1A，2，4，5，9，18，36，所以A中所有元素的和最小，最小值为 75；（3）证明：因为集合1Aa，2a，na具有性质:P，即对性质的(2)kk n，使得kijaaa成立，又因为121na aa，2n，所以ikaa，jkaa，所以1ikaa，1jkaa，所以12kijkaaaa，即na，ia，ja，122nnaa，232nnaa，322aa，212aa，将上述不等式相加得：211212()nnnaaaaaa，所以1212(2)nnaaaan