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数论综合测试1.求所有的正整数 k,n 使得k!=ni=1(2n 2i1).2.设 n 为合数.证明:对任意正整数b,bn 1b 1不为某个素数的幂.3.给定两两不同的正整数a1,a2,.,ak.记A=x|存在正整数i=j,使得x=(ai,aj)或x=ai,aj.求|A|的最小值.4.证明:对于任意素数 p 和不全相等的正整数 b1,b2,.bp,存在正整数k,使得(b1+k)(b2+k)(bp+k)不是正整数的方幂(即形如 ab的数,其中 b 2).5.定义 rad(n)如下:rad(1)=1,若 n 1,则 rad(n)表示 n 所有素因子的乘积.已知数列an 满足:a1为正整数,且对任意正整数 n,an+1=an+rad(an).证明:无论 a1如何取值,该数列中都存在连续 2020 项构成等差数列.6.给定大于 1 的正整数 n,k.设 P(x)为 n 次整系数多项式,定义Q(x)=P(P(P(P(x),即 P(x)迭代 k 次所得的多项式.考虑方程 Q(x)=x,设其整数根个数的最大可能值为f(n,k).(1)证明:若 u 为该方程的一个整数根,则 P(P(u)=u.(2)证明:若 u,v 为该方程的两个整数根,且 P(u)=u,则 P(u)+u=P(v)+v.(3)证明:f(n,k)=n.1