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1、 江西省吉安市第一中学 2019-2020 学年高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共 12 小题）1.若A，B表示点，a表示直线，表示平面，则下列叙述中正确的是（）A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 2.已知正三角形ABC的边长为 2，那么ABC的直观图ABC的面积为（）A.B.C.D.3.已知an是公差为 1 的等差数列，Sn为an的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A.B.C.10 D.12 4.化简方程=10 为不含根式的形式是（）A.B.C.D.5.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A.B.C.或 D.以上答案都不对
2、 6.若x，y满足，则的最大值为（）A.0 B.2 C.D.1 7.与直线xy40 和圆x2+y2+2x2y0 都相切的半径最小的圆的方程是（）A.B.C.D.8.设F1、F2是椭圆E：+=1（ab0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则E的离心率为（）A.B.C.D.9.设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点()A.必在圆外 B.必在圆上 C.必在圆内 D.以上三种情形都有可能 10.已知P（-4，-4），Q是椭圆x2+2y2=16 上的动点，M是线段PQ上的点，且满足PM=MQ，则动点M的轨迹方程是（）A.B.C.D.11.直线ykx
3、+1，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是（）A.4 B.2 C.D.不能确定 12.若对圆（x-1）2+（y-1）2=1 上任意一点P（x，y），|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（）A.B.C.或 D.二、填空题（本大题共 4 小题）13.椭圆短轴的长为 8,则实数_ 14.已知直线l:与圆交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则_.15.已知点P是椭圆+1 上一点，其左、右焦点分别为F1、F2，若F1PF2的外接圆半径为 4，则F1PF2的面积是 16.已知从圆C：（x+1）2+（y2）22 外一点P（x1，y1）向该圆
4、引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为 三、解答题（本大题共 6 小题）17.已知两直线l1：ax-by+4=0，l2：（a-1）x+y+b=0求分别满足下列条件的a，b的值（1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等 18.求以原点O为圆心,被直线所得的弦长为的圆的方程 求与圆外切于点且半径为的圆的方程 19.已知圆的方程为（）求过点且与圆相切的直线的方程；（）圆有一动点，若向量，求动点的轨迹方程 20.已知椭圆C：（ab0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离
5、为（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值 21.过点M（4，3）的动直线l交x轴的正半轴于A点，交y轴正半轴于B点（）求OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，并求取得最小值时直线l的方程（）设P是OAB的面积S取得最小值时OAB的内切圆上的动点，求 u=|PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围 22.已知椭圆C中心在坐标原点，焦点在x轴上，且过点P，直线l与椭圆交于A，B两点（A，B两点不是左右顶点），若直线l的斜率为时，弦AB的中点D在直线上 （）求椭圆C的方程（）若以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l是否经过定
6、点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：点与面的关系用符号，而不是，所以答案A错误；直线与平面的关系用 表示，则AB 表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面 内，也存在AB，答案C错误；而Aa，a，则A，所以答案D正确 故选：D 本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可 立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位 2.【答案】D 【解析】解：如图所示，直观图ABC的高为 h=CDsin45=CDsin45=2sin60sin45=，底边长为AB=AB=2；所以ABC的面积为：S=
7、ABh=2=故选：D 作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积 本题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题 3.【答案】B 【解析】解：an是公差为 1 的等差数列，S8=4S4，8a1+1=4（4a1+），解得a1=则a10=+91=故选：B 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 4.【答案】C 【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个简单题 方程=10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为 10，从
8、而轨迹为椭圆，故可求【解答】解：方程=10，它的几何意义是动点P（x，y）到定点（0，-3）与到定点（0，3）的距离之和为 106，从而轨迹为椭圆，焦点在y轴上，且a=5，c=3，b=4，其标准方程为：故选：C 5.【答案】C 【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,属于基础题.分类讨论椭圆的焦点在x轴和y轴上求解即可.【解答】解:直线与坐标轴的交点为(0，1)，(2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c2，b1，所以a25，所以所求椭圆的标准方程为y21,当焦点在y轴上时，b2，c1，所以a25，所以所求椭圆的标准方程为1.综上可得，椭圆方程为y21 或1.故选C.6.【答案】B
9、 【解析】解：作出不等式式表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部 其中C（1，1），设P（x，y）为区域内点，定点D（0，-1）z=2，z的最大值为：2 故选：B 作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部设P（x，y）为区域内一点，定点D（0，-1），可得目标函数的表示P、O两点连线的斜率，运动点P并观察直线PD斜率的变化，即可得到z的最大值 本题给出二元一次不等式组，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和直线的斜率等知识，是中档题 7.【答案】C 【解析】【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所求圆的半径 本题主要考查了由题意求圆的标
10、准方程，作为选择题可结合选项做题，这样可提高做题的速度【解答】解：由题意圆x2+y2+2x-2y=0 的圆心为（-1，1），半径为，过圆心（-1，1）与直线x-y-4=0 垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心（-1，1）到直线x-y-4=0 的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选：C 8.【答案】C 【解析】解：F2PF1是底角为 30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P为直线x=上一点 故选：C 利用F2PF1是底角为 30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率 本题考查椭圆的几何性质，解题的
11、关键是确定几何量之间的关系，属于基础题 9.【答案】C 【解析】【分析】本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题 通过e=可得=，利用韦达定理可得x1+x2=-、x1x2=-，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论【解答】解：e=，=，x1，x2是方程ax2+bx-c=0 的两个实根，由韦达定理：x1+x2=-=-，x1x2=-，x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=+1=2，点P（x1，x2）必在圆x2+y2=2 内 故选：C 10.【答案】B 【解析】解：椭圆x2+2y2=16 即=1，设动点M（x，y），Q（m，n），则有=1 =，m=
12、4（x+3），n=4（y+3），代入化简可得（x+3）2+2（y+3）2=1，故选：B 设动点M（x，y），Q（m，n），则有=1 ，由=，得到m=4（x+3），n=4（y+3），代入化简可得结果 本题考查用代入法求点的轨迹方程，得到，是解题的关键 11.【答案】C 【解析】解：直线y=kx+1 恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cos，sin）,|PQ|2=（2cos）2+（sin-1）2=-3sin2-2sin+5 当 sin=-时，故选C.直线y=kx+1 恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶
13、点，因而此直线被椭圆截得的弦长即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cos，sin），利用三角函数即可得到结论 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P与椭圆上任意一点Q的距离的最大值 12.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于中档题.由题意可得|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0与直线l：3x-4y-9=0距离之和的 5 倍，根据点到直线的距离公式解得即可【解答】解：设z=|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5（+），故|3x-4y+a|+|3
14、x-4y-9|可以看作点P到直线m：3x-4y+a=0 与直线l：3x-4y-9=0 距离之和的 5 倍，取值与x，y无关，这个距离之和与P无关，如图所示：当圆在两直线之间时，P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，=1，化简得|a-1|=5，解得a=6 或a=-4（舍去），a6.故选：D 13.【答案】16 【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查,为基础题 利用椭圆方程，直接求解m即可【解答】解：椭圆短轴的长为 8，因为a=6，2a=12，所以椭圆的焦点坐标在x轴，可得=4，解得m=16 故答案为：16 14.【答案】4
15、【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础 先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|即可【解答】解：如图所示：由题意，圆心到直线的距离d=，|AB|=，设直线：x-y+6=0 的倾斜角为，则,，故答案为 4 15.【答案】或 4 【解析】解：由题意，得a=4，b=2，得 c=2，F1（-2，0）F2（2，0），圆心A在F1F2垂直平分线上，设圆心为M（0，m），则有AF2=4，可求得m=2，外接圆方程为x2+（y-2）2=16，与椭圆联立可求得P点的纵坐标y=或-2，其绝对值即为三角形的高，F1PF2的面积S=F1F2*|y（A）|=或 4 故答
16、案为：或 4 首先，得到该椭圆的焦点坐标，然后，求解外接圆的圆心，从而得到其方程，然后，联立方程组，求解点P的纵坐标，从而得到该三角形的高，即得其面积 本题重点考查了椭圆的简单几何性质、三角形的面积公式等知识，属于中档题 16.【答案】（-，）【解析】【分析】设P（x，y）由切线的性质可得：CMPM，利用|PM|=|PO|，可得 2x1-4y1+3=0要使|PM|最小，只要|PO|最小即可 本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【解答】解：如图所示，圆C：（x+1）2+（y-2）2=2，圆心C（-1，2），半径r=因为|PM|=|PO|，所
17、以|PO|2+r2=|PC|2（C为圆心，r为圆的半径）,所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1-2）2，即 2x1-4y1+3=0要使|PM|最小，只要|PO|最小即可 当直线PO垂直于直线 2x-4y+3=0 时,即直线PO的方程为 2x+y=0 时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,P点坐标（-，）.故答案为（-，）17.【答案】解：（1）l1l2，a（a-1）+（-b）1=0，即a2-a-b=0 又点（-3，-1）在l1上，-3a+b+4=0 由得a=2，b=2（2）l1l2，=1-a，b=，故l1和l2的方程可分别表示为：（a-1）x+y+=0，（a-1）x+y+=0，
18、又原点到l1与l2的距离相等 4|=|，a=2 或a=，a=2，b=-2 或a=，b=2 【解析】（1）利用直线l1过点（-3，-1），直线l1与l2垂直，斜率之积为-1，得到两个关系式，求出a，b的值（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等得到关系，求出a，b的值 本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题 18.【答案】解：（）因为O点到直线x-y+1=0 的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2（）连心线斜率，设所求圆心（a，b），则，解得 b=2a 因
19、为两圆相外切，所以 由解得，或，经检验，当时，不符合题意，故舍去 所以，所求圆的方程为（x-4）2+（y-8）2=20 【解析】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，切线方程的应用，考查转化思想以及计算能力（）利用垂径定理，求出以原点O为圆心，被直线x-y+1=0 所得的弦长为的圆的半径，然后求解圆的方程（）求出连心线的斜率，设出圆的圆心坐标，利用两圆外切，列出方程，转化求解圆的方程 19.【答案】解：（）圆C的方程为x2+y2=4，圆心为坐标原点，半径为 2，当斜率不存在时，x=2，过点P（2，1）且与圆C相切的直线的方程x=2 满足题意；当斜率存在时，设切线方程为y-1=k（x-2），由得
20、，此时切线方程为：3x+4y-10=0，则所求的切线方程为x=2 或 3x+4y-10=0；（）设Q点的坐标为（x，y），（x，y）=（x0，2y0），x=x0，y=2y0，即 所以动点的轨迹方程为.【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查 （）求出圆心与半径，利用直线的斜率是否存在，结合过点P（2，1）且与圆C相切的关系判断求解切线的方程；（）设出Q的坐标，通过，列出方程即可求动点Q的轨迹方程 20.【答案】解：（）设椭圆的半焦距为c，依题意b=1，所求椭圆方程为（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当ABx轴时，（2）当AB与x轴不垂直时，设直线A
21、B的方程为y=kx+m 由已知，得 把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=当且仅当，即时等号成立当k=0 时，综上所述|AB|max=2当|AB|最大时，AOB面积取最大值 【解析】（）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2）（1）当ABx轴时，（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m 由已知，得把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，然后由根与系数的关系进行求解 本题考查圆锥曲线的性质和应
22、用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答 21.【答案】（1）解：设l斜率为K，则l：y-3=k（x-4）得A（4-，0），B（0，3-4k）（k0），由，故Smin=24，l：3x+4y-24=0（）OAB面积S最小时，A（8，0），B（0，6），|AB|=10，直角OAB内切圆半径，圆心为Q（2，2），内切圆方程为（x-2）2+（y-2）2=4 设P（x，y），则x2+y2-4x-4y+4=0，其中 0 x4 U=|PO|2+|PA|2+|PB|2=x2+y2+（x-8）2+y2+x2+（y-6）2=3x2+3y2-16x-12y+100=88-4x（0 x4），当x=0 时，U
23、max=88，当x=4 时，Umin=72 U的范围是72，88 【解析】（）设出斜率，求出AB坐标，推出OAB（O为坐标原点）的面积S最小值，即可取得最小值时直线l的方程（）求出OAB的面积S取得最小值时OAB的内切圆上的动点，表示u=|PO|2+|PA|2+|PB|2的表达式，求解最值即可得到取值范围 本题考查直线与圆的方程的综合应用，位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力 22.【答案】解：（）设椭圆的标准方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）由题意得经过变换则有当时，再根据 得到a2=4b2，又因为椭圆过得到a=2，b=1，所以椭圆的方程为：（）由题意可得椭圆右顶点A2（2，0）
24、，（1）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=x0，此时要使以A，B两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则，解得或x0=2（舍），此时直线l为（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，则有 4+x1x2-2（x1+x2）+y1y2=0，化简得 联立直线和椭圆方程得（4k2+1）x2+8kbx+4b2-4=0，=1+4k2-b20，把代入得 即 4k2b2-4k2+4b2-4-8k2b2+16kb=-（4k2b2+16k2+b2+4），12k2+16kb+5b2=0，得k=-或此时直线l过或（2，0）（舍）综上所述直线l过定点 【解析】（）设椭圆的标准方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）利用平方差法求出a，b关系，利用椭圆经过的点，即可求出a，b，得到椭圆方程（）由题意可得椭圆右顶点A2（2，0），通过（1）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=x0，求出直线l的方程（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，推出，联立直线和椭圆方程利用韦达定理的经过代入求解即可 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力；分类讨论思想的应用