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1、试卷第 1 页，共 5 页高 2023届高三上学期开学检测卷数学学科一、选择题（60 分）（一）单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1 已知全体实数集R，集合A x|1 x 4,B y|y x2 1,x R，则(CRA)BA 1,4)B(1,)C 4,)D(,1)(4,)2 为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的 2 种主食、3 种素菜、2种大荤、4 种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有A 48 种B 36 种C 24 种D 12 种3 已知直线a在平面内，则“直线l a”是“直线l”的A 充分
2、不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4 已知tan43，则sin2A 45B 45C 2425D 24255 方程22(10)xy22(10)xy12 的化简结果为A 236x264y1B 264x236y1C 236x264y1(x 0)D 264x236y1(x 0)6 先后抛掷一颗质地均匀的骰子两次，观察向上的点数在第一次向上的点数为奇数的条件下，两次点数和不大于 7 的概率为A 1318B 712C 310D 237 当1x 时，函数 lnbfxa xx取得最小值2，则 2f A 12B 12C 1D 18 已知数列na中，*1232 1nna a aan
3、N，则2222123naaaa 等于A 14 13nB 12 13nC 4 1nD 22 1n试卷第 2 页，共 5 页（二）多选题（共 4 小题，每小题 5 分，漏选得 2 分，错选得 0 分，共 20 分）9 新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是A 甲同学体温的极差为 0.4B 乙同学体温的众数为 36.4，中位数与平均数不相等C 乙同学的体温比甲同学的体温稳定D 甲同学体温的第 60 百分位数为 36.510已知函数12()|+|cosfxxxx，则下列说法正
4、确的是A()fx是偶函数B()fx在（0，+）上单调递减C()fx是周期函数D()1fx 恒成立11已知抛物线212xy的焦点为F，11,M xy，22,N x y是抛物线上两点，则下列结论正确的是A 点F的坐标为1,08B 若直线MN过点F，则1 2116x x C 若MFNF，则MN的最小值为12D 若32MFNF，则线段MN的中点P到x轴的距离为5812设非零向量a，b的夹角为，定义运算sina b a b .下列叙述正确的是A 若0a b ，则a b B a b ca b a c （c为任意非零向量）C 设在ABC中，AB a，AC b，则2ABCSa b D 若1a b r r，则
5、max1a b 试卷第 3 页，共 5 页二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13记nS为等差数列na的前 n 项和若1262,2aa a，则10S;14如图正方体1 1 1 1ABCD ABCD的棱长为2，则平面1ABD与平面ABCD夹角的正切值为;15新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的大头，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分从 2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是 2022年某企业的前 5 个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：根据表中数据，得出 y 关于 x 的经验回归方程为0.28yx a，根据数据计算出在样本点5,1.5处的残
6、差为0.06，则表中t;16（第一空 2 分，第二空 3 分）如图，1 1OA B，1 2 2AAB，2 3 3AAB是全等的等腰直角三角形（12OB，1,2,3iB i 处为直角顶点），且O，1A，2A，3A四点共线.若点1P，2P，3P分别是边1 1A B，2 2AB，3 3AB上的动点（包含端点），则(1)13OBOP;(2)22OBOP的取值范围为.三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tantanaAbB.（1）证明：ABC是等腰三角形；（2）若:1:abcxy，且 AB
7、C的面积为56ab，求y的值月份代码x12345碳酸锂价格y（万元/kg）0.50.61t1.5试卷第 4 页，共 5 页18.（12 分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，4PA AD，2AB，M是PD中点.（1）求直线AD与平面ACM夹角的余弦值；（2）求点P到平面ACM的距离19（12 分）数列 na的前n项和为nS，112a=，且120(2)nnnaSSn-+=（1）证明：数列1 nS为等差数列；（2）求数列 na的通项公式20.（12 分）某农发企业计划开展“认领一分地，邀你来当农场主”活动该企业把农场以微田园形式对外租赁，让人们认领认领的田地由企业
8、的专业人员打理，认领者可以随时前往体验农耕文化，所有收获归认领者所有某咨询公司做了关于活动意愿情况的调查，随机抽取了 100份有效问卷，部分统计数据如下表：(1)请将上述2 2列联表补充完整，试依据小概率值0.01的独立性检验，分析男性是否比女性更愿意参与活动；(2)为了更详细的了解情况，在 100份有效问卷中抽取不愿意参与活动的人员若干人组成观摩小组，观摩小组恰有男性 4 名，女性 3 名从观摩小组中选取 3 人为免费体验者，性别参与意愿合计愿意参与不愿意参与男性4860女性18合计100试卷第 5 页，共 5 页设免费体验者中男性人数为 X，求 X的分布列及数学期望附：22nadbca b
9、 c d a c b d，n a b c d 下表给出了2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值0.1 0.05 0.01 0.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82821（12 分）已知函数 3231312fxxkxkx，其中Rk(1)当3k 时，求函数 fx在 0,3上的极值点；(2)若函数 fx在1,2上的最小值为 3，求实数 k 的取值范围22（12 分）已知中心在原点 O的椭圆 E的长轴长为22，且与抛物线24yx有相同的焦点(1)求椭圆 E的方程；(2)若点 H的坐标为(2，0)，点11(,)Ax y、22(,)Bx y(12x x)是椭圆 E上
10、的两点，点 A，B，H不共线，且OHA=OHB，证明：直线 AB 过定点试卷第 6 页，共 4 页高 2023届高三上学期开学检测卷数学答案一、选择题二、填空题13.2514.215.1.416.610,12三、解答题17.（10 分）解：（1）由正弦定理及tantanaAbB，得sinsincossinsincosAAABBB，即coscosAB，因为,0,AB，所以A B，所以ABC是等腰三角形.（5 分）（2）由（1）知a b，所以1x.因为15sin26ABCSab Cab，所以5sin3C.又 0,C，所以252cos133C .若2cos3C，则222223ab cab，即2222
11、3y，解得63y；若2cos3C，则222223ab cab ，即22223y，解得303y 所以63y 或303y.（10 分）18.（12 分）解：因为PA平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以,PA AB PA AD,因为四边形ABCD为矩形，所以AB AD，所以,AB AD AP两两垂直，所以以A为坐标原点，分别以,AB AD AP所在的直线为,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图所以示，123456789101112CBBDCDAAACD ADBCD ACD试卷第 7 页，共 4 页因为4PA AD，2AB，M是PD中点，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,4
12、,0),(0,4,0),(0,0,4),(02 2)，ABCDPM,所以(2,4,0),(0,2,2)ACAM，设平面ACM的法向量为(,)mxyz，则240220m ACxym AMyz ，令1z，则(2,1,1)m，（3 分）（1）(0,4,0)AD，设直线AD与平面ACM的夹角为，则46sin644 1 1ADmADm ，因为0,2，所以2630cos 1 sin136 6，（7 分）（2）因为(0,0,4)AP，面ACM的法向量为(2,1,1)m，所以点P到平面ACM的距离为42 636m APdm （12 分）19.（12 分）解：（1）由120(2)nnnaSSn-+=得112(2
13、)nnnnSSSS n-=-1112,(2)nnnSS-=，故数列1 nS为公差为2的等差数列（6 分）（2）由（1）知数列1 nS的首项为112a=，公差2d=，则数列122(1)2nnnS=+-=，即12nSn=，1111,222(1)2(1)nnnaSSnnnnn-=-=-=-，则1,121,22(1)nnannn=-.（12 分）试卷第 8 页，共 4 页20.（12 分）(1)列联表补充完整如下性别参与意愿合计愿意参与不愿意参与男性481260女性221840合计7030100零假设为0H：参与意愿与性别无关联，根据列联表的数据可得，220.0110048 1822 12507.14
14、36.63560 40 70 307x 对照附表，依据小概率值0.01的独立性检验，我们推断0H不成立，所以认为参与意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于 0.01.（6 分）(2)X的可能取值为 0，1，2，3，0 34 337CC10C35PX，124 337CC121C35P X，2 14 337CC182C35P X，3 04 337CC43C35PX.所以 X的分布列为：X0123P13512351835435根据超几何分步的数学期望有412377E X .（12 分）21（12 分）（1）解：由题意得：当3k 时，3269 1fxxxx，则 2312 9 313f xxxxx，令
15、 0f x得11x，23x，列表如下：x0 0,111,33 f x+0-0 fx1 单调递增5 单调递减1试卷第 9 页，共 4 页故 fx在 0,3内的极大值点为1x，无极小值点.（5 分）（2）2331331f xxkx kxx k当 1k 时，1,2x，0f x函数 fx在区间1,2单调递增所以 min31 11 31 32fxfkk 即53k（舍）；当2k 时，1,2x，0f x函数 fx在区间1,2单调递减所以 min28 61 3 2 1 3fxfkk ，符合题意；当12k 时当1,xk时，0f x，fx区间在1,k单调递减当,2x k时，0f x，fx区间在,2k单调递减所以
16、322min3131 32fxfkkkkk 化简得：3234 0kk，即 2120kk所以1k 或2k（都舍）；注：也可令 3234gkkk，12k 则 236320g xkkkk则 3234gkkk在 1,2k 单调递减所以 02gk，不符合题意；综上所述：实数 k 取值范围为2k.（12 分）22（12 分）(1)抛物线24yx的焦点为(1,0)，E的焦点为(1,0)，即1c，焦点在x轴又222a，2a，22211bacb 椭圆E的方程为2212xy（4 分）(2)设直线AB的方程为0 x mytm，则11(,)Amy t y，22(,)Bmy t y，由2222x mytxy得，222(2)22 0mymty t 228(2)0mt 即222mt，则12222mty ym，21 2222ty ymOHA OHB，0AHBHkk1212022yymy tmy t ，即1 2122(2)()0my yty y 22(2)(2)20mttmt ，1t 满足题意直线AB恒过定点(1,0)（12 分）