历年高数复习题39921.pdf

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1、高数试题 一、选择题（本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）1.设直线1724:121xyzl，26,:23,xylyz则l1 与l2 的夹角为 .（A）2；（B）3；（C）4；（D）6.2.函数 z=xe2y在点P(1,0)出沿从P(1,0)到Q(2,1)方向的方向导数为 .3.函数2222221sin,0,(,)0,0,xyxyxyf x yxy在(0,0)点 .(A)偏导数连续；(B)偏导数不存在；(C)偏导数存在但不可微；(D)可微但偏导数不连续。4.积分11220 xdxxyx dy .1111()()()()341224ABCD。5.设是由x2+y2+z2=1 所围成的区

2、域，则三重积分|ze dv .二、填空题（本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）1.过点(0，2，4)且与两平面x+2z=1 和y 3z=2 都平行的直线方程是 2.设2224,:3,xyzz则2x ds 3.满足微分方程初值问题20d(1)d1 xxyyexy 的解为y 4.设z=ln(1+x2+y2),则(1,2)dz 三、（9 分）求微分方程4cosyyxx的通解 四、（9 分）求函数f(x,y)=xy在闭区域x2+y2 1 上的最大值和最小值。.五、（9 分）某物体的边界由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a，|y|=a围成,其密度函数为=x2+y2,求该物体的质量.六

3、、（9 分）设直线0,:30,xybLxayz在平面 上，而平面 与曲面z=x2+y2相切于(1,2,5)，求a,b的值。.七、（9 分）计算曲面积分333()()()xyz dydzxyz dzdxxyz dxdy 其中为由圆锥面x2+y2=z2与上半球面x2+y2+z2=R2 (R 0)围成曲面的外侧.八、（8 分）设函数Q(x,y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分2(,)LxydxQ x y dy与路径无关，且对任意t，有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)ttxydxQ x y dyxydxQ x y dy，求Q(x,y).九、（6 分）设当1x 时，可

4、微函数()f x满足 01()()()d01xfxf xf ttx，(0)1f.1.求()fx；2.证明：当0 x 时，()xf xe 答案 一、；.二、1.24231xyz；2.1233dzdxdy；3.tan(1)4xye；4.10(1)(2)3nnnnx；三、1212cos2sin2cossin39yCxCxxxx.四、maxmin11,22ff.五、611245a,六、a=5,b=2.七、59(22)5R.八、Q(x,y)=x2+2y 1.高数试题 一、选择题（本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1.函数(,)zf x y在00(,)xy处可微的充分条件是 (A)(,)f

5、x y在点00(,)xy处连续；(B)(,)f x y在点00(,)xy处存在偏导数；(C)00000lim(,)(,)0 xyzfxyxfxyx ，22()()xy；(D)00000(,)(,)lim0 xyzfxyxfxyx .2.圆心在原点半径分别为R和r的()Rr的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为)关于原点的转动惯量为 .(A)44()Rr；(B)441()2Rr；(C)441()4Rr；(D)441()6Rr.3.微分方程xxexeyyy3265 的特解形式为（）(A)xxcxeebaxxy32)(*；（B）xxecxbaey32)(*；（C）xxceebaxy32)(*；(D

6、)xxcxeebaxy32)(*4.设是由球面2222 (0)xyzaa所围成的闭区域，则222xyz dv=(A)443a；(B)44 a；(C)4a；(D)412a.二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共计 24 分）1.已知3a，26b，72ab，则a b 2函数),(yxf22yxyx在点)1,1(处的梯度为 3.已知曲线为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(23)xyz ds=4.由 曲 面2243()zxy与 曲 面22zxy所 围 立 体 的 体 积为 5.设为平面1234xyz在第一卦限中的部分，则4(2)3zxy dS=6.以y1=cos2x

7、,y2=sin2x为特解的常系数齐次线性微分方程为 三、计算下列各题（本题共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）1求点0(1,1,1)P到直线723123xyz的距离.2已知一平面通过球面x2+y2+z2=4(x 2y 2z)的中心,且垂直于直线L:00 xyz,求（1）该平面的方程；（2）该平面与球面的交线在xOy平面上的投影。3设函数f具有二阶连续的偏导数，),(yxxyfu求yxu2.4计算二重积分Dxydxdy，其中D是由两条抛物线yx，2yx所围成的闭区域.5 求解微分方程的初值问题：2(1)2(0)1,(0)3 xyxyyy 四、(8 分)计算积分222(coscoscos

8、)IxyzdS,是抛物线z=x2+y2被z=4 割下的有限部分的下侧,cos,cos,cos 是上各点法线方向余弦.五、(8 分)设f(x)为连续可微函数，且(1)2f，对任一闭曲线L有34()0Lx ydxf x dy。求 曲 线 积 分34()Lx ydxf x dy 的 值.其 中L是 圆 周4)2()2(22yx上由(2,0)A经(4,2)D到(2,4)B的一段弧.六、(8 分)经过点1(2,1,)3P作一平面,使该平面在第一卦限内与 3 个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面方程.七、(6 分)设函数f(x)在1,+)上连续，由曲线y=f(x),直线x=1,x=t(t 1)与x轴

9、所围成平面图形绕x轴旋转一周形成旋转体的体积为 2()()(1)3V tt f tf，又已知2(2)9f，求f(x).答案 一、；.二、1.30；2.(1,1)；3；5.4 61；6.y+4y=0.三、1.3 3;2.y+z=0,22241600.xyxyz;+xf11+(x+y)f12+f22;4.655;5.y=x3+3x+1.四、643.五、68,六、163xyz.七 31xyx.高数试题 一、选择题（本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1.函数222)2(),(xyxyxf在闭区域(x 1)2+y2 1 上的最小值为 (A)0；(B)1；(C)2；(D)3。2.设函数f(x

10、,y)连续，则二次积分ydxyxfdy010),(.(A)110),(ydxyxfdy；(B)ydxxyfdy010),(；(C)110),(xdyyxfdx；(D)xdyyxfdx010),(.3.设为平面x+y+z=1 与三个坐标面所围成的闭区域，则dvzyx)(=(A)61；(B)81；(C)121；(D)241.4.设y1,y2是二阶线性方程y+P(x)y+Q(x)y=0 的两个解，那么y=C1y1+C2y2(C1,C2是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是 (A)12210y yy y；(B)12210y yy y；(C)12210y yy y；(D)12210y yy y 二、填

11、空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分）1.已知1|a，2|b，a与b的夹角为4，则|ba 2设是由曲面221yxz与z=0 围成的立体，则的形心坐标为 3.设曲线为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分dszyx)(=4.设 为 锥 面22yxz被 平 面z=1 截 下 的 有 限 部 分，则 曲 面 积 分zdS 5.若方程y+y tanx=2cos2x有一个特解y=f(x),且f(0)=0,则0()limxf xx 三、计算下列各题（本题共 5 小题，每小题 7 分，共计 30 分）1求过点)5,2,3(M且与两平面x 4z=3 和 2x y 5z=1

12、 的交线垂直的平面方程.2求函数u=x2+3yz在点(1,1,1)处沿椭球面x2+2y2+3z2=6 在该点的外法线方向的方向导数。3计算二重积分Dydxdy，其中D是由y=x 4 与y2=2x所围成的闭区域.4如果y=f(x)满足21()2 xyxoxxx，且f(1)=1,求f(x)5若(x)连续，且满足方程00()e()()xxxxtt dtxt dt，(1)写出与该方程等价的二阶微分方程初值问题；(2)求(x).四、(8 分)一质点在力jyxiyxF)sin()(22的作用下，由点O(0,0)沿上半圆22xxy移到点A(1,1)，求力F所作的功.五、(8 分)计算曲面积分xydxdyzd

13、zdxyxzdydz，其中是由抛物面 3z=x2+y2 和球面224yxz所围成立体的表面外侧.六、(8 分)设函数f(x,y)有二阶连续偏导数，满足02yxf，且存在一元函数h(u)，使)(),(22yxhyxf，求f(x,y).七、(5 分)设F(x,y)=(f 1(x,y),f 2(x,y)是(x0,y0)某邻域内定义的向量函数，定义 为(f 1(x,y),f 2(x,y)的模，如果)(|),(),(),(|220000yxoyDxCyBxAyxFyyxxF，其中A,B,C,D是与x,y无关而仅与x0,y0有关，)(22yxo是22yx的高阶无穷小，则称F(x,y)在(x0,y0)点可微

14、，记为 设),(arctan),(22yxxyyxF，求)1,1(|),(yxdF。答案 一、；.二、1.5；2.83；3.146；4.232；5.2.三、1.4x+3y+z+1=0;2.1417;4.22 xx;5.四、2sin4167.五、2794.六、2221)(21CyxC.七、),(21yxyx.一、选择题 1设),(yxf42yx，则函数在原点偏导数存在的情况是 .（A）)0,0(xf，)0,0(yf 都存在 （B）)0,0(xf 不存在，)0,0(yf 存在（C）)0,0(xf 存在，)0,0(yf 不存在 （D）)0,0(xf，)0,0(yf 都不存在 2 设平面 的法向量为)

15、,(CBAn，直线L的方向向量为),(pnms，则pCnBmA是平面 与直线L的垂直的 .(A)充要条件；(B)充分条件；(C)必要条件；(D)无关条件.3设 是球面x2+y2+z2=R2，则下列结果正确的是 .(A)0)(2dSzyx；(B)334RdS；(C)0)(222dSzyx；(D)42224)(RdSzyx.4 5设曲线1),(:yxfL（),(yxf具有一阶连续偏导数），过第象限内的点M和第象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 .（A）Tdxyxf),(（B）Tdyyxf),(（C）Tdsyxf),(（D）dyyxfdxyxfyTx),(),(二、填空题

16、1设3|a，1|b，6),(ba，则ba在ba上的投影为 2.交换积分次序22221),(xxxdyyxfdx为 211210),(yydxyxfdy 3.设正向闭曲线L的方程为1|yx，则Ldsyx2|1=4.5设函数),(yxzz 由方程)(bzyazx所确定，其中)(u有连续导数，则yzbxza 三、计算题 1.设yxeuyxufz),(，其中f具有二阶连续偏导数，求yxz2。2.求曲面22yxz的与直线2212zyzx垂直的切平面。3.计算二重积分Ddxdyxy,其中 D 是由直线xy,1y，0 x所围成的平面区域.4.求dxdyxzdzdxzydydzyx)()()(，是抛物面22y

17、xz被平面z=1 截下的有限部分，法向量与z轴正向成锐角。5.求解初值问题32,(1)1,(1)2,xyyxyy 四、设球体占有闭区域zzyx2:222，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z轴的转动惯量。五、(8 分)求抛物面 22yxz 与平面 1zyx 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离 六、5设)(xf是非负连续函数，且1)(20dxxf，计算曲线积分 Lxdxeyxdy)(，式中 L 为沿)(xfy 从点)0,0(O到)0,2(A的曲线段.七、求32sinyyyx的通解.答案 一、,.二、，2.2.211210),(yydxyxfdy,3.234,

18、4.2+2,5.1。三、1.21fefxzy，23211311212ffxefefxeefyxzyyyy 2.222zyx。3.154，4.2 5.421424xxy 四、3532。五、曲线到原点的最长距离和最短距离分别为 221015 和 221015 六、23e 七、21231eecossin1010 xxyCCxx 一、选择题 1设(x)为任意一个x的可微函数，(y)为任意一个y的可微函数，若已知22Ffx yx y ，则F(x,y)是 .(A)f(x,y)+(x)；(B)f(x,y)+(y)；(C)f(x,y)+(x)+(y)；(D)f(x,y)+(x)(y).2在曲线x=t,y=t2

19、,z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4 平行的切线 .(A)只有 1 条；(B)只有 2 条；(C)至少 3 条；(D)不存在。3设f(x,y)是连续函数，D是由y=x2,y=0,x=1 所围的区域，且f(x,y)满足恒等式 则f(x,y)=.(A)xy+1；(B)12xy；(C)14xy；(D)18xy。4 二、填空题 1过点(3,1,4)且与y轴相交，又与平面y+2z=0 平行的直线方程为-_.2交换积分次序xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2为_.3 设L为 圆 周x=acost,y=asint(0 t 2),则22 3()Lxyds=_.4 三、计算

20、下列各题 1已知yxeyxfu,22，其中f具有二阶连续偏导数，求yxuxu2，。2计算(23)xyz dv，是半球面222zxy和旋转抛物面22zxy围成的立体。3求平行于平面 6x+y+6z+5=0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程。4求解初值问题00|,tdykydtyy。5求()xyz dS，式中是平面y+z=5 被柱面2225xy所截得的有限部分。四、(8 分)计算积分32Ix dydzy dzdxzdxdy，是柱面x2+y2=a2在 0 z h部分外侧。五、(8分)在抛物线1:22yxz上求一点),(0000zyxM)1,0,0(202000yxyx使在0M处的切

21、平面与柱面21xy及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大。六、(8 分)已知L是第一象限中从点(0,0)沿圆周x2+y2=2x到点(2,0),再沿圆周x2+y2=4 到点(0,2)的曲线段。计算曲线积分233(2)LIx ydxxxy dy。七、(8 分)八、(6 分)设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离成正比(比例常数k 0)，求球体对于P0的转动惯量。答案：一、1D；2B；3D；A 二、1314384xyz；2yydxyxfdy211102),(；32a7；432 三、1解 122ex yuxffx，122ex yuyffy。2解 2(23)

22、xyz dv=zdv =2221200rrdrdrzdz =124012(2)2rrr dr =712。3解 ()xyz dS=(5)xdS =22225(5)1(1)xyxdxdy =125 2 4解 设所求平面方程为 6x+y+6z=D,则|D|=6 故所求平面方程为 6x+y+6z=6 或 6x+y+6z=6。5 四、解 设1：z=0(x2+y2 a2)下侧；1：z=h(x2+y2 a2)上侧 五、解 过0M点的切平面方程为 2x0(x x0)+2y0(y y0)(z z0)=0 即 122202000yxzyyxx 立体的体积为 2200002()(1)34Vxyxy。002032xV

23、x，002032yVy，故所求的点为44(,)33。六、解 补充L1：x=0,y从 2 到 0，由L和L1围成的平面区域记为D，由格林公式 七、解 由题设an an+1，若lim0nna，则交错级数1(1)nnna收敛，与题设矛盾，故 limnnal(l 0).由根值法，有11lim111nnnnal，故级数收敛。八、解 以P0点为坐标原点，球心在z轴上建立坐标系，则球面方程为x2+y2+z2=2Rz.转动惯量为 高数试题 一、选择题 1设(,)xyzaa a a，(,)xyzbb b b，则/ab的充要条件是 .(A),xxyyzzab ab ab；(B)0 xxyyzza ba ba b；

24、(C)yxzxyzaaabbb；(D)xyzxyzaaabbb.2设22(,)f x yxy，则函数f(x,y)在原点（0，0）处 .(A)连续且(0,0),(0,0)xyff存在；(B)连续且(0,0),(0,0)xyff不存在；(C)不连续且(0,0),(0,0)xyff存在；(D)不连续且(0,0),(0,0)xyff不存在。3设是球面2222:xyzR所围成的闭区域，则下列结果正确的是 .(A)2()0 xyz dv；(B)22254()3xyzdvR；(C)()0 xyz dv；(D)2222()4xyzdSR。4微分方程y +y=sinx的一个特解的形式为 (A)sinAxx；(B

25、)cossinAxBx；(C)cossinAxxBx；(D)cossinAxxBxx。5 设f(u)连续可微，且40()0f u duk，其中L为圆周22yxx上从原点到点（2，0）的部分，则22()()Lf xyxdxydy (A)0；(B)2k；(C)k；(A)2k.二、填空题 1函数z=f(x,y)由方程2sin(23)23xyzxyz所确定，则 dz=-_.2交换积分次序yydxyxfdy1110),(为_.3 设L为圆周x=acost,y=asint(0 t 2),则2()Lxy ds=_.4设平面薄板所占闭区域D由直线 x+y=2，x=2 和y=2 围成，它在点(x,y)处的面密度

26、为2y，则平面薄板的质量为_。5微分方程10250yyy的通解是_。三、计算下列各题 1已知(,)yzf xyx，其中f具有二阶连续偏导数，求2,zzzxyx y。2一平面通过两平行直线32321xyz和341321xyz，求此平面方程。3计算22()xydv，其中是由yoz面上曲线22yx绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=8 所围成的闭区域。4求4(2)3xyz dS，式中是平面1234xyz在第一卦限 的部分。四、(8 分)计 算 积 分222()()()Iyxz dydzzxy dzdxxyz dxdy，是 锥 面22(0)zxyzh的下侧。五、(8 分)求球面2222xyza的内接长方

27、体，使长方体的体积最大。六、(8 分)一个体积为V，外表面积为S的雪堆，融化的速度是dVaSdt，其中a是正常数，假设在融化过程中雪堆的形状保持为22(0)xyzhzh，其中h=h(t),问一个高度等于0h的雪堆全部融化消失需要多少时间。七、(4 分)设函数f(x)满足方程2()3()6xfxf xx，且由曲线y=f(x)，直线x=1 与x轴围成的平面图形 D 绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，试求 D的面积。高等数学（下）2014 年 7 月 一、单项选择题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）1.设向量(2,2,5)a 的起点坐标为(2,1,7)，则 （A）a的终点坐标为(

28、4,2,1)；（B）a的长度为 6；（C）a与y轴的夹角为2arccos33；（D）a在z轴上的投影为 5。2 设平面区域22:1D xy；221:1,0,0Dxyxy则下列等式不成立的是 (A)22ln()0Dxxyd (B)12222141DDxy dxy d (C)1|4DDxy dxyd (D)1224DDxy dxy d 3 4设函数22e()xzxy则1(,0)2是该函数的 .（A）驻点但非极值点；（B）驻点且极小值点；（C）驻点且极大值点；（D）极值点但非驻点.二、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）5曲线在点处的切线方程是_.6交换积分次序11142210

29、4(,)(,)yyydyf x y dxdyf x y dx=_ 7.设f(x)可微分,2(3)xzf yz，则23zzxy=_.8若二阶常系数线性非齐次方程)(xfqypyy 的三个解是：)(21xxeexy，xxexey22，xxexxey23)1(，则qp42_.三、计算下列各题（本题共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）1.求平面方程，使得这个平面垂直于平面，平行于向量(1,2,2 5)s，并且过点。2.求二重积分arctanDydxdyx，其中D由圆221xy，224xy及直线0y，yx所围成的在第一象限的闭区域。3.设2(,)yzx f xyx，f具有二阶连续偏导数，求2,

30、zzyx y。4.计算曲面积分1IdSz，其中是球面2222xyz在锥面22zxy上方的部分。5.计算曲线积分2()Lxyds，其中L是由点O(0,0)到A(0,1)的直线段和21yx上从A(0,1)到B(1,0)的圆弧组成。四、（8 分）求解二阶初值问题：0)0(0)0()2cos(214yyxxyy.五、（8 分）修建一座容积为 V，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单位面积造价的 3 倍和 2 倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。六、（8 分）计算曲面积分332223(1)Ix dydzy dzdxzdxdy，其中是曲面221zxy （0z）的上侧。七

31、、（8 分）设f(u)连续可微，L为由23,3A到1,2B的直线段，求 八、（6 分）答案（2014 年 7 月）一、1：C；2：D；3：B；4：B。二、1：121223xyz；2：2120(,)xxdxf x y dy；3：1；4：0 三、1求平面的方程，使得这个平面垂直于平面，平行于以为方向余弦的直线，并且过点。解 所求平面的法向量为 112(42 5,22 5,1)122 5ijkn，平面方程为(42 5)(5)(22 5)(1)0 xyz。2求二重积分arctanDydxdyx，其中D由圆221xy，224xy及直线0y，yx所围成的在第一象限的闭区域。解 224013arctan64

32、Dydxdydrdrx。3设2(,)yzx f xyx，f具有二阶连续偏导数，求2,zzyx y。解 2312121()zxxffx fxfyx 231211223)yx ffx yffx。4计算曲面积分1IdSz，其中是球面2222xyz在锥面22zxy上方的部分。解 22:2zxy，22:1xyDxy，5计算曲线积分2()Lxyds，其中L是由点O(0,0)到A(0,1)的直线段和21yx上从A(0,1)到B(1,0)的圆弧组成。解 122222200()(cossin)(sin)cosLxydsy dyd 1132。四、五、修建一座容积为 V，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位

33、面积的造价分别为地面每单位面积造价的 3 倍和 2 倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。解 设长、宽、高分别为x，y，z,则Vxyz，设单位造价为k，则 设444()LxyxzyzVxyz 解得 3xyzV。六、计算曲面积分332223(1)Ix dydzy dzdxzdxdy，其中是曲面221zxy （0z）的上侧。解 设221:0,(1)zxy下侧 七、设f(u)连 续 可 微，L为 由23,3A到1,2B的 直 线 段，求2221()()1Ly f xyxdxy f xydyyy 解 2221(),()1y f xyxPQy f xyyy，21PQfxyfyyx，所以积分与路径无关，

34、(1,2)(1,2)22(3,)(3,)33()()4xxdF xyF xyyy。八、设函数f(x)在,a b上满足()af xb，|()|1fxq，令1()nnuf u，01,2,3,nua b，证明：级数11()nnnuu绝对收敛。证明 1111|()()|()()|nnnnnnnnnuuf uf ufuuq uu 01q，从而1nnq收敛，由比较审敛法，级数11()nnnuu绝对收敛。高等数学（下）2015 年 7 月 一、计算下列各题（本题共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）1.求点0(1,1,1)P到直线的距离723123xyz。2.求曲线22260 xyzxyz在点(1,

35、2,1)处的切线与法平面方程。3.函数2uxy z在点(1,1,1)沿什么方向的方向导数最大并求此方向导数的最大值。4.(,)uf x xy具有二阶偏导数，求2ux y。5.计算二重积分22229(7321)xyxyxydxdy。二、（16 分）1.求解微分方程的初值问题221|1xx yxyy 2.已知点(0,0)O与 1,1A，且曲线积分22(cossin)(cossin)OAIaxyyx dxbyxxy dy与路径无关，试确定a,b的值并求出I。三、（8 分）求2()yy的通解 四、（8 分）设函数222222221()sin,0,(,)0,0,xyxyf x yxyxy，（1）求偏导数

36、(,),(,)xyfx yfx y；（2）讨论(,),(,)xyfx yfx y在点（0,0）处是否连续（3）讨论(,)f x y在点（0,0）处是否可微分 五、（8 分）设cos,cos,cos为球面2222(0)xyzaa在点(,)x y z处的外法线方向余弦，求cos,cos,cos，并计算曲面积分4441()xyzdSa，是球面2222xyza。六、（8 分）已知是222(0)xyaa在0 x 的一半中被0,(0)yyh h所截下部分的外侧，计算2xyzdxdyxzdydzz dzdx。九、（8 分）（1）设()y x满足微分方程25xyyyxe，曲线()yy x过原点，且在原点处得切

37、线垂直于直线210 xy，求此直线方程.（2）()f x在0,1上连续，证明11()()001f xfyedxedy。答案：一、（1）3 3；（2）切线121101xyz，法平面0 xz；（3）6；（4）21222fxfxyf；（5）992。二、（1）。（2）2,2,2cos1ab。三、五、5125a。六、323a h。高等数学（下）2016 年 7 月 一、计算下列各题（本题共 10 小题，每小题 6 分，共计 60 分）1.设xyuxz，求2ux y。2.若(,)zf x y是由方程()xazybz确定的隐函数，这里,a b为常数，()u连续，求zzabxy的值。3.已知平面过点(2,0,

38、0),(0,3,0)AB，且与三个坐标所围成的立体体积为 2，求平面的方程。4.三个非零向量,a b c满足：,abc bca cab，求|abc的值。5.计算积分211301xxyIdxdyy 6.计算22Lxy ds，其中22:(0)L xyaxa 7.计算2222()(sin)xLex y dxxyydy，222:L xya逆时针方向一周。8.已知立体2222:334xyzxy，计算222z xyz dV 9.求解初值问题：021|2xxxdyee ydxy 10.在曲面zxy上求一点，使得该点处的法线垂直于平面390 xyz。二、（8 分）计算|Dxy dxdy，其中22:1,0D x

39、yx 三、（8 分）函数()yf x在定义域内()0fx，其图形上任意一点(,()M x f x处的切线与直线xx，以及x轴所围成的面积为 4，(0)2f，求()f x的表达式。四、（8 分）在平面1xyz上求一点P，使得点P到两点(1,0,1),(2,1,0)AB的距离的平方和最小，并求这个最小值。五、（8 分）求22()()Izx dydzzz dxdy，其中是曲面22zxy位于1,2zz之间部分的下侧。六（每小题 4 分，共 8 分）1.已知sinyxx是方程cossinyaybyAxBx的一个解（,a b A B为常数），求,A B的值，并写出该方程的通解。2.设(,),(,)P x y Q x y在光滑有向曲线L上连续，及l表示曲线L的长度，22(,)maxx yLMPQ，证明(.)(,)LP x y dxQ x y dyMl。