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1、 专题 14 图形的性质之解答题（3）（45 道题）一解答题（共 45 小题）1（2019顺义区一模）已知：如图，AB 是O 的直径，点 C 是O 上一点，点 P 在 AB 的延长线上，且AP30（1）求证：PC 是O 的切线；（2）连接 BC，若 AB4，求PBC 的面积 【答案】（1）证明：连接 OC，OAOC，1A，又AP30，130，ACP120，OCP90，PC 是O 的切线；（2）解：AB4，OAOBOC2，OCP90，P30，OP4，PC2，BPOB，SOPC 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键 2（2019海淀
2、区一模）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABBC2CD，E 为对角线 AC 的中点，F 为边BC 的中点，连接 DE、EF（1）求证：四边形 CDEF 为菱形；（2）连接 DF 交 AC 于点 G，若 DF2，CD，求 AD 的长 【答案】证明：（1）E 为对角线 AC 的中点，F 为边 BC 的中点，EFAB，EFAB，CFBC，AECE ABCD ABCDEF，ABBC2CD EFCFCD，且 ABCDEF，四边形 DEFC 是平行四边形，且 EFCF 四边形 CDEF 为菱形；（2）如图，设 DF 与 EC 交于点 G 四边形 CDEF 为菱形，DF2，DG1，DFCE，EGGC
3、，EGGC AECE2EG AGAE+CG4 AD【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练运用菱形的性质是本题的关键 3（2019顺义区一模）已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，ECDDBA，CED90，AFBD 于点 F （1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形；（2）若 AB4，AD3，求 EC 的长 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，BAD90，DCAB，DCAB，CDFDBA ECDDBA，ECDCDF，ECBF，AFBD 于点 F，CED90，BFACED90 又ECDDBA，CDFECD，在ECD 和FBA 中，ECDFBA（AAS），ECBF
4、，又ECBF，四边形 BCEF 是平行四边形；（2）解：AB4，AD3，BD5，AFBD，AFB90BAD，ABFABD，DABAFB，即，ECBF【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键 4（2019东城区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 BC 及直线 BC 外一点 P 求作：直线 PE，使得 PEBC 作法：如图 2 在直线 BC 上取一点 A，连接 PA；作PAC 的平分线 AD；以点 P 为圆心，P
5、A 长为半径画弧，交射线 AD 于点 E；作直线 PE 所以直线 PE 就是所求作的直线根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明 证明：AD 平分PAC，PADCAD PAPE，PAD PEA，PEA CAD，PEBC（内错角相等两直线平行）（填推理依据）【答案】解：（1）如图所示：直线 PE 即为所求 （2）证明：AD 平分PAC，PADCAD PAPE，PADPEA，PEACAD，PEBC（内错角相等两直线平行）故答案为：PEA，CAD，内错角相等两直线平行【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和平行线的判定
6、及角平分线的定义 5（2019顺义区一模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程 已知：直线 l 及直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使得 PQl 作法：如图，在直线 l 上取一点 A，以点 P 为圆心，PA 长为半径画弧，与直线 l 交于另一点 B；分别以 A，B 为圆心，PA 长为半径在直线 l 下方画弧，两弧交于点 Q；作直线 PQ 所以直线 PQ 为所求作的直线 根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明 证明：连接 PA，PB，QA，QB PAPBQAQB，四边形 APBQ 是菱形 四边相等的四边
7、形是菱形（填推理的依据）PQAB 菱形的对角线互相垂直（填推理的依据）即 PQl【答案】解：（1）如图所示 （2）证明：连接 PA，PB，QA，QB PAPBQAQB，四边形 APBQ 是菱形（四边相等的四边形是菱形）（填推理的依据）PQAB（菱形的对角线互相垂直）（填推理的依据）即 PQl 故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 6（2019东城区一模）如图，AB 与O 相切于点 A，P 为 OB 上一点，且 BPBA，连接 AP 并延长交O于点 C，连
8、接 OC （1）求证：OCOB；（2）若O 的半径为 4，AB3，求 AP 的长 【答案】（1）证明：ABBP，BAPBPA，AB 与O 相切于点 A，OABA，BAO90，即BAP+PAO90，OAOC，PAOC，BPACPO，C+CPO90，COP90，即 COBO；（2）解：如图，作 BDAP 于点 D，在 RtABO 中，AB3，OA4，则 BO5，OP2，在 RtCPO 中，PO2，CO4，则 CP2，BABP，ADPD，由（1）知COP90，BDP90，BPDCPO，BPDCPO，即，PD，AP2PD【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是
9、解题的关键 7（2019海淀区一模）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使 PQl 作法：如图 2，在直线 l 上取一点 O，以点 O 为圆心，OP 长为半径画半圆，交直线 l 于 A、B 两点；连接 PA，以 B 为圆心，AP 长为半径画弧，交半圆于点 Q；作直线 PQ；所有直线 PQ 就是所求作的直线 根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：连接 PB、QB PAQB，PBAQPB（等弧所对圆周角相等）（填推理的依据）PQl（内错角相
10、等，两直线平行）（填推理的依据）【答案】解：（1）如图所示：（2）证明：连接 PB、QB PAQB，PBAQPB（等弧所对圆周角相等）PQl（内错角相等，两直线平行）故答案为：，等弧所对圆周角相等，内错角相等，两直线平行【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆的有关性质和平行线的判定 8（2019海淀区一模）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，在O 的切线 CM 上取一点 P，使得CPBCOA（1）求证：PB 是O 的切线；（2）若 AB4，CD6，求 PB 的长 【答案】（1）证明：PC 是O 的切线，OCPC，OCP90，AOCCPB，AOC+BOC180，BOC
11、+CPB180，PBO360CPBBOCPCO90，OBPB，PB 是O 的切线；（2）连接 OP，AB 是O 的直径，AB4，OCOBAB2，CDAB，CD6，CECD3，sinCOE，COE60，PB，PC 是O 的切线，CPOBPO，OCPOBP，COPBOP60，PBOBtan606，【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键 9（2019海淀区一模）如图 1，线段 AB 及一定点 C、P 是线段 AB 上一动点，作直线 CP，过点 A 作 AQCP于点 Q，已知 AB7cm，设 A、P 两点间的距离为 xcm，A、Q 两点间的距离为 y1
12、cm，P、Q 两点间的距离为 y2cm 小明根据学习函数的经验，分别对函数 y1、y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1、y2与 x 的几组对应值 x/cm 0 0.3 0.5 0.8 1 1.5 2 3 4 5 6 7 y1/cm 0 0.28 0.49 0.79 1 1.48 1.87 2.37 2.61 2.72 2.76 2.78 y2/cm 0 0.08 0.09 0.06 0 0.29 0.73 1.82 3.02 4.20 5.33 6.41（2）在同一平面直角坐标系
13、 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数 y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当APQ 中有一个角为 30时，AP 的长度约为 5.49 或 2.50 cm 【答案】解：（1）过点 A 作 AQCP 于点 Q，设 A、P 两点间的距离为 xcm，A、Q 两点间的距离为 y1cm，P、Q 两点间的距离为 y2cm，当 x4，y12.61，故答案为：3.02；（2）利用描点法画出函数图象如图所示：（3）当APQ 中有一个角为 30时，x2y1，x5.49 或 2.50；故答案为：5.49 或 2.50【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角
14、形的有关知识，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型 10（2019海淀区一模）如图，在等腰直角ABC 中，ABC90，D 是线段 AC 上一点（CA2CD），连接 BD，过点 C 作 BD 的垂线，交 BD 的延长线于点 E，交 BA 的延长线于点 F（1）依题意补全图形；（2）若ACE，求ABD 的大小（用含 的式子表示）；（3）若点 G 在线段 CF 上，CGBD，连接 DG 判断 DG 与 BC 的位置关系并证明；用等式表示 DG、CG、AB 之间的数量关系为 2CG2DG2+AB2 【答案】解：（1）补全图形，如图所示：（2）ABBC，
15、ABC90，BACBCA45，ACE，ECB45+，CFBD 交 BD 的延长线于点 E，BEF90，F+ABD90，F+ECB90，ABDECB45+；（3）DG 与 BC 的位置关系：DGBC，证明如下：连接 BG 交 AC 于点 M，延长 GD 交 BC 于点 H，如图 2，ABBC，ABDECB，BDCG，ABDBCG（SAS），CBGBAD45，ABGCBGBAC45，AMBM，AMB90，ADBG，DMGM，MGDGDM45，BHG90，DGBC；ABBC，BDCG，由勾股定理可得：CE2+BE2CB2，GE2+DE2GD2，DG22DM2，AB22BM2，DG2+AB22（DM2
16、+BM2）2BD22CG2 DG、CG、AB 之间的数量关系为：2CG2DG2+AB2，故答案为：2CG2DG2+AB2，【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答 11（2019石景山区一模）如图，AB 是O 的直径，过O 上一点 C 作O 的切线 CD，过点 B 作 BECD于点 E，延长 EB 交O 于点 F，连接 AC，AF（1）求证：CEAF；（2）连接 BC，若O 的半径为 5，tanCAF2，求 BC 的长 【答案】（1）证明：连接 CO 并延长交 AF 于点 G，如下图 CD 是O 的切线，ECO90 AB 是O
17、 的直径，AFB90 BECD，CEF90 四边形 CEFG 是矩形 GFCE，CGF90 CGAF 即得证 （2）解：连接 BC，如下图 CGAF，CBACAF tanCBAtanCAF2 AB 是O 的直径，ACB90 在 RtCBA 中，设 BCx，AC2x，则 x2 即 BC 的长为 2【点睛】本题考查的是圆周角定理与垂径定理，在解决圆的相关问题中，这两个定理是基本定理，应用非常多，灵活运用是解题的关键 12（2019西城区一模）如图，在ABC 中，ACBC，点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，连接 DE，DF（1）求证：四边形 DFCE 是菱形；（2）若A75，AC4，
18、求菱形 DFCE 的面积 【答案】（1）证明：点 D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，DECF，DEBC，DFCE，DFAC，四边形 DECF 是平行四边形，ACBC，DEDF，四边形 DFCE 是菱形；（2）过 E 作 EGBC 于 G，ACBC，A75，BA75，C30，EGCEAC1，菱形 DFCE 的面积212 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，菱形的面积，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键 13（2019西城区一模）下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为 60”的尺规作图过程 已知：O 求作：矩形 ABCD，使得
19、矩形 ABCD 内接于O，且其对角线 AC，BD 的夹角为 60 作法：如图 作O 的直径 AC；以点 A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线 AC 上方的圆弧于点 B；连接 BO 并延长交O 于点 D；所以四边形 ABCD 就是所求作的矩形 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明 证明：点 A，C 都在O 上，OAOC 同理 OBOD 四边形 ABCD 是平行四边形 AC 是O 的直径，ABC90（直径所对圆周角是直角）（填推理的依据）四边形 ABCD 是矩形 AB AO BO，四边形 ABCD 四所求作的矩形 【答案】解：（1）如图
20、所示，矩形 ABCD 即为所求；（2）证明：点 A，C 都在O 上，OAOC 同理 OBOD 四边形 ABCD 是平行四边形 AC 是O 的直径，ABC90（直径所对圆周角是直角）四边形 ABCD 是矩形 ABAOBO，四边形 ABCD 即为所求作的矩形，故答案为：直径所对圆周角是直角，AO【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握圆周角定理和圆的性质 14（2019石景山区一模）下面是小立设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程 已知：如图 1，直线 l 及直线 l 外一点 A 求作：直线 AD，使得 ADl 作法：如图 2，在直线 l 上任取一点 B，连接 AB；以点
21、 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交直线 l 于点 C；分别以点 A，C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 D（不与点 B 重合）；作直线 AD 所以直线 AD 就是所求作的直线 根据小立设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明（说明：括号里填推理的依据）证明：连接 CD ADCDBCAB，四边形 ABCD 是 菱形（四条边都相等的四边形是菱形）ADl（菱形的对边平行）【答案】解：（1）补全的图形如图所示：（2）证明：连接 CD ADCDBCAB，四边形 ABCD 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）ADl（菱形的对边平行）故答案为：菱形，
22、四条边都相等的四边形是菱形，菱形的对边平行【点睛】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握菱形的判定与性质 15（2019北京一模）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程 已知：直线 l 及直线 l 外一点 P 求作：直线 PQ，使得 PQl，垂足为 Q 作法：如图，在直线 l 上任取一点 A；以点 P 为圆心，PA 为半径作圆，交直线 l 于点 B；分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 C；连接 PC 交直线 l 于点 Q 则直线 PQ 就是所求作的垂线 根据上述尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：
23、证明：PA PB，AC BC，PQl（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）（填推理的依据）【答案】解：（1）如图：（2）PAPB，ACBC，PQl，（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）故答案为 PB，BC，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 【点睛】本题考查尺规作图，圆的性质，垂直的性质能够根据给出条件作出图形，是解决问题的关键 16（2019北京一模）如图，RtABC 中，ACB90，点 D 在 AC 边上，以 AD 为直径作O 交 BD 的延长线于点 E，CEBC（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若 CD2，BD2，求O 的半径 【答案】解：（1）如图，
24、连接 OE，ACB90，1+590 CEBC，12 OEOD，34 又45，35，2+390，即OEC90，OECE OE 是O 的半径，CE 是O 的切线（2）在 RtBCD 中，DCB90，CD2，BD2，BCCE4 设O 的半径为 r，则 ODOEr，OCr+2，在 RtOEC 中，OEC90，OE2+CE2OC2，r2+42（r+2）2，解得 r3，O 的半径为 3【点睛】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键 17（2019北京一模）如图，ABCD 中，E，F 分别是边 BC，AD 的中点，BAC90（1）求证：四边形 AE
25、CF 是菱形；（2）若 BC4，B60，求四边形 AECF 的面积 【答案】解：（1）在ABCD 中，BCAD，BCAD，又E，F 分别是边 BC，AD 的中点，ECBC，AFAD，ECAF，四边形 AECF 为平行四边形 在 RtABC 中，BAC90，E 是 BC 边中点，AEEC，四边形 AECF 是菱形；（2）如图，连接 EF 交 AC 于点 O，在 RtABC 中，BAC90，B60，BC4，AB2，AC2，四边形 AECF 是菱形，ACEF，OAOC，OEOF，OE 是ABC 的中位线，OEAB1，EF2，S菱形AECFACEF222【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的中位
26、线，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键 18（2019北京一模）如图，等边ABC 的边长为 3cm，点 N 在 AC 边上，AN1cmABC 边上的动点 M 从点 A 出发，沿 ABC 运动，到达点 C 时停止设点 M 运动的路程为 xcm，MN 的长为 ycm小西根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小西的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 y 与 x 的几组对应值；x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 y/cm 1 0.87 1 1.32 2.18 2.
27、65 2.29 1.8 1.73 1.8 2（2）在平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当 MN2cm 时，点 M 运动的路程为 2.3 或 4 或 6 cm 【答案】解：本题答案不唯一，如：（1）x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 y/cm 1 0.87 1 1.32 1.73 2.18 2.65 2.29 2 1.8 1.73 1.8 2（2）（3）观察图象可得当 MN2cm 时，点 M 运动的路程为 2.3cm 或 4cm 或 6cm 故答案为：2.3 或 4 或
28、 6【点睛】本题是三角形综合题目，等边三角形的性质、描点法画函数图象、函数图象的性质以及应用等知识；理解函数图象的意义，正确运用图象法解题是关键 19（2019门头沟区一模）对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 MN 和点 P，给出如下定义：点 A 是线段 MN上一个动点，过点 A 作线段 MN 的垂线 l，点 P 是垂线 l 上的另外一个动点如果以点 P 为旋转中心，将垂线 l 沿逆时针方向旋转 60后与线段 MN 有公共点，我们就称点 P 是线段 MN 的“关联点”如图，M（1，2），N（4，2）（1）在点 P1（1，3），P2（4，0），P3（3，2）中，线段 MN 的“关联点”有 P1
29、和 P3；（2）如果点 P 在直线 yx+1 上，且点 P 是线段 MN 的“关联点”，求点 P 的横坐标 x 的取值范围；（3）如果点 P 在以 O（1，1）为圆心，r 为半径的O 上，且点 P 是线段 MN 的“关联点”，直接写出O 半径 r 的取值范围 【答案】解：（1）如图 1 所示：点 A 是线段 MN 上一个动点，过点 A 作线段 MN 的垂线 l，点 P 是垂线 l 上的另外一个动点，M（1，2），N（4，2），点 P 的横坐标 1x4，以点 P 为旋转中心，将垂线 l 沿逆时针方向旋转 60后与线段 MN 有公共点，当MPN60时，PM，同理 PN，点 P 的纵坐标为 2或 2
30、，即纵坐标 2y2，线段 MN 的“关联点”有 P1和 P3；故答案为：P1和 P3；（2）线段 MN 的“关联点”P 的位置如图 2 所示，直线 yx+1 经过点 M（1，2），x1，设直线 yx+1 与 P4N 交于点 A，过点 A 作 ABMN 于 B，延长 AB 交 x 轴于 C，由题意得：在AMN 中，MN3，AMN45，ANM30 设 ABMBa，tanANM，即 tan30，解得：a，点 A 的横坐标为：xa+11，x，综上所述：1x；点 P 的横坐标 x 的取值范围为：1x；（3）点 P 在以 O（1，1）为圆心，r 为半径的O 上，且点 P 是线段 MN 的“关联点”，如图
31、3 所示：连接 P4O 交 x 轴于点 D，P4、M、D、O 共线，则圆心 O 到 P4的距离为 r 的最大值，由（1）知：MP4NP5，即 OD+DM+MP41+23，圆心 O 到 MP5的距离为 r 的最小值，作 OEMP5于 E，连接 OP5，则 OE 为 r 的最小值，MP52，OMOD+DM1+23，OMP5的面积OEMP5OMMN，即OE233，解得：OE，r3 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于 MN 的“关联点”图是关键 20（2019平谷区一模）如图，点 P 是所对弦 AB 上一动点，点 Q 是与弦
32、 AB 所围成的图形的内部的一定点，作射线 PQ 交于点 C，连接 BC已知 AB6cm，设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，C 两点间的距离为 y1cm，B，C 两点间的距离为 y2cm（当点 P 与点 A 重合时，x 的值为 0）小平根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小平的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y 与 x 的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 5.37 4.06 2.83 m 3.86 4.83 5.82 y2/cm 2.68 3.57
33、4.90 5.54 5.72 5.79 5.82 经测量 m 的值是（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数 y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当BCP 为等腰三角形时，AP 的长度约为 1.2 或 1.6 或 3 cm【答案】（1）解：（1）PA0 时，点 P 与点 A 重合，AB6，PCAC5.37，BC2.68，AB2PC2+BC2，ACB90，AB 是直径 当 x3 时，PAPBPC3，y13，故答案为 3（2）如图；（3）观察图象可知：当 xy，即当 PBPC 或 PBBC 时，x3
34、 或 1.2，当 y1y2时，即 PCBC 时，x1.6，或 x6（与 P 重合，BCP 不存在）综上所述，满足条件的 x 的值为 1.2 或 1.6 或 3，故答案为 1.2 或 1.6 或 3.0【点睛】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型 21（2019房山区一模）如图，AB 为O 直径，点 C 是O 上一动点，过点 C 作O 直径 CD，过点 B 作 BECD 于点 E已知 AB6cm，设弦 AC 的长为 xcm，B，E 两点间的距离为 ycm（当点 C 与点 A 或点 B 重合时，y 的值为 0）小冬根据学习函数的经验，对函数
35、y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究 下面是小冬的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y/cm 0 0.99 1.89 2.60 2.98 m 0 经测量 m 的值为 2.76；（保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 BE2 时，AC 的长度约为 2.14 或 5.61 cm【答案】解：（1）经测量 m 的值是 m2.76（2）如图 （3）如图，观察图象可知当 BE2 时，AC 的长度约为 2.1
36、4，5.61【点睛】本题考查圆综合题，考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意、图象法解决实际问题 22（2019门头沟区一模）下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图的过程 已知：如图 1，O 求作：正方形 ABCD，使正方形 ABCD 内接于O 作法：如图 2，过点 O 作直线 AC，交O 于点 A 和 C；作线段 AC 的垂直平分线 MN，交O 于点 B 和 D；顺次连接 AB，BC，CD 和 DA；则正方形 ABCD 就是所求作的图形 根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；（2）完成下面的证明：证明：AC 是O 的
37、直径，ABCADC 90，又点 B 在线段 AC 的垂直平分线上，ABBC，BACBCA 45 同理DAC45 BADBAC+DAC45+4590 DABABCADC90，四边形 ABCD 是矩形（有 3 个直角的四边形为矩形）（填依据），又ABBC，四边形 ABCD 是正方形【答案】解：（1）如图 2，四边形 ABCD 为所作；（2）完成下面的证明：证明：AC 是O 的直径，ABCADC90，又点 B 在线段 AC 的垂直平分线上，ABBC，BACBCA45 同理DAC45 BADBAC+DAC45+4590 DABABCADC90，四边形 ABCD 是矩形（有 3 个直角的四边形为矩形），
38、又ABBC，四边形 ABCD 是正方形 故答案为 90，45，有 3 个直角的四边形为矩形【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了圆周角定理和正方形的判定方法 23（2019通州区一模）已知：如图 1，在ABC 中，ACB90 求作：射线 CG，使得 CGAB 下面是小东设计的尺规作图过程 作法：如图 2，以点 A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 AC，AB 于 D，E 两点；以点 C 为圆心，AD 长为半径作弧
39、，交 AC 的延长线于点 F；以点 F 为圆心，DE 长为半径作弧，两弧在FCB 内部交于点 G；作射线 CG所以射线 CG 就是所求作的射线 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明 证明：连接 FG、DE ADE CFG，DAE FCG CGAB（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）【答案】解：（1）如图，射线 CG 为所作；（2）完成下面的证明 证明：连接 FG、DE ADECFG，DAEFCG CGAB（同位角相等，两直线平行）故答案为 CFG，FCG，同位角相等，两直线平行【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本
40、作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了全等三角形的性质 24（2019平谷区一模）下面是小元设计的“作已知角的角平分线”的尺规作图过程 已知：如图，AOB 求作：AOB 的角平分线 OP 作法：如图，在射线 OA 上任取点 C；作ACDAOB；以点 C 为圆心 CO 长为半径画圆，交射线 CD 于点 P；作射线 OP；所以射线 OP 即为所求 根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务（1）补全图形；（2）完成下面的证明：证明：ACDAOB，CDOB（同位角相等，两
41、直线平行）（填推理的依据）BOPCPO 又OCCP，COPCPO（等边对等角）（填推理的依据）COPBOP OP 平分AOB 【答案】解：（1）如图，OP 为所作；（2）证明：ACDAOB，CDOB（同位角相等，两直线平行）；BOPCPO 又OCCP，COPCPO（等边对等角）COPBOP OP 平分AOB 故答案为同位角相等，两直线平行；等边对等角【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了平行线的判定与性质 25（
42、2019平谷区一模）如图，AB 是O 的直径，AC 切O 于点 A，连接 BC 交O 于点 D，点 E 是的中点，连接 AE 交 BC 于点 F （1）求证：ACCF；（2）若 AB4，AC3，求BAE 的正切值 【答案】（1）证明：连接 BE，CA 是O 的切线，CAB90，AB 是直径，AEB90，E 是弧 BD 的中点，BAEDBE，CAEEFBAFC，ACCF；（2）解：在 RtABC 中，AB4，AC3，BC5 ACCF3，BFBCCF2 AB 是直径，ADB90，cosABC，BD，AD，DFBDBF tanBAEtanDAE 【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理及解直角三角
43、形的知识运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题 26（2019延庆区一模）对于图形 M、N，给出如下定义：在图形 M 中任取一点 A，在图形 N 中任取两点 B、C（A、B、C 不共线），将BAC 的最大值（0180）叫作图形 M 对图形 N 的视角 问题解决：在平面直角坐标系 xOy 中，已知 T（t，0），T 的半径为 1（1）当 t0 时，求点 D（0，2）对O 的视角；直线 l1的表达式 yx+2，且直线 l1对O 的视角，求 sin （2）直线 l2的表达式 yx+t，若直线 l2对T 的视角，且 6090，直接写出 t 的取
44、值范围 【答案】解：（1）如图 1 中，过点 D 作O 的切线，切点分别为 B，C，则BDC 即为点 D（0，2）对O 的视角 D（0，2），OD2，DB，DC 是O 的切线，DBOB，DCOC，ODBODC，OD2OC，ODCODB30，BDC60 如图 2 中，设O 交 x 轴于 M，交 y 轴于 N，直线 yx+2 交 x 轴于 E（0，2），交 y 轴于 D（0，2），取 DE 的中点 G（1，1），连接 GN，GM，则MGN 即为直线 l1对O 的视角 ONDN，DGGE，GNOE1，同法 GMOD1，GMGNOMON1，四边形 OMGN 是菱形，MON90，四边形 OMGN 是正方
45、形，ONGOMG90，GN，GM 是O 的切线，此时MGN 是直线 l1对O 的视角，MGN90，sinsin45 （2）如图 3 中，由题意 ODOt，DTt，当TDB30时，DT2TB2，t2，t，当TDB45时，DTTB，t，t1，直线 l2对T 的视角，且 6090，1，根据对称性可知，当点 T 在 y 轴左侧时，t1 综上所述，满足条件的 t 的值为 1或t1【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，图形 M 对图形 N 的视角的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题 27（2019门头沟区一模
46、）如图，在ABD 中，ABDADB，分别以点 B，D 为圆心，AB 长为半径在 BD的右侧作弧，两弧交于点 C，连接 BC，DC 和 AC，AC 与 BD 交于点 O（1）用尺规补全图形，并证明四边形 ABCD 为菱形；（2）如果 AB5，cosABD，求 BD 的长 【答案】解：（1）如图，证明：由作法得 BCDCAB，ABDADB，ABAD BCDCADAB，四边形 ABCD 为菱形；（2）四边形 ABCD 为菱形，BDAC，OBOD，在 RtABO 中，cosABO，而 AB5，BO3，BD2BO6【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知
47、角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了菱形的判定与性质 28（2019通州区一模）如图，在ABC 中，ACB90，D 是 BC 边上的一点，分别过点 A、B 作 BD、AD 的平行线交于点 E，且 AB 平分EAD（1）求证：四边形 EADB 是菱形；（2）连接 EC，当BAC60，BC2时，求ECB 的面积 【答案】（1）证明：ADBE，AEBD，四边形 EADB 是平行四边形，AB 平分EAD，EABDAB，AEBD，EABDBA，DABDBA，ADAD 四边形 EADB 是菱形；（2）解：ACB90，BAC60，BC2，tan60，AC2，SAC
48、BACBC222，AEBC，SECBSACB2【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的面积，含 30直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键 29（2019平谷区一模）如图，在ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边的中点，连接 AD，分别过点 A，C 作AEBC，CEAD 交于点 E，连接 DE，交 AC 于点 O（1）求证：四边形 ADCE 是矩形；（2）若 AB10，sinCOE，求 CE 的长 【答案】（1）证明：ABAC，点 D 是 BC 边的中点，ADBC 于点 D，AEBC，CEAD，四边形 ADCE 是平行四边形，平行四边形 ADCE 是矩形；（2）解：过点 E 作
49、EFAC 于 F AB10，AC10，对角线 AC，DE 交于点 O，DEAC10，OE5，sinCOE，EF4，OF3，OEOC5，CF2 CE 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，熟记特殊四边形的判定与性质是解题的关键 30（2019通州区一模）如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，过点 A 作O 的切线交 BC 的延长线于点 E，在弦 BC 上取一点 F，使 AFAE，连接 AF 并延长交O 于点 D（1）求证：BCAD；（2）若 CE2，B30，求 AD 的长 【答案】（1）证明：AE 是O 的切线，BAE90，A
50、B 为O 的直径，ACB90，BAC+CAE90，BAC+B90，BCAE，AFAE，ACB90，CADCAE BCAD；（2）解：连接 BD ABCCADCAE30，DAE60，BAE90，BAD30，AB 是直径，ADB90，cosBAD，ACE90，CAE30，CE2，AE2CE4，BAE90，ABC30，cotABC，即，AB4，AD6 【点睛】本题考查了切线的性质圆周角定理，等腰三角形的性质以及解直角三角形熟练掌握性质定理是解题的关键 31（2019房山区一模）如图，在ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 分别交 AC，BC 于点 D，E，过点B 作O 的切线，交 AC 的延长