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1、.word 格式.专业.专注 .函数图象关于点对称性 函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。I.函数自身关于点对称性 命 题1：函 数的 图 像 关 于 点对 称 的 充 要 条 件 是(或者)证明：（必要性）设是图像上任一点，点关于点 的 对 称 点也 在图 像 上，即故，必要性得证。（充 分 性）设 点
2、是图 像 上 任 一 点，则，即，故点也在图像上，而点 与点关于点对称，充分性得证。推论 1：奇函数的图像关于原点对称。证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有0)()(xfxf ，由命题 1 可得函数 图像关于源点对称。推论 2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。（证明略）推论 3：函数的图像关于点。证明：，.word 格式.专业.专注 .由命题 1 有函数的图像关于点对称。例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于 0 B.恒大于 0 C.可能为零 D.可正可负 分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论 2，因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增，
3、在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。解：且在区间上单调递增，函数的图像关于点对称，.所以选 A 例 2 如果函数满足，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为 7 时函数值的和始终为 6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为 4，又，从而，按上例知 x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中 k Z）例 3 定义在 上的函数满足，则 解：由命题 1可得函数关于点对称，所以点关于点的对.word 格式.专业.专注 .称 点也 在 函 数图 象 上，所 以，即；同理可
4、得，；于是.例 4 已知定义在 上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数 都有，且、，则的值为（）。A.2 B.-1 C.0 D.1 解：由函数的图象关于点成中心对称，得，又，;令则,于是是偶函数，且，即是以 3 为周期的函数，则，=1.例 4 函 数的 图 象 关 于 点成 中 心 对 称，则 实 数.解：由推论 3可知图象关于点成中心对称,所以.word 格式.专业.专注 .，即.例 5函数的反函数的图象关于点成中心对称，则实数.A.2 B.3 C.-2 D.-4 由推论 3可知图象关于点成中心对称,又的反函数的图象关于点成中心对称，所以点点关于直线,即.II.不同函数关于点对称性 命
5、题 1:函数与的图像关于点成中心对称。证明：设是函数图象上的任意一点，则点 关于的对称点是,因为点在函数的图象上，所以函数与的图像关于点成中心对称。命题 2：设均为常数，函数)与函数的定义域均为，那么函数的图象与函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是：对一切,均有b.证明：（1）充分性：设是函数图象上的任意一点，则点 关于的对称点是,且.所以,即点是函数图象上的一点，也即函数图象上任意一关于点的对称点都在函数的图.word 格式.专业.专注 .象上；同理可证，函数图象上任意一关于点的对称点也都在函数的图象上。(2)必要性：设点是函数图象上的任意一点，则点 关于点的对称点在函数图象上，,即，也即对一切,均有.由（1）（2）证明可知：命题 2 成立。推论 1 :设均为常数，则函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。证明：令,则,对均成立。对均成立.由命题 2，函数与函数的图象，即函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。例 1 已知函数是定义在 上的函数，那么与的图象 ()A.关于直线对称.B.关于直线对称.C.关于点对称.D.关于点对称。简解：令,则对均成立。,由：命题2 可知选 D。