《2021_2022学年高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1.2指数函数(第2课时)指数函数2051.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021_2022学年高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1.2指数函数(第2课时)指数函数2051.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。第 2 课时 指数函数的图象与性质的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题(重点、难点)2.能应用指数函数及其性质解决实际应用题(难点)通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养.指数函数 形如ykax(kR，且k0，a0 且a1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，那么yN(1p)x(xN)某人于今年元旦到银行存款a万元，银行利率为月息p，那么该人 9 月 1 日取款时，连本带
2、利共可以取出金额为_ a(1p)8 一个月后a(1p)，二个月后a(1p)(1p)a(1p)2，9 月 1 日取款时共存款 8 个月，那么本利和为a(1p)8.求函数的定义域、值域【例 1】求以下函数的定义域和值域：(1)y21x4；(2)y 12x；(3)y12x22x3.思路点拨：使式子的每个局部有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域 解(1)由x40，得x4，故y21x4的定义域为x|x4 又1x40，即 21x41，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。故y21x4的值域为y|y0，且y1(2)由 12x0，得 2x1，x0，y 1
3、2x的定义域为(，0 由 02x1，得12x0，012x0，故函数y12x22x3的值域为(0,16 1对于yaf(x)这类函数(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围(2)值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出uf(x)的值域；利用指数函数yau的单调性或利用图象求得函数的值域 2对于ym(ax)2n(ax)p(m0)这类函数值域问题利用换元法，借助二次函数求解 1(1)函数f(x)12x1x3的定义域为_(2)求函数y4x21x1 在x3,2上的最大值和最小值(3,0(1)由 12x0，x30，得30，且a1)的图象和性质 a1 0a0 时，y1；当x0 时，0y0 时，0y1；当
4、x1 单调性 是 R 上的增函数 是 R 上的减函数【例 3】定义域为 R 的函数f(x)2xb2x1a是奇函数(1)求a，b的值；(2)假设对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求k的取值范围；(3)求f(x)在1,2上的值域 思路点拨：(1)根据奇函数的定义，求出a，b.(2)利用单调性和奇偶性去掉f 解不等式求k的范围(3)利用(2)中单调性求f(x)的值域 解(1)函数yf(x)是定义域 R 上的奇函数，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。f00，f1f1，1b2a0，21b20a21b22a，b1，a2.(2)由(1)知f(x)12x22x1 1212x1
5、，设x1，x2R 且x1x2，那么f(x2)f(x1)12x2112x112x12x22x212x110，f(x)在定义域 R 上为减函数，由f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，可得f(t22t)k2t2，3t22tk0 恒成立，(2)212k0，解得k0，函数f(x)4xaa4x是定义域为 R 的偶函数(1)求实数a的值；(2)证明：f(x)在(0，)上是增函数 解(1)由f(x)f(x)得4xaa4x4xaa4x，即 4x1aa14xa1a0，所以4x14x1aa0，根据题意，可得1aa0，又a0，所以a1.(2)由(1)可知f(x)4x14x，设任意的x1，x2(0，)，且x1x2，
6、那么 f(x1)f(x2)4x114x14x214x2(4x14x2)114x1x2.因为 0 x1x2，所以 4x14x2，所以 4x14x20，所以 4x1x2 1，所以 114x1x24x1x214x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)于是知f(x)在(0，)上是增函数.复合函数的单调性 探究问题 1y2x的单调性如何？yx1 呢？y2x1呢？提示 y2x在 R 上单调递增，yx1 在 R 上单调递增，y2x1在 R 上单调递增.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。2y12x与y12x1的单调性分别如何？提示 y12x单调递减，y12x1单调递减 3yx与y2
7、x的单调性如何？提示 yx单调递减，y2x12x单调递减 4由以上 3 个探究，我们可以对由yf(u)，ug(x)复合而成的函数yf(g(x)的单调性做出什么猜测 提示 yf(g(x)可以由yf(u)，ug(x)复合而成，复合而成的函数单调性与yf(u)，ug(x)各自单调的关系为“同增异减 即f 与g单调性一样，复合后单调递增，f 与g单调性不同，复合后单调递减 5用单调性的定义证明：当yf(u)，ug(x)均单调递减时yf(g(x)单调递增 提示 任取x1，x2D且x1g(x2)，即u1u2，又f(x)单调递减，f(u1)f(u2)，即f(g(x1)f(g(x2)，yf(g(x)单调递增【
8、例 4】判断f(x)13x22x的单调性，并求其值域 思路点拨：先确定ux22x的值域、单调性，再确定f(x)13u的单调性和值域 解 令ux22x，那么原函数变为y13u.ux22x(x1)21 在(，1上递减，在1，)上递增，又y13u在(，)上递减，y13x22x在(，1上递增，在1，)上递减 ux22x(x1)211，y13u，u1，)，013u1313，原函数的值域为(0,3 1(变条件)本例中“xR变为“x1,2判断f(x)的单调性，并求其值域.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。解 由本例解析知，又x1,2，f(x)13x22x(x1,2)在1,1上是增函数，在(1,2上是减
9、函数 ux22x(x1,2)的最小值、最大值分别为umin1，umax3，f(x)的最大值、最小值分别为f(1)1313，f(1)133127.函数f(x)的值域为127，3.2(变设问)在本例条件下，解不等式f(x)f(1)解 f(x)f(1)，即13x22x1，(x1)20，x1，不等式的解集为x|x1 1关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)，它由两个函数yau，uf(x)复合而成其单调性由两点决定，一是底数a1 还是 0a1；二是f(x)的单调性 2求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考察f(u)和(x)的单调性，求出yf(x
10、)的单调性，其规那么是“同增异减 1比拟两个指数式值大小的主要方法(1)比拟形如am与an的大小，可运用指数型函数yax的单调性(2)比拟形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c，假设amc且cbn，那么amc且cbn，那么ambn.2指数型函数单调性的应用(1)形如yaf(x)的单调性：令uf(x)，xm，n，如果两个函数yau与uf(x)的单调性一样，那么函数yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，那么函数yaf(x)在m，n上是减函数(2)形如axay的不等式，当a1 时，axayxy；当 0aayx0，5x0.2函数f(x)13x1，x1,2的值域为_ 89，2 x1,2时，13x19，3，f(x)89，2.3函数y322x2的单调递减区间是_ 0，)令y3u，u22x2，因为y3u在 R 上单调递增，u22x2在0，)上单调递减，所以y322x2的单调递减区间是0，)4设 0 x2，y4x1232x5，试求该函数的最值 解 令t2x，0 x2，1t4.那么y22x132x512t23t5.又y12(t3)212，t1,4，y12(t3)212在1,3上是减函数，在t3,4上是增函数，当t3 时，ymin12；当t1 时，ymax52.故函数的最大值为52，最小值为12.