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1、第1页（共24页）2021-2022 学年湖北省武汉市武昌区部分学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A B C D 2（3 分）下列线段长能构成三角形的是（）A3、7、4 B2、3、6 C5、6、7 D1、2、3 3（3 分）已知等腰三角形的一边长为 4cm，另一边为 10cm，则它的周长是（）A18cm B24cm C14cm D18cm 或 24cm 4（3 分）下列命题中，不正确的是（）A关于直线对称的两个三角形一定全等 B等边三角形有 3 条对称轴 C角是轴对称图形 D等腰三
2、角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合 5（3 分）如图是教材例题中用尺规作图作出的AOB 的角平分线 OC，用到的作图依据有（）ASAS BAAS CSSS DASA 6（3 分）一个多边形的每一个内角都等于 140，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A6 条 B7 条 C8 条 D9 条 7（3 分）如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）A10：05 B20：01 C20：10 D10：02 8（3 分）如图，已知A60，则D+E+F+G 的度数为（）第2页（共24页）A180 B240 C300 D360 9（3 分
3、）如图，是由 9 个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是 3，则六边形的周长为（）A90 B60 C50 D30 10（3 分）如图，在ABC 中，AB9，AC13，点 M 是 BC 的中点，AD 是BAC 的平分线，MFAD，则 CF 的长为（）A12 B11 C10 D9 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）在平面直角坐标系中点 P（2，3）关于 x 轴的对称点是 12（3 分）为了使矩形相框不变形，通常可以在相框背后加根木条固定这种做法体现的数学原理是 13（3 分）如图，ABC 中，点 D 是边 AB、AC 的垂直平分线的交点，已知A80，则BDC
4、 的度数为 14（3 分）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 6，CDE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 BD 上有一动点 K，则 KA+KE 的最小值为 第3页（共24页）15（3 分）如图，K 是等边ABC 内部一点，AKB，BKC，CKA 的大小之比是 3：4：5，则以 KA，KB，KC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是 16（3 分）如图，已知AOB8，一条光线从点 A 发出后射向 OB 边若光线与 OB 边垂直，则光线沿原路返回到点 A，此时A82当A82时，光线射到 OB 边上的点 A1后，经 OB 反射到线段 AO 上的点 A2，若 A1A2
5、AO，光线又会沿 A2A1A 原路返回到点 A，若光线从点 A 出发后，经若干次反射能沿原路返回到点 A，则锐角A 的最小值为 三、解答题（共 8 小题，共 72 分）17（8 分）如图，在ABC 中，D 为 BC 延长线上一点，DEAB 于 E，交 AC 于 F，若A40，D45，求ACB 的度数 18（8 分）如图，点 E、F 在 BC 上，BECF，AD，BC，AF 与 DE 交于点 O求证：ABDC 19（8 分）如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，P 点在直线 l 的右侧，求证：PAPB 第4页（共24页）20（8 分）如图，在ABC 中，AK，BK，CK 分别平分BAC，A
6、BC，ACB，KDBC 于点 D，求证：ABACBDCD 21（8 分）如图是 68 的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为 1，ABC 的三个顶点 A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（1）在图 1 中取格点 S，使得BSCCAB（S 不与 A 重合）；（2）在图 2 中 AB 上取一点 K，使 CK 是ABC 的高；（3）在图3中AC上取一点G，使得AGBABC 22（10 分）如图是两个全等的直角三角形纸片，且 AC：BC：AB3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中
7、的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为 S1，S2（1）若 AC3，求 S1的值（2）若 S1+S226，求单个直角三角形纸片的面积是多少 第5页（共24页）23（10 分）在等边ABC 中，D 为边 AC 的中点，点 N 在边 BC 的延长线上，且MDN120（1）如图 1，点 M 在边 AB 上，求证：DMDN；（2）如图 2，点 M 在边 AB 的延长线上，试探究 BM，BN 与等边ABC 边长 BC 的数量关系；（3）如图 3，点 M 在边 AB 上，若 AM+CNBD，求ADM 的度数 24（12 分）如图，点 A（a，0），B（0，b），若点 F（a，
8、b）关于 y 轴的对称点的坐标为（2，2）（1）求AOB 的面积（2）如图 1，点 C 在线段 AB 上（不与 A、B 重合）移动，ABBD，且COD45，试探究线段 AC、BD、CD 之间的数量关系，并给出证明（3）如图 2，点 E 是 x 轴上一动点，在 y 轴正半轴上取一点 K，连接 EK，FK，FE，使EFKOAB，试探究线段 BK，KE，EA 之间的数量关系，并给出证明 第6页（共24页）2021-2022 学年湖北省武汉市武昌区部分学校八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴
9、对称图形的是（）A B C D【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误 故选：A 2（3 分）下列线段长能构成三角形的是（）A3、7、4 B2、3、6 C5、6、7 D1、2、3【解答】解：A、3+47，不能构成三角形，故此选项不合题意；B、3+256，不能构成三角形，故此选项不合题意；C、5+6117，能构成三角形，故此选项符合题意；D、1+23，不能构成三角形，故此选项不合题意 故选：C 3（3 分）已知等腰三角形的一边长为 4cm，另一边为 10cm，则它的周长是（）A18cm B24
10、cm C14cm D18cm 或 24cm【解答】解：当腰为 4cm 时，三边为 4cm，4cm，10cm，4+410，不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；当腰为 10cm 时，三边为 4cm，10cm，10cm，此时符合三角形的三边关系定理，此时等腰三角形的周长是 4cm+10cm+10cm24cm，故选：B 4（3 分）下列命题中，不正确的是（）A关于直线对称的两个三角形一定全等 第7页（共24页）B等边三角形有 3 条对称轴 C角是轴对称图形 D等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合【解答】解：A、关于直线对称的两个三角形一定全等，正确，不符合题意；B、等腰三角形有三
11、条对称轴，正确，不符合题意；C、角是轴对称图形，正确，不符合题意；D、等腰三角形底边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合，故原命题错误，符合题意 故选：D 5（3 分）如图是教材例题中用尺规作图作出的AOB 的角平分线 OC，用到的作图依据有（）ASAS BAAS CSSS DASA【解答】解：根据作图的过程可知：OMON，CMCN，在MOC 与NOC 中，=MOCNOC（SSS）故选：C 6（3 分）一个多边形的每一个内角都等于 140，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A6 条 B7 条 C8 条 D9 条【解答】解：多边形的每一个内角都等于 140，每个外角是 1801
12、4040，这个多边形的边数是 360409，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是 6 条 故选：A 7（3 分）如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）第8页（共24页）A10：05 B20：01 C20：10 D10：02【解答】解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是 20：01 故选：B 8（3 分）如图，已知A60，则D+E+F+G 的度数为（）A180 B240 C300 D360【解答】解：D+EABD，ACGF+G，D+E+F+GABD+ACG ABDA+ACB，ACGA+ABC，ABD+
13、ACGA+ABC+ACB+A180+A D+E+F+G180+A180+60240 故选：B 9（3 分）如图，是由 9 个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是 3，则六边形的周长为（）A90 B60 C50 D30【解答】解：设等边ABC 的边长为 a 9 个三角形都是等边三角形，NAAWABBNBCa，CDCEDEDFa+3，GFHFMGa+6，MNMWa+9 NWNA+AW，第9页（共24页）a+92a a9 拼成的六边形的周长为：NB+BC+CD+DF+GF+MG+MN a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9 7a+27 63+27 90 故选：A 10（3
14、分）如图，在ABC 中，AB9，AC13，点 M 是 BC 的中点，AD 是BAC 的平分线，MFAD，则 CF 的长为（）A12 B11 C10 D9【解答】解：过点 B 作 BTAC 交 FM 的延长线于 T，延长 BA 交 MF 的延长线于 G 点 M 是 BC 的中点，BMCM，第10页（共24页）BTAC，CTBM，在FCM 和TBM 中，=，FCMTBM（ASA），CFBT，BTCF，3T，ADFM，23，1G，又AD 平分BAC，12，TG，BGBT，CFBG，3AFG，GAFG，AGAF，设 AGAFx，则 CF13x，BG9+x，13x9+x，解得 x2，CF13x11 故选
15、：B 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）11（3 分）在平面直角坐标系中点 P（2，3）关于 x 轴的对称点是（2，3）【解答】解：关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，点 P（2，3）关于 x 轴的对称点坐标是（2，3），故答案为：（2，3）12（3 分）为了使矩形相框不变形，通常可以在相框背后加根木条固定 这种做法体现的数学原理是 三第11页（共24页）角形具有稳定性 【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性 故答案为：三角形具有稳定性 13（3 分）如图，ABC 中，点 D 是边 AB、AC 的垂直平分线的交点，已知A80，则BDC 的度数为 160 【
16、解答】解：连接 AD，ABC+ACB+BAC180，ABC+ACB180BAC18080100，点 D 是边 AB、AC 的垂直平分线的交点，DADB，DADC，DBADAB，DCADAC，DBA+DCADAB+DACBAC80，DBC+DCB（ABC+ACB）（DBA+DCA）1008020，DBC+DCB+BDC180，BDC18020160，故答案为：160 14（3 分）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 6，CDE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 BD 上有一动点 K，则 KA+KE 的最小值为 6 第12页（共24页）【解答】解：四边形 ABCD 是正方形
17、，C、A 关于 BD 对称，即 C 关于 BD 的对称点是 A，如图，连接 CK，则 CKAK，EK+CKCE，CDE 是等边三角形，CECD，正方形 ABCD 的面积为 6，CD=6，KA+KE 的最小值为6，故答案为：6 15（3 分）如图，K 是等边ABC 内部一点，AKB，BKC，CKA 的大小之比是 3：4：5，则以 KA，KB，KC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是 1：2：3 【解答】解：如图，将ABK 绕点 B 顺时针旋转 60得到BDC，连接 KD，BDK 为等边三角形，KACD，KDKB，以 KA，KB，KC 为边的三角形即为图中CKD，第13页（共24页）AK
18、B，BKC，CKA 的大小之比是 3：4：5，且AKB+BKC+CKA360，AKB90，BKC120，DKCBKCBKD1206060，CDKBDCBDK AKBBDK 9060 30，CKD180CDKCKD 1803060 90，以 KA，KB，KC 为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是 30：60：901：2：3，故答案为：1：2：3 16（3 分）如图，已知AOB8，一条光线从点 A 发出后射向 OB 边若光线与 OB 边垂直，则光线沿原路返回到点 A，此时A82当A82时，光线射到 OB 边上的点 A1后，经 OB 反射到线段 AO 上的点 A2，若 A1A2AO，光线又会
19、沿 A2A1A 原路返回到点 A，若光线从点 A 出发后，经若干次反射能沿原路返回到点 A，则锐角A 的最小值为 2 【解答】解：当 MNOA 时，光线沿原路返回，如图：4390882901882，654AOB828749028，876AOB748669038，98AOB668589048，由以上规律可知，A902n8，当 n5 时，A 取得最小值，最小度数为 10，当 MNOB 时，光线也能沿原路返回，如图：第14页（共24页）1290882901882，452AOB828749028，365AOB748669038，786AOB668589048，98AOB905850，由以上规律可知，A
20、90（2n1）8，当 n6 时，A 取得最小值，最小度数为 2，综上，A 的最小值为 2 故答案为：2 三、解答题（共 8 小题，共 72 分）17（8 分）如图，在ABC 中，D 为 BC 延长线上一点，DEAB 于 E，交 AC 于 F，若A40，D45，求ACB 的度数 【解答】解：DFAB，A40 AFECFD50，ACBD+CFD45+5095 18（8 分）如图，点 E、F 在 BC 上，BECF，AD，BC，AF 与 DE 交于点 O求证：ABDC 【解答】证明：BECF，BE+EFCF+EF，即 BFCE，在ABF 和DCE 中，第15页（共24页）=，ABFDCE（AAS），
21、ABDC（全等三角形对应边相等）19（8 分）如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，P 点在直线 l 的右侧，求证：PAPB 【解答】证明：连接 PA 交直线 l 于 C，连接 PB，BC，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，CACB APCA+CPCB+CPPB，即 PAPB 20（8 分）如图，在ABC 中，AK，BK，CK 分别平分BAC，ABC，ACB，KDBC 于点 D，求证：ABACBDCD 【解答】证明：作 KEAB 于 E，KFAC 于点 F，第16页（共24页）AK 平分BAC，KEAB，KFAC，KEKF，在 RtAKE 和 RtAKF 中，=，AKEAKF（HL）
22、，AEAF，同理可得：BEBD，CDCF，ABACAE+BEAFCFBECFDBCD 21（8 分）如图是 68 的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为 1，ABC 的三个顶点 A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示（1）在图 1 中取格点 S，使得BSCCAB（S 不与 A 重合）；（2）在图 2 中 AB 上取一点 K，使 CK 是ABC 的高；（3）在图3中AC上取一点G，使得AGBABC【解答】解：（1）如图 1 中，点 S 即为所求；第17页（共24页）（2）如图 2 中，线段 CK 即为所
23、求；（3）如图，点 G 即为所求 22（10 分）如图是两个全等的直角三角形纸片，且 AC：BC：AB3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为 S1，S2（1）若 AC3，求 S1的值（2）若 S1+S226，求单个直角三角形纸片的面积是多少 【解答】解：（1）AC：BC：AB3：4：5，AC3，BC4，AB5，由折叠可得，DMCM，ADMC90，ADAC3，设 DMCMx，则 BM4x，第18页（共24页）SABM=12ABDM=12BMAC，ABDMBMAC，即 5x3（4x），解得 x=32，S
24、1=12BDDM=12 2 32=32（2）由 AC：BC：AB3：4：5，可设 AC3x，BC4x，AB5x，如图 1，由折叠可得，ADAC3x，BD5x3x2x，DMCM，ADMC90，SABM=12ABDM=12BMAC，ABDMBMAC，即 5xDM（4xDM）3x，解得 DM=32x，S1=12BDDM=122x32x=322；如图 2，由折叠可得，BCBE4x，ENCN，AEx，AN3xEN，SABN=12ABEN=12ANBC，ABENANBC，即 5xEN（3xEN）4x，解得 EN=43x，S2=12AEEN=12x43x=232，S1+S226，322+232=26，解得
25、x212，SABC=12 3 4=6x272 23（10 分）在等边ABC 中，D 为边 AC 的中点，点 N 在边 BC 的延长线上，且MDN120（1）如图 1，点 M 在边 AB 上，求证：DMDN；（2）如图 2，点 M 在边 AB 的延长线上，试探究 BM，BN 与等边ABC 边长 BC 的数量关系；（3）如图 3，点 M 在边 AB 上，若 AM+CNBD，求ADM 的度数 第19页（共24页）【解答】（1）证明：如图 1，作 DEBC 交 AB 于 E，ABC 是等边三角形，ABACBC，ABACB60，D 为 AC 的中点，ADDC=12AC，DEBC，AEDBADEACB60
26、，ADE 为等边三角形 AEDEAD，DEDC，MDNEDC120，EDMCDN，在DCN 和DEM 中，=，DCNDEM（ASA），DNDM（2）解：如图 2，作 DEBC 交 AB 于 E，第20页（共24页）由（1）同理可证DEMDCN，EMCN，BNBMBC+CNEM+BEBC+BE=32BC（3）如图 3，作 DEBC 交 AB 于 E，DHAB 于点 H，由（1）知，EMCN，D 为 AC 的中点，ABD30，DHAB，BD2DH，ADE 为等边三角形，DHAB，AHEH，AM+CNBD，AH+EH+EM+EM2DH，即 EH+EMDH，MHDH，即HDM 为等腰直角三角形，AMD
27、45，ADM180AAMD180604575 24（12 分）如图，点 A（a，0），B（0，b），若点 F（a，b）关于 y 轴的对称点的坐标为（2，2）第21页（共24页）（1）求AOB 的面积（2）如图 1，点 C 在线段 AB 上（不与 A、B 重合）移动，ABBD，且COD45，试探究线段 AC、BD、CD 之间的数量关系，并给出证明（3）如图 2，点 E 是 x 轴上一动点，在 y 轴正半轴上取一点 K，连接 EK，FK，FE，使EFKOAB，试探究线段 BK，KE，EA 之间的数量关系，并给出证明 【解答】解：（1）由题意可得：a2，b2，OA2，OB2，=12 =12 2 2=
28、2，（2）CDBD+AC，过点 O 作 OEOD 交 BC 的延长线于 E，BOD+DOA90，AOE+DOA90，BODAOE，OBAOAB45，OAEOBD135，第22页（共24页）在OBD 和OAE 中，=，OBDOAE（ASA），ODOE，BDAE，BD+ACAC+AECE，在DOC 和EOC 中，=，DOCEOC（SAS），CDCEBD+AC；（3）OAB45，EFKOAB，EFK45，当 E 在 A 右侧时，K 不在 y 轴正半轴上，不合题意；当 E 在 A 上时，K 与 O 重合，不合题意；当 E 在 A，O 之间时，过点 F 作 FMFE 交 y 轴于点 M，连接 FB，FA
29、，F（2，2），A（2，0），B（0，2），OAOB，AFx 轴，BFy 轴，FBOFAO90，AOB90，四边形 AOBF 是矩形，OAOB，矩形 AOBF 是正方形，AFBF，AFB90，第23页（共24页）EFA90BFE，FMFE，EFM90，MFB90BFE，MFBEFA，在MFB 与EFA 中，=，MFBEFA（ASA），MBEA，MFEF，KFE45，KFM904545，在KFM 和KFE 中，=，KFMKFE（SAS），KEKMBK+MBBK+EA，即 KEBK+EA；当 E 在 O 上时，BK0，KEEA2，也满足 KEBK+EA；当 E 在 O 左侧时，同理可证，BFMAFE（ASA），EAMB，第24页（共24页）同理可证KFMKFE（SAS），MKKE，EABK+KE，综上所述：KEBK+EA 或 EABK+KE