《2021_2022学年高中数学第3章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数学2583.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021_2022学年高中数学第3章导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数学2583.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。3.1.1 函数的平均变化率 3.1.2 瞬时速度与导数 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度(易混点)f(x)在xx0处的导数f(x)(重点)f(x)的导函数f(x)(难点)1.由实际背景变化率到导数的概念，培养学生的数学抽象素养.2.通过利用定义求函数在某点处导数的学习提升学生的数学运算素养.1函数的平均变化率 函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：yxfx2fx1x2x1.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)几何意义：P1(
2、x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，那么平均变化率yxfx2fx1x2x1表示割线P1P2的斜率 思考 1：观察函数yf(x)的图象，平均变化率yxfx2fx1x2x1表示什么？提示 yx表示曲线yf(x)上两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的斜率 2瞬时变化率(1)物体运动的瞬时速度 设物体运动的路程与时间的关系是sf(t)，当t0到t0t时，当 t趋近于 0 时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率为ft0tft0t趋近于常数，这个常数称为t0时刻的瞬时速度(2)函数的瞬时变化率 设函数yf(x)在x0附近有定义，当自变量在xx0附近改变
3、 x时，函数值相应地改变.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。yf(x0 x)f(x0)，如果当 x趋近于 0 时，平均变化率fx0 xfx0 x趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0处的瞬时变化率 3函数在某一点处的导数与导函数(1)函数f(x)在xx0处的导数 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)limx0 fx0 xfx0 x.(2)导函数定义 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，那么称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x)
4、，于是在区间(a，b)内f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数记为f(x)(或yx、y)(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值，即f(x0)f(x)|xx0.思考 2：f(x0)与f(x)表示的意义一样吗？提示 f(x0)表示f(x)在xx0处的导数，是一个确定的值f(x)是f(x)的导函数，它是一个函数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值 1函数f(x)x21，那么在x2，x0.1 时，y的值为()B 由 yf(x2)f(2)(0.12)240.41，知选 B.2函数f(x)2x24 的图象上一点(1，2)及邻
5、近一点(1x，2y)，那么yx等于()A4 B4x C42x D42(x)2 C yxf1xf1x21x22x42x.3 质点按规律s(t)at1 运动，假设t2 时刻的瞬时速度为12，那么a的值为_ 12 limt0 s2ts2ta12 .下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。函数的平均变化率【例 1】(1)函数f(x)2x23x5.求：当x14，x25 时，函数增量 y和平均变化率yx；求：当x14，x24.1 时，函数增量 y和平均变化率yx.(2)求函数yf(x)x2在x1,2,3 附近的平均变化率，取 x都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解(1)因为f(x)2x23x5，所以
6、yf(x1x)f(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x213x15)2(x)22x1x3x 2(x)2(4x13)x.yx2x24x13xx2x4x13.当x14，x25 时，x1，y2(x)2(4x13)x21921，yx21.当x14，x24.1 时，x0.1，y2(x)2(4x13)x 0.021.91.92.yx2x4x1319.2.(2)在x1 附近的平均变化率为 k1f1xf1x1x21x 2x；在x2 附近的平均变化率为 k2f2xf2x2x222x 4x；在x3 附近的平均变化率为 k3f3xf3x3x232x.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。6x.当 x13时，k
7、121373，k2413133，k3613193.由于k1k2k3，所以在x3 附近的平均变化率最大 求平均变化率的主要步骤 1先计算函数值的改变量 yfx2fx1；2再计算自变量的改变量 xx2x1；3得平均变化率yxfx2fx1x2x1.1(1)函数f(x)x22x5 的图象上的一点A(1，6)及邻近一点B(1x，6y)，那么yx_.(2)如下图是函数yf(x)的图象，那么函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为_；函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为_ (1)x(2)12 34(1)yxf1xf1x 1x221x56x x.(2)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为 f1f111
8、21212.由函数f(x)的图象知，.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。f(x)x32，1x1，x1，1x3.所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为 f2f020332234.导数的定义及求函数在某点处的导数【例 2】(1)假设limx0 fx0 xfx0 xk，那么limx0 fx02xfx0 x等于()A2k Bk C12k D以上都不是(2)求函数yx在x1 处的导数 思路探究(1)严格按照导数定义推导求解(2)(1)A limx0 fx0 xfx0 xk，limx0 fx02xfx0 x limx0 2fx02xfx02x，2limx0 fx02xfx02x2k.(2)法一
9、：(定义法)y 1x1，yx1x1x11x1，当 x无限趋近于 0 时，yx11x1趋近于12，即yx在x1 处的导数是12.y|x112.法二：(求导函数的函数值法).下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。yxxxxxxx，yx1xxx，当 x无限趋近于 0 时，yx1xxx趋近于12x，当x1 时导函数值为12，即y|x112.1用导数定义求函数yfx在点x0处的导数的步骤：求函数的增量 yfx0 xfx0；求平均变化率yxfx0 xfx0 x；,取极限，得导数fx0limx0yx.2求函数在某点处的导数，还可以先求出函数的导数，再计算此点处的导数值.提醒：可以简记为：一差、二比、三极限
10、.2f(x)3x2，f(x0)6，求x0.解 f(x0)limx0 3x0 x23x20 x limx0(6x03x)6x0，又f(x0)6，6x06，即x01.求物体运动的瞬时速度 探究问题 1平均变化率与瞬时变化率有什么联系？提示 区别：平均变化率刻画函数值在区间x1到x2这一段上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢 联系：当 x趋于 0 时，平均变化率yx趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值 2x趋近于 0 的含义是什么？提示 x趋于 0 的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终 x0.下载后可自行编辑修改，页脚下载后
11、可删除。3导数与瞬时变化率有什么关系？提示：导数是函数在x0及其附近函数的改变量 y与自变量的改变量 x之比的极限，它是一个局部性的概念，假设limx0 yx存在，那么函数yf(x)在x0处有导数，否那么不存在导数【例 3】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1 表示，求物体在t1 s 时的瞬时速度 思路探究 求函数增量s 求st 求极限 解 sts1ts1t 1t21t11211t 3t，limt0 stlimt0(3t)3.物体在t1 s 处的瞬时变化率为 3，即物体在t1 s 时的瞬时速度为 3 m/s.1(变结论)假设本例条件不变，试求物体的初
12、速度 解 sts0ts0t 0t20t11t 1t，limt0 stlimt0(1t)1.物体在t0 处的瞬时变化率为 1，即物体的初速度为 1 m/s.2(变结论)假设本例的条件不变，试问物体在哪一时刻瞬时速度为 9 m/s.解 设物体在t0时刻的瞬时速度为 9 m/s，stst0tst0t2t01t，limt0 stlimt0(2t01t)2t01.那么 2t019，t04.下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。那么物体在 4 s 时的瞬时速度为 9 m/s.1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答此题的常见问题.2求运动物体瞬时速度的三个步骤 求时间改变量 t和位
13、移改变量 sst0tst0.求平均速度vst.求瞬时速度，当 t无限趋近于 0 时，st无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即vst0.1思考辨析(1)函数在某一点的导数与 x的正、负无关()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x1，x2上变化快慢的物理量()(3)在导数的定义中，x，y都不可能为零()提示(1)(2)(3)2 一质点的运动方程是s42t2，那么在时间段1,1t内相应的平均速度为()A2t4 B2t4 C4 D2t24t B v421t24212t4t2t2t2t4.3如果某物体做运动方程为s2(1t2)的直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，那么它在 1.2 s 末的瞬时速度为()A0.88 m/s B0.88 m/s C4.8 m/s D4.8 m/s C 在 1.2 s 时的瞬时速度即为s在t1.2 处的导数，由于s(t0)limt0 21t0t221t20t4t0，所以s(1.2)41.24.8(m/s).下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。4当h无限趋近于 0 时，limh0 3h232h_.6 limh0 3h232hlimh0 6hh2hlimh0(6h)6.5求函数y1x在x1 处的导数 解 y11x111x1xx1x，yx11x，所以函数在x1 处的导数 limx0 11x1.