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1、矩阵分析常新功常新功邮箱：c_x_ 电话：13513642991v教材及参考资料教材及参考资料11矩阵分析矩阵分析，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出，史荣昌，魏丰编著，北京理工大学出版社，版社，2010.62010.6，第，第3 3版版22Matrix Methods in Data Mining and Pattern Matrix Methods in Data Mining and Pattern RecognitionRecognition，Lars EldLars Eld n n，The SIAM series on The SIAM series on Fundamentals o
2、f AlgorithmsFundamentals of Algorithms，2007.22007.233Foundations of Data ScienceFoundations of Data Science，John HopcroftJohn Hopcroft，Ravindran KannanRavindran Kannan，Version 11/4/2014Version 11/4/2014v预习、听课、复习、练习预习、听课、复习、练习(每章至少每章至少5 5题题)、阅读相关、阅读相关文献、考试文献、考试 作为一门重要的数学工具，矩阵分析极大地推作为一门重要的数学工具，矩阵分析极大地
3、推动了信息处理（机器学习、商务智能、数据挖掘、动了信息处理（机器学习、商务智能、数据挖掘、网络分析）的发展。网络分析）的发展。1.1.线性空间与线性变换线性空间与线性变换2.2.矩阵与矩阵的矩阵与矩阵的JordanJordan标准形标准形3.3.内积空间、正规矩阵、内积空间、正规矩阵、HermiteHermite矩阵矩阵4.4.矩阵分解矩阵分解5.5.范数、序列、级数范数、序列、级数6.6.矩阵函数矩阵函数7.7.函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵与矩阵微分方程8.8.矩阵的广义逆矩阵的广义逆9.9.KroneckerKronecker积积主要内容主要内容v线性空间与线性变换线性空间与线性变换：以
4、前我们谈集合和映射以前我们谈集合和映射(自自己到自己的映射称为变换，一般映射总可以化为变己到自己的映射称为变换，一般映射总可以化为变换换)，现在谈空间与变换。一般我们指具有结构的，现在谈空间与变换。一般我们指具有结构的集合称为空间。集合称为空间。(代数代数)结构是指定义了某些运算的结构是指定义了某些运算的集合。如定义了线性运算集合。如定义了线性运算(加和数乘加和数乘)且运算满足一且运算满足一定性质的集合称为线性空间。第一章是全书的基础，定性质的集合称为线性空间。第一章是全书的基础，重要概念有线性空间、线性子空间、线性变换及其重要概念有线性空间、线性子空间、线性变换及其矩阵表示、核空间，值空间、
5、线性变换的特征值与矩阵表示、核空间，值空间、线性变换的特征值与特征向量。特征向量。v矩阵与矩阵的矩阵与矩阵的Jordan标准形标准形：元素为元素为 的多项式的的多项式的矩阵称为矩阵称为 矩阵。特征矩阵矩阵。特征矩阵 E-AE-A就是就是 矩阵的特例。矩阵的特例。利用这个概念我们可以导出任一矩阵均相似于其利用这个概念我们可以导出任一矩阵均相似于其JordanJordan标准形这一重要结果。标准形这一重要结果。特征值与特征向量在特征值与特征向量在求求JordanJordan标准形的过程中起到了重要的作用。而标准形的过程中起到了重要的作用。而JordanJordan标准形有助于解决许多问题。标准形有
6、助于解决许多问题。v内积空间、正规矩阵、内积空间、正规矩阵、HermiteHermite矩阵矩阵：引入内引入内积的线性空间称为内积空间积的线性空间称为内积空间(欧氏空间和酉空欧氏空间和酉空间间)，内积将度量的概念引入到了线性空间中，内积将度量的概念引入到了线性空间中，这样我们就可以在其中求距离、夹角、极限这样我们就可以在其中求距离、夹角、极限等等。正规矩阵、等等。正规矩阵、HermiteHermite矩阵、二次型是本矩阵、二次型是本章的主要概念。章的主要概念。v矩阵分解：矩阵分解：矩阵分解讲解满秩分解，正交三矩阵分解讲解满秩分解，正交三角分解，奇异值分解，非负矩阵分解和谱分角分解，奇异值分解，
7、非负矩阵分解和谱分解。解。v范数、序列、级数范数、序列、级数：定义了范数，我们就可定义了范数，我们就可以定义矩阵序列、矩阵级数及其极限，并讨以定义矩阵序列、矩阵级数及其极限，并讨论其收敛和发散性。论其收敛和发散性。v矩阵函数矩阵函数：以矩阵为变量的函数称为矩阵函以矩阵为变量的函数称为矩阵函数。数。JordanJordan标准形在此起了很重要的作用。标准形在此起了很重要的作用。v函数矩阵与矩阵微分方程函数矩阵与矩阵微分方程：将将 矩阵的概念矩阵的概念推广，元素为任意函数推广，元素为任意函数的的矩阵称为矩阵称为函数函数矩阵。矩阵。这样我们可以求矩阵的导数、微分、积分，这样我们可以求矩阵的导数、微分
8、、积分，并求解相应的微分方程。并求解相应的微分方程。v矩阵的广义逆矩阵的广义逆：将逆矩阵的概念在矩阵不可将逆矩阵的概念在矩阵不可逆的情形正在推广就得到了广义逆或伪逆矩逆的情形正在推广就得到了广义逆或伪逆矩阵的概念，从而使矩阵的求逆运算推广到了阵的概念，从而使矩阵的求逆运算推广到了更广的场合。更广的场合。vKroneckerKronecker积积：KroneckerKronecker积是矩阵的另一种积是矩阵的另一种乘法，有广泛的应用。乘法，有广泛的应用。第一章第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换第一章第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换1.1 1.1 线性空间线性空间1.2 1.
9、2 基与坐标、坐标变换基与坐标、坐标变换1.3 1.3 线性子空间线性子空间1.4 1.4 线性映射线性映射1.5 1.5 线性映射的值域、核线性映射的值域、核1.6 1.6 线性变换的矩阵与线性变换的运算线性变换的矩阵与线性变换的运算1.7 1.7 n n维线性空间的结构维线性空间的结构1.8 1.8 线性变换的特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量1.9 1.9 线性变换的不变子空间线性变换的不变子空间1.10 1.10 矩阵的相似形矩阵的相似形1.1 线性空间线性空间(a)数域数域数域数域(field)：关于四则运算封闭的数的集合。：关于四则运算封闭的数的集合。任何数域任何数域都含有
10、元素都含有元素0和元素和元素1；典型数域：复数域典型数域：复数域C，实数域实数域R，有理数域有理数域Q；任意数域任意数域F都包括有理数域都包括有理数域Q。一、线性空间概念一、线性空间概念(b)线性空间线性空间 给定非空集合给定非空集合V，数域数域F，如果满足：如果满足：在在V中定义一个中定义一个封闭封闭的加法的加法加法交换律加法交换律加法结合律加法结合律零向量零向量负向量负向量 在在V中定义一个中定义一个封闭封闭的数乘运算的数乘运算数对元素分配律数对元素分配律元素对数分配律元素对数分配律数因子结合律数因子结合律单位向量单位向量则称则称V是是F上的上的线性空间线性空间(linear space)
11、。当。当F是实是实数域时，称数域时，称V为为实线性空间实线性空间；当；当F是复数域时，称是复数域时，称V为为复线性空间。复线性空间。阿贝尔群V和数域F上的线性运算具有良好性质，则构成一个线性空间。例例1 实系数，次数不超过实系数，次数不超过n的一元多项式的集合构的一元多项式的集合构成实数域成实数域R上的线性空间，但由所有次数为上的线性空间，但由所有次数为n的实的实系数多项式构成的集合系数多项式构成的集合V不是实数域不是实数域R上的线性空上的线性空间。间。例例2 2 闭区间闭区间 a,ba,b上所有实连续函数集上所有实连续函数集 Ca,b=f(x)|f(x)Ca,b=f(x)|f(x)是是 a,
12、ba,b上实连续函数上实连续函数.f,gf,g Ca,b,kCa,b,k R,(f+g)(x)=f(x)+g(x),R,(f+g)(x)=f(x)+g(x),(kf)(x)=kf(x).(kf)(x)=kf(x).不难证明不难证明Ca,bCa,b满足线性空间的满足线性空间的定义定义,故它是实线性空间。故它是实线性空间。例例3 所有所有n阶实向量的集合。阶实向量的集合。Rn例例4 所有所有n阶实矩阵的集合。阶实矩阵的集合。Rnn(c)线性空间的基本性质线性空间的基本性质 1.零元素是唯一的；零元素是唯一的；2.任一元素的负元素是唯一的；任一元素的负元素是唯一的；3.设设 ，有有 若若 ，则则 或
13、或 。给定线性空间给定线性空间V中一组元素中一组元素x1,xm，对于对于xV，若存在数域若存在数域K中的一组数中的一组数c1,cm使得使得则称则称x是是x1,xm的的线性组合线性组合(linear combination)，或称或称x能被能被x1,xm线性表示线性表示（线性表出线性表出）。对于线性空间对于线性空间V中一组元素中一组元素x1,xm，若存在数域若存在数域F中的一组不全为零的数中的一组不全为零的数c1,cm使得使得则称则称x1,xm是是线性相关线性相关(linearly dependent)的。的。否则称否则称x1,xm是是线性无关线性无关(linearly independent)
14、的。的。二、向量的线性相关性二、向量的线性相关性例例5 在在Rn中，分别讨论下面两个向量组的线性相中，分别讨论下面两个向量组的线性相关性：关性：例例6 讨论下面讨论下面2阶矩阵的线性相关性：阶矩阵的线性相关性：例例7 设设V是是R上全体实函数构成的线性空间，讨论上全体实函数构成的线性空间，讨论V中元素组中元素组t，et，e2t的线性相关性的线性相关性。1.一个向量线性相关的充要条件是它是零向量。一个向量线性相关的充要条件是它是零向量。两个以上的的向量线性相关的充要条件是其中有两个以上的的向量线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合。一个向量是其余向量的线性组合。2.如果向量组如果
15、向量组x1,x2,xr线性无关，而且可以被向量线性无关，而且可以被向量组组y1,y2,ys线性表出，则线性表出，则rs。3.两个等价的线性无关的向量组，必含有相同数两个等价的线性无关的向量组，必含有相同数量的向量。量的向量。4.如果向量组如果向量组x1,x2,xr线性无关，但线性无关，但x1,x2,xr,y线性相关，则线性相关，则y必可以由必可以由x1,x2,xr线性表出，且表线性表出，且表法唯一。法唯一。线性空间线性空间V中线性无关向量组所含向量最大个数中线性无关向量组所含向量最大个数n称为称为V的的维数维数(dimension)，记为，记为dimV=n。当。当n是有是有限数时，称限数时，称
16、V为为n维线性空间维线性空间。当。当n=时，称时，称V为为无无限维线性空间限维线性空间。例例1 Pnx的维数为的维数为n+1，1,x,x2,xn是一个是一个最大线最大线性无关组性无关组。例例2 微分方程微分方程 的解集为的解集为例例3 所有所有n阶实矩阵的集合阶实矩阵的集合Rnn是是n2维线性空间，维线性空间，Eij=eiejT是一个是一个最大线性无关组最大线性无关组。则则dimY=2。所有实系数多项式构成的线性空间是所有实系数多项式构成的线性空间是无限维无限维的。的。1.2 1.2 基与坐标、坐标变换基与坐标、坐标变换(a)维数维数(b)基与坐标基与坐标给定数域给定数域F上的线性空间上的线性
17、空间V，x1,x2,xr是是V中的中的r个个向量。如果满足向量。如果满足：1.x1,x2,xr线性无关线性无关；2.V中中任意任意一个向量都可以由一个向量都可以由x1,x2,xr线性表出线性表出，则称，则称x1,x2,xr是是V的一组的一组基基(base)，并称，并称xi为为基向量基向量。线性空间的维数就是基中所含基向量个数。线性空间的维数就是基中所含基向量个数。称称n维线性空间维线性空间V的一组基的一组基x1,x2,xn为为坐标系坐标系。对任意对任意xV，在该组基下的线性表示为，在该组基下的线性表示为则称则称x x1,x x2,x xn是是x在该坐标系下的在该坐标系下的坐标坐标(coordi
18、nate)或或分量分量，记为，记为(x x1,x x2,x xn)T。(c)基变换基变换假设假设x1,x2,xn是是n维线性空间维线性空间V的基，的基，y1,y2,yn是是V的另一组基，则有的另一组基，则有称称矩阵矩阵(matrix)C是一组基到另一组基的是一组基到另一组基的过渡矩阵过渡矩阵定理定理3：若：若P是从是从x1,x2,xn到到y1,y2,yn的过渡矩阵，的过渡矩阵，则从则从y1,y2,yn到到x1,x2,xn 的过渡矩阵是的过渡矩阵是P-1。定理定理4：假设从：假设从x1,x2,xn到到y1,y2,yn的过渡矩阵是的过渡矩阵是C，从，从y1,y2,yn到到z1,z2,zn的过渡矩阵
19、是的过渡矩阵是B，则从，则从x1,x2,xn到到z1,z2,zn的过渡矩阵是的过渡矩阵是CB。定理定理2：过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵。逆矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵。(d)坐标变换坐标变换假设假设n维线性空间维线性空间V中的基中的基x1,x2,xn到到y1,y2,yn的的过渡矩阵是过渡矩阵是C，即，即x在两组基的坐标为在两组基的坐标为(x x1,x x2,x xn)T和和(h h1,h h2,h hn)T，则有则有或或例例4 给定给定n维向量空间中的两组基：维向量空间中的两组基：求从求从x1,x2,xn到到
20、y1,y2,yn的过渡矩阵的过渡矩阵C和从和从y1,y2,yn到到x1,x2,xn 的过渡矩阵的过渡矩阵B。并求向量。并求向量a a=(a1,a2,an)在在y1,y2,yn下的坐标。下的坐标。例例5 给定给定4维向量空间中的两组基：维向量空间中的两组基：求从求从x1,x2,x3,x4到到y1,y2,y3,y4的过渡矩阵的过渡矩阵C。例例6 已知已知R22中的两组基：中的两组基：求从求从E11,E12,E21,E22到到F11,F12,F21,F22的过渡矩阵，并的过渡矩阵，并求矩阵求矩阵在基在基F11,F12,F21,F22下的坐标。下的坐标。1.3 线性子空间线性子空间(a)线性子空间线性
21、子空间设设V1是数域是数域F上的线性空间上的线性空间V上一个非空子集合，上一个非空子集合，且对已有的线性运算满足以下条件：且对已有的线性运算满足以下条件：1.如果如果x,yV1，则，则x+yV1；则称则称V1是是V的的线性子空间线性子空间(linear subspace)或或子空子空间间。线性子空间也是线性空间；线性子空间也是线性空间；2.如果如果xV1，kF，则，则kxV1；线性空间的平凡子空间：线性空间自身和线性空间的平凡子空间：线性空间自身和0子空间；子空间；线性子空间的维数小于等于线性空间的维数。线性子空间的维数小于等于线性空间的维数。n元齐次线性方程组元齐次线性方程组的全部解向量所成
22、集合的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数对于通常的向量加法和数量乘法构成的线性空间是量乘法构成的线性空间是n维向量空间维向量空间Rn的一个子的一个子空间，称为方程组的解空间。空间，称为方程组的解空间。方程组的解空间方程组的解空间W的维数的维数=n-秩秩(A)=n-rankA。方程组的一个基础解系就是解空间方程组的一个基础解系就是解空间W的一组基。的一组基。例例1 判断判断Rn的下列子集合哪些是子空间：的下列子集合哪些是子空间：若为若为Rn的子空间，求出其维数与一组基。的子空间，求出其维数与一组基。V1是子空间，是子空间，dimV1=n-1，一组基为：，一组基为：(-1,0,0,1),(
23、0,-1,0,1),(0,0,-1,1)。V2不是子空间，因为对于不是子空间，因为对于 。V3是子空间，是子空间，dimV3=n-1，一组基为：，一组基为：e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),en-1=(0,0,1,0)。设设x1,x2,xm是数域是数域K上的线性空间上的线性空间V的一组向量，的一组向量，其所有可能的线性组合的集合其所有可能的线性组合的集合 是是V的线性子空间，称为由的线性子空间，称为由x1,x2,xm生成生成(或或张成张成)的子空间的子空间,记为记为如果如果x1,x2,xm是线性无关是线性无关,则它们就是一组基。则它们就是一组基。定理定理5：设：设V1为为n维
24、线性空间维线性空间V的一个的一个 m 维子空间，维子空间，x1,x2,xm为为V1的一组基，则这组向量必定可扩充为的一组基，则这组向量必定可扩充为V的一组基，即在的一组基，即在V中必定可找到中必定可找到nm个向量个向量xm+1,xm+2,xn，使得，使得x1,x2,xn是是V的一组基。的一组基。设设ARmn的的n个列向量为个列向量为a1,a2,an，则，则是是Rm的线性子空间，称为矩阵的线性子空间，称为矩阵A的的值域值域(range)。类似可定义类似可定义AT的值域，它是的值域，它是Rn的线性子空间。的线性子空间。对于矩阵对于矩阵ARmn，集合，集合称为称为A的的核空间核空间(null spa
25、ce)，记为，记为N(A)。它是。它是Rn的的线性子空间。它的维数称为线性子空间。它的维数称为A的零度，记为的零度，记为n(A)，容易证明：容易证明：rankA=dimR(A)=dimR(AT)。例例3 设设ARmn，证明：，证明：例例2 已知已知 ，求，求A，AT的秩和零度。的秩和零度。dimR(AT)+dimN(AT)=m;dimR(A)+dimN(A)=n;n(A)-n(AT)=n-m。(b)线性子空间的交与和线性子空间的交与和定理定理6：设：设V1、V2为线性空间为线性空间V的子空间，则集合的子空间，则集合 也为也为V的子空间，称之为的子空间，称之为V1与与V2的的交交(interse
26、ction)空间空间。定理定理7：设：设V1、V2为线性空间为线性空间V的子空间，则集合的子空间，则集合 也为也为V的子空间，称之为的子空间，称之为V1与与V2的的和和(sum)空间空间。V的两子空间的的两子空间的并并(union)未必未必是是V的子空间。的子空间。例如例如R2中的两条直线的并集就不是中的两条直线的并集就不是R2的子空间。的子空间。定理定理8(维数定理维数定理)：设：设V1、V2为线性空间为线性空间V的子空的子空间，则有：间，则有：子空间的和的维数不大于各子空间的维数的和。子空间的和的维数不大于各子空间的维数的和。(1)此时此时V1V2必包含非零向量。必包含非零向量。(2)此时
27、此时V1V2只包含零向量，即只包含零向量，即V1V2=0。设设V1、V2为线性空间为线性空间V的子空间，若和空间的子空间，若和空间V1+V2中的每个向量中的每个向量x的分解式的分解式是唯一的，则称和是唯一的，则称和V1+V2为为直和直和(direct sum)，记，记做做 。(1)分解式唯一是指：若有分解式唯一是指：若有(2)分解式唯一，不是在任意两个子空间的和中都分解式唯一，不是在任意两个子空间的和中都成立。成立。则有则有x1=y1，x2=y2。例例4 设设R22的两个子空间为：的两个子空间为：(1)把把V1+V2表示成生成子空间；表示成生成子空间；(2)求求V1+V2的基和维数；的基和维数
28、；(3)求求V1V2的基和维数。的基和维数。定理定理9：设：设V1、V2为线性空间为线性空间V的子空间，则下面的子空间，则下面五个条件等价：五个条件等价：(1)V1+V2是直和；是直和；(2)零向量的分解式唯一；零向量的分解式唯一；(3)V1V2=0；(4)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2。(5)若若x1,x2,xs是是V1的一组基，的一组基，y1,y2,yr是是V2的一的一组基，则组基，则x1,x2,xs,y1,y2,yr 是是V1+V2的一组基。的一组基。设设V1,V2,Vs是线性空间是线性空间V的子空间，若和空间的子空间，若和空间V1+V2+Vs中的每个向量中的每个向量x的分
29、解式的分解式是唯一的，则称和是唯一的，则称和V1+V2+Vs为为直和直和，记做，记做 定理定理10：下面四个条件等价：下面四个条件等价：(1)V1+V2+Vs是直和；是直和；(2)零向量的分解式唯一；零向量的分解式唯一；(3)(4)dim(V1+V2+Vs)=dimV1+dimV2+dimVs。1.1-1.3小结小结v线性空间的概念。例如线性空间的概念。例如Rn，Rnn，Pnx，Ca,b。v线性无关、线性相关，基，坐标线性无关、线性相关，基，坐标如果向量组如果向量组x1,x2,xr线性无关，而且可以被向量线性无关，而且可以被向量组组y1,y2,ys线性表出，则线性表出，则rs。v线性子空间。空
30、间自身，零空间，交空间，和空间，线性子空间。空间自身，零空间，交空间，和空间，核空间，值域空间，核空间，值域空间，。v维数定理维数定理v设设V1、V2为线性空间为线性空间V的子空间，则下面条件等价：的子空间，则下面条件等价：(1)V1+V2是直和；是直和；(2)零向量的分解式唯一；零向量的分解式唯一；(3)V1V2=0；(4)dim(V1+V2)=dimV1+dimV2。(5)若若x1,x2,xs是是V1的一组基，的一组基，y1,y2,yr是是V2的一组基，的一组基，则则x1,x2,xs,y1,y2,yr 是是V1+V2的一组基。的一组基。1.4 1.4 线性映射线性映射(a)映射映射设设S、
31、S是给定的两个非空集合，如果有一个对是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则应法则，通过这个法则通过这个法则对于对于S中的每一个元素中的每一个元素a，都有都有S中一个唯一确定的元素中一个唯一确定的元素a与它对应与它对应,则则称称为为S到到S的一个的一个映射映射，记作，记作:或或 。称。称 a为为 a 在映射在映射下的下的象象，而，而 a称为称为a 在映射在映射下的下的原象原象，记作，记作(a)a.若若 都有都有 则称为则称为单射单射；若若 都存在都存在aS，s s(a)=a，则称为则称为满射满射；既是单射又是满射的称为既是单射又是满射的称为双射双射，或，或一一对应一一对应。设设1,2都是集合都
32、是集合S 到集合到集合S的映射，若对的映射，若对S 的每的每个元素个元素a 都有都有1(a)=2(a)，则称它们相等，记作则称它们相等，记作1=2。设设是集合是集合S 到到S1的映射，的映射，是集合是集合S1到到S2的映射，的映射，则映射的乘积则映射的乘积tsts 定义为：定义为：设设,分别是集合分别是集合S 到到S1，S1到到S2，S2到到S3的映射，的映射，则映射的乘积满足结合律：则映射的乘积满足结合律：映射的乘积不满足交换律，即映射的乘积不满足交换律，即ts ts 不一定等于不一定等于st st。线性映射定义：线性映射定义：,设设V V1 1,V V2 2是数域是数域F F上两个线性空上
33、两个线性空间间,映射映射:V V1 1 V V 2 2,如果对于如果对于V V1 1的任何两个向量的任何两个向量1 1,2 2和任何数和任何数F F都有都有 (1 1+2 2)=()=(1 1)+()+(2 2)(1 1)=()=(1 1)则称映射则称映射是由是由V V1 1到到V V2 2的线性映射。称的线性映射。称1 1为为(1 1)的原像，的原像，(1 1)为为1 1的像。的像。例例1 1 设设B B=(b bijij)是是m mn n实矩阵，若映射实矩阵，若映射:R Rn nR Rm m由由下式确定下式确定,()=,()=B BR Rm m，R Rn n.则则是线性映射。是线性映射。(
34、b)线性映射线性映射线性映射的简单性质线性映射的简单性质v(0)=0(0)=0v(k(k1 11 1+k k2 22 2+k+ks ss s)=k)=k1 1(1 1)+k k2 2(2 2)+k+ks s(s s)v若若1 1,2 2,s s线性相关，则线性相关，则(1 1),(2 2),),(s s)线性相关线性相关v若若1 1,2 2,s s线性无关，线性无关，(1 1),(2 2),),(s s)不一定线性无关不一定线性无关例例2 2 设线性映射设线性映射P:P:R R3 3R R2 2由由P(xP(x1 1,x x2 2,x,x3 3)=(x)=(x1 1,x x2 2),),容易验
35、容易验证证R R3 3中的三个线性无关的向量中的三个线性无关的向量(1,1,1),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)(1,0,0)的像的像(1,1),(1,1),(1,0)(1,1),(1,1),(1,0)是线性相关的。是线性相关的。从集合从集合S 到集合到集合S的映射也称为变换。的映射也称为变换。设设V为数域为数域K上线性空间，若变换上线性空间，若变换 满足：满足：单位变换单位变换(恒等变换恒等变换)：则称则称T是线性空间是线性空间V上的上的线性变换线性变换。零变换零变换：数乘变换数乘变换：上述定义中的条件可以等价的写成：上述定义中的条件可以等价的写成：(c)线性
36、变换线性变换例例1 考虑考虑R2中把每个向量绕原点旋转中把每个向量绕原点旋转q q角的变换：角的变换：这是一个线性变换。这是一个线性变换。例例2 V=R3，a aV是非零向量，考虑把每个向量投影是非零向量，考虑把每个向量投影到到a a上的变换：上的变换：这是一个线性变换。这是一个线性变换。例例3 考虑考虑V=Pnx中的微分变换：中的微分变换：这是一个线性变换。这是一个线性变换。例例4 考虑考虑a,b上的所有连续函数构成的线性空间上的所有连续函数构成的线性空间Ca,b上的积分变换：上的积分变换：这是一个线性变换。这是一个线性变换。例例5 考虑考虑V=PnxCa,b，易有易有DJ(f(x)=f(x
37、)，但但是是JD(f(x)=f(x)-f(a)。因此因此DJJD。下列变换中，哪些是线性变换？下列变换中，哪些是线性变换？3在在线性空间线性空间V中，中，非零固定非零固定.4在中，在中，固定固定.2在在 中，中，1在在 中，中，5复数域复数域C看成是自身上的线性空间，看成是自身上的线性空间，6C看成是实数域看成是实数域R上的线性空间，上的线性空间，1.设设T是是V上的线性变换，上的线性变换，2.线性变换保持线性组合及关系式不变，即若线性变换保持线性组合及关系式不变，即若 则有：则有：3.线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关的向量组，即若的向量组，即若
38、x1,x2,xr线性相关，则线性相关，则T(x1),T(x2),T(xr)也线性相关。也线性相关。但若但若T(x1),T(x2),T(xr)线性相关，线性相关，x1,x2,xr未必未必线性相关。事实上，线性变换可能把线性无关的线性相关。事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的。向量组变成线性相关的。设设T1,T2是线性空间是线性空间V的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们的的和和为：为：T1+T2仍然是线性空间仍然是线性空间V上的上的线性变换线性变换。(c)线性变换的运算线性变换的运算设设T是线性空间是线性空间V的线性变换，定义它的的线性变换，定义它的负变换负变换为为：(
39、-T)(x)=-T(x)。这也是一个这也是一个线性变换线性变换。设设T是线性空间是线性空间V的线性变换，的线性变换，kK，定义定义数乘数乘变换变换为为：(kT)(x)=kT(x)。这也是一个这也是一个线性变换线性变换。注注：线性空间：线性空间V上的全体线性变换所构成的集合上的全体线性变换所构成的集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域对于线性变换的加法与数量乘法构成数域K上的上的一个线性空间。一个线性空间。设设T1,T2是线性空间是线性空间V的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们的的乘积乘积为：为：T1T2仍然是线性空间仍然是线性空间V上的上的线性变换线性变换。注注：线性变换的乘积不
40、一定满足交换律：线性变换的乘积不一定满足交换律。例例6 设设A,BRnn是两个给定的矩阵，定义是两个给定的矩阵，定义Rnn上上的两个线性变换：的两个线性变换：T1(X)=AX，T2(X)=XB，则容易则容易验证验证T1T2=T2T1。若定义：若定义：T1(X)=AX，T2(X)=BX，则只有当则只有当AB=BA时，时，T1T2=T2T1。否则不成立。否则不成立。设设T为线性空间为线性空间V的线性变换，若有的线性变换，若有V上的变换上的变换S使得：使得：TS=ST=Te，则称则称T为可逆变换，并称为可逆变换，并称S为为T的的逆变换逆变换，记为，记为S=T-1。1.可逆变换的逆变换仍然是可逆变换的
41、逆变换仍然是线性变换线性变换。2.线性变换线性变换T可逆当且仅当可逆当且仅当T是一一对应。是一一对应。4.设设x1,x2,xn是线性空间是线性空间V的一组基，的一组基，T是是V上的上的线性变换，则线性变换，则T可逆当且仅当可逆当且仅当T(x1),T(x2),T(xn)也也是是V的一组基。的一组基。3.可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。关的向量组。5.若若T1,T2都是可逆变换，则都是可逆变换，则设设T为线性空间为线性空间V的线性变换，的线性变换，n是自然数，定义是自然数，定义称之为称之为T的的n次幂次幂。这仍然是。这仍然是线性变换线性变
42、换。1.规定当规定当n=0时，时，T0=Te(单位变换单位变换)。4.一般的，一般的，(TS)nTnSn。2.容易验证容易验证TmTn=Tm+n，(Tm)n=Tmn。3.当当T可逆时，定义负整数次幂为：可逆时，定义负整数次幂为：T-n=(Tn)-1。设设T为线性空间为线性空间V的线性变换，并设的线性变换，并设则变换则变换也是也是线性变换线性变换，称，称f(T)为线性变换为线性变换T的的多项式多项式。即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律。即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律。1.在在Px中，若中，若h(x)=f(x)+g(x)，p(x)=f(x)g(x)，则则2.对任意对任意f(x),g(x
43、)Px，有有(d)线性变换在给定基下的矩阵表示线性变换在给定基下的矩阵表示设设x1,x2,xn是是n维线性空间维线性空间V的一组基，的一组基，T是是V上的上的线性变换。线性变换。对于对于V中的任意一个向量中的任意一个向量x，必存在数域必存在数域K中的一中的一组数组数k1,k2,kn使得使得从而有从而有这表明，这表明，T(x)由由T(x1),T(x2),T(xn)完全确定完全确定。设设x1,x2,xn是是n维线性空间维线性空间V的一组基，的一组基，T1,T2是是V上的两个线性变换。上的两个线性变换。容易证明，若容易证明，若T1(xi)=T2(xi)，i=1,2,n，则则T1=T2。这表明，这表明
44、，一个线性变换完全由它在一组基上的作一个线性变换完全由它在一组基上的作用所决定用所决定。定理定理1：设：设x1,x2,xn是是n维线性空间维线性空间V的一组基，的一组基，对于对于V中的任意中的任意n个向量个向量y1,y2,yn，存在唯一的线存在唯一的线性变换使得性变换使得设设x1,x2,xn是是n维线性空间维线性空间V的一组基，的一组基，T是是V上的上的线性变换。线性变换。基向量的象可以被基线性表出，设基向量的象可以被基线性表出，设写成矩阵形式即有写成矩阵形式即有其中矩阵其中矩阵称为称为线性变换线性变换T在基在基x1,x2,xn下的矩阵下的矩阵。1.给定给定V的基和线性变换的基和线性变换T，则
45、矩阵则矩阵A是唯一的。是唯一的。2.单位变换在任意一组基下的矩阵都是单位矩阵；单位变换在任意一组基下的矩阵都是单位矩阵；例例6 设线性空间设线性空间R3中的线性变换中的线性变换T为：为：求求T在标准基在标准基e1,e2,e3下的矩阵。下的矩阵。3.零变换在任意一组基下的矩阵都是零矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵都是零矩阵；4.数乘变换在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵。数乘变换在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵。例例7 设设Pnx中的线性变换中的线性变换T为：为：T(f(x)=f(x)，基基I：基基II：求求T在两组基下的矩阵。在两组基下的矩阵。定理定理2：设：设x1,x2,xn是数域是数域K上上
46、n维线性空间维线性空间V的一的一组基，组基，在这组基下，在这组基下，V上的每一个线性变换都与上的每一个线性变换都与 Knn中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。于逆矩阵。推论推论1：设：设T是线性空间是线性空间V的一组基的一组基x1,x2,xn下的下的矩阵，矩阵，则线性则
47、线性变换变换f(T)在同一组基下的矩阵是：在同一组基下的矩阵是：定理定理3：设线性变换：设线性变换T在基在基x1,x2,xn下的矩阵为下的矩阵为A，xV在基在基x1,x2,xn下的坐标为下的坐标为(x x1,x x2,x xn)T，T(x)在基在基x1,x2,xn下的坐标为下的坐标为(h h1,h h2,h hn)T，则则(b)线性变换在不同基下的矩阵之间的关系线性变换在不同基下的矩阵之间的关系定理定理4：设：设V上的线性变换上的线性变换T在基在基I下的矩阵为下的矩阵为A，在基在基II下的矩阵为下的矩阵为B。从基从基I到基到基II的过渡矩阵为的过渡矩阵为C，则有则有:设设A、B为数域为数域K上
48、的两个上的两个n阶矩阵，若存在可逆矩阶矩阵，若存在可逆矩阵阵PKnn，使得使得B=P-1AP，则称矩阵则称矩阵A与与B是是相似相似(similar)的，记做的，记做AB。相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：1.反身性：反身性：AA；2.对称性：若对称性：若AB，则则BA；3.传递性：若传递性：若AB，BC，则则AC。定理定理5：线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反：线性变换在不同基下的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵。一线性变换在两组基下所对应的矩阵。
49、相似矩阵的运算性质：相似矩阵的运算性质：即，即，2.若若B=C-1AC，则则Bm=C-1AmC。1.若若 则则3.若若B=C-1AC，f(x)Px，则则f(B)=C-1f(A)C。例例8 设设x1,x2是线性空间是线性空间V一组基，线性变换一组基，线性变换T在这在这组基下的矩阵为组基下的矩阵为 y1,y2是另一组基，且是另一组基，且(1)求求T在在y1,y2下的矩阵下的矩阵B；(2)求求Ak。例例9 在在R3中定义线性变换中定义线性变换T如下：如下：分别计算分别计算T在标准基在标准基x1,x2,x3和基和基y1,y2,y3下的矩阵。下的矩阵。1.5 特征值和特征向量特征值和特征向量(a)线性变
50、换的特征值和特征向量线性变换的特征值和特征向量设设T是数域是数域K上线性空间上线性空间V的一个线性变换，若存的一个线性变换，若存在在K中的一个数中的一个数l l，和和V中的一个非零向量中的一个非零向量y，使得使得则称则称l l为为T的的特征值特征值(eigenvalue)，y为为T的属于的属于l l的的特征向量特征向量(eigenvector)。1.几何意义：特征向量经过线性变换后几何意义：特征向量经过线性变换后保持方向保持方向不变不变或相反，或变为零向量。或相反，或变为零向量。2.若若y是属于是属于l l的特征向量，的特征向量，ky也是特征向量。也是特征向量。3.若特征向量给定，则特征值被唯