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1、2 2、不定积分、不定积分1 1、原函数、原函数3/3/20231福州大学数学与计算机学院微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.不定积分的线性性质不定积分的线性性质3/3/20232福州大学数学与计算机学院3 3、基本积分表、基本积分表是常数是常数)3/3/20233福州大学数学与计算机学院3/3/20234福州大学数学与计算机学院5 5、第一类换元法、第一类换元法4 4、直接积分法、直接积分法第一类换元公式（第一类换元公式（凑微分法凑微分法凑微分法凑微分法）由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积
2、分的方法.3/3/20235福州大学数学与计算机学院常见类型常见类型:3/3/20236福州大学数学与计算机学院6 6、第二类换元法、第二类换元法第二类换元公式第二类换元公式3/3/20237福州大学数学与计算机学院常用代换常用代换:3/3/20238福州大学数学与计算机学院3/3/2023福州大学数学与计算机学院9三、分部积分法三、分部积分法公式公式形如：形如：取取 u=Pn(x),其余部分当作其余部分当作 dv=v dx形如形如:取取 dv=Pn(x)dx,其余部分当作其余部分当作 u3/3/20239福州大学数学与计算机学院3/3/2023福州大学数学与计算机学院10形如形如:可把任一项
3、取为可把任一项取为 u，其余部分当作其余部分当作 dv一一般般要要连连续续分分部部两两次次再再把把所所求求的的不不定定积积分分用用解解方程方法求得。方程方法求得。3/3/202310福州大学数学与计算机学院9 9、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）有理函数的积分定义定义两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法3/3/202311福州大学数学与计算机学院四种类型分式的不定积分四种类型分式的不定积分3/3/202312福州大学数学与计算机学院此两积分都可积此两积分都可积,后者有递
4、推公式后者有递推公式3/3/202313福州大学数学与计算机学院（2）简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号3/3/202314福州大学数学与计算机学院令令（3）三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分定义定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为3/3/202315福州大学数学与计算机学院2.定积分的几何意义定积分的几何意义二、定积分二、定积分1.定义定义3.定积分存在的充分必要条件3/3/202316福州大学数学与计算机学院3/3/202317福州大
5、学数学与计算机学院3/3/202318福州大学数学与计算机学院四、四、可积函数类可积函数类 注意注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。积。3/3/202319福州大学数学与计算机学院则对任意给定的则对任意给定的1 1、线性性质线性性质五、定积分的性质五、定积分的性质3/3/202320福州大学数学与计算机学院性质性质2 2（乘积可积性）（乘积可积性）补充：不论补充：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.性质性质3(3(积分区间可加性积分区间可加性)设设f(xf(x)在在 a,ba,b 可积，可积，acb,acb,则则f(xf
6、(x)在在 a,ca,c 及及 c,bc,b 可积，反之亦然。且有下式成立可积，反之亦然。且有下式成立3/3/202321福州大学数学与计算机学院性质性质4(4(保号性保号性)如果在区间如果在区间 上，上，则有则有性质性质5(5(保序性保序性)性质性质6 6(积分估计积分估计)：3/3/202322福州大学数学与计算机学院注意：反之不成立。例如注意：反之不成立。例如性质性质7(7(绝对可积性绝对可积性)3/3/202323福州大学数学与计算机学院（积分第一中值定理）（积分第一中值定理）性质性质8 83/3/202324福州大学数学与计算机学院性质性质9 9（定积分第一中值定理的推论）（定积分第
7、一中值定理的推论）积分中值公式积分中值公式另一个特殊情况：另一个特殊情况：第一积分中值定理的结论就变成了第一积分中值定理的结论就变成了3/3/202325福州大学数学与计算机学院1、积分上限函数性质、积分上限函数性质六、微积分基本公式六、微积分基本公式定理定理13/3/202326福州大学数学与计算机学院2、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式3/3/202327福州大学数学与计算机学院定理定理七、定积分换元积分法七、定积分换元积分法则有则有3/3/202328福州大学数学与计算机学院 八、定积分的分部积分法3/3/202329福州大学数学与计算机学院常用性质和公式：3/3/202330福州大学
8、数学与计算机学院为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数3/3/202331福州大学数学与计算机学院九、定积分应用的常用公式九、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标情形3/3/202332福州大学数学与计算机学院如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数3/3/202333福州大学数学与计算机学院极坐标情形极坐标情形3/3/202334福州大学数学与计算机学院(2)体积体积xyo3/3/202335福州大学数学与计算机学院平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知
9、的立体的体积3/3/202336福州大学数学与计算机学院(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为3/3/202337福州大学数学与计算机学院C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo3/3/202338福州大学数学与计算机学院 质心质心(重心重心)1、平面曲线段的质心、平面曲线段的质心(重心重心)设设有有一一平平面面曲曲线线段段L L，其其密密度度函函数数为为 (x)，设设 (x)在在L上连续，则上连续，则由由得平面曲线段的重心得平面曲线段的重心 为为 .3/3/202339福州大学数学与计算机学院弧长微分弧长微分弧长弧长2 2、直角坐标情形、直角坐标情形3/3/202340福州大学数学与计算机学院 平面曲线段的质心为平面曲线段的质心为:3/3/202341福州大学数学与计算机学院