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1、学案学案4 4 二二 次次 函函 数数 (1)(1)会用基本初等函数的图象理解、分析、研会用基本初等函数的图象理解、分析、研究函数的性质究函数的性质.(2)(2)会用一次函数、二次函数模型解决实际问会用一次函数、二次函数模型解决实际问题题.二次函数二次函数 1.二次函数的图象与性质是历年高考命题的热点内容二次函数的图象与性质是历年高考命题的热点内容,今后仍将是高考命题的热点今后仍将是高考命题的热点.2.与数学应用问题、函数的最值、不等式的求解及证与数学应用问题、函数的最值、不等式的求解及证明、分类讨论等知识结合，在知识的交汇点处命题明、分类讨论等知识结合，在知识的交汇点处命题.3.选择、填空、
2、解答三种题型都有可能出现选择、填空、解答三种题型都有可能出现.1.二次函数二次函数函数函数 叫做叫做二次函数二次函数,它的定义域是它的定义域是 .2.y=ax2(a0)的性质和图象特征的性质和图象特征(1)定义域是定义域是 .(2)顶点坐标为顶点坐标为 .(3)偶函数偶函数,图象关于图象关于y轴对称轴对称,其对称轴为其对称轴为 .R y=ax2+bx+c(a0)x=0 R(0,0)3.二次函数的三种表示形式二次函数的三种表示形式 一般式一般式:.顶点式顶点式:,其中其中 为抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标.两根式两根式:,其其中中 是抛物线与是抛物线与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标.4.二次
3、函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系间的关系y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-h)2+k(a0)(h,k)y=a(x-x1)(x-x2)x1,x2 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象的图象方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的解的解无解无解axax2 2+bx+c0+bx+c0的解集的解集axax2 2+bx+c+bx+c0 0的解集的解集x=x1 x=x2 x1=x2=x0 x|xx2 x|xx0 R x|x1x0即可即可.(2)利用根与系数的关系求利用根与系数的关系求m.已知二次函数已
4、知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中其中m为实数为实数.(1)求证求证:不论不论m取何实数取何实数,这个二次函数的图象与这个二次函数的图象与x轴必轴必有两个交点有两个交点;(2)设这个二次函数的图象与设这个二次函数的图象与x轴交于点轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且且x1,x2的倒数和为的倒数和为 ,求这个二次求这个二次函数的解析式函数的解析式.【解析解析解析解析】(1)证明：与这个二次函数对应的一元二次方程是证明：与这个二次函数对应的一元二次方程是 x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0.=4(m-1)2-4(m2-2m-3)=4m2-8m+4-4m2+8m+1
5、2=160,方程方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0必有两个不相等的实数根必有两个不相等的实数根,不论不论m取何值取何值,这个二次函数的图象与这个二次函数的图象与x轴必有两个交点轴必有两个交点.(2)由题意可知由题意可知x1,x2是方程是方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0的两个的两个实数根实数根,x1+x2=2(m-1),x1x2=m2-2m-3.,即即 ,.解得解得m=0或或m=5.经检验经检验,m=0,m=5都是方程都是方程的解的解.所求二次函数的解析式为所求二次函数的解析式为y=x2+2x-3或或y=x2-8x+12.【评析评析评析评析】在掌握函数解析式在掌握函数解析式
6、y=f(x),方程方程f(x)=0及及y=f(x)的图象间的关系的基础上的图象间的关系的基础上,判别式判别式以及韦达定理是以及韦达定理是处理根与系数关系的基本工具处理根与系数关系的基本工具,必须熟练掌握必须熟练掌握.已知二次函数已知二次函数f(x)同时满足条件：同时满足条件：(1)f(1+x)=f(1-x);(2)f(x)的最大值为的最大值为15；(3)f(x)=0的两根的立方和等于的两根的立方和等于17.求求f(x)的解析式的解析式.【解析解析解析解析】(1)f(1+x)=f(1-x),函数函数f(x)关于直线关于直线x=1对称对称,又又f(x)的最大值为的最大值为15,故可设故可设f(x)
7、=a(x-1)2+15(a0).f(x)=ax2-2ax+a+15 x1+x2=2,x1x2=1+,=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)=23-32（1+）=2-=17.a=-6.故所求函数的解析式为故所求函数的解析式为f(x)=-6x2+12x+9.（1）函数函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线的图象关于直线x=1对称的充对称的充要条件是要条件是 ()A.m=-2 B.m=2C.m=-1 D.m=1（2）函数）函数f(x)=2x2+mx-1在区间在区间-1,+)上递增，则上递增，则 f(-1)的取值范围是的取值范围是 .(-,-3考点考点考点考点2 2 二次函数性质的应用二次函
8、数性质的应用二次函数性质的应用二次函数性质的应用 【分析分析】利用二次函数的对称轴解决问题利用二次函数的对称轴解决问题.A 解法二解法二：f(x)=x2+mx+1的对称轴为的对称轴为x=,=1,即即m=-2.故应选故应选A.（2）抛物线开口向上，对称轴为抛物线开口向上，对称轴为x=,-1,m4.又又f(-1)=1-m-3,f(-1)(-,-3.【解析解析】(1)解法一解法一:函数函数y=f(x)关于关于x=1对称的充对称的充要条件是要条件是f(x)=f(2-x),x2+mx+1=(2-x)2+m(2-x)+1,化简得化简得(m+2)x=m+2,m+2=0,即即m=-2.【评析评析评析评析】本题
9、考查了二次函数对称轴的求法本题考查了二次函数对称轴的求法,以及以及利用对称轴研究二次函数的单调性利用对称轴研究二次函数的单调性.设二次函数设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程方程f(x)-x=0的两根的两根x1和和x2满满足足0 x1x20 0 0 g(0)0,a3+2 或或a3-2 -1a0,0a3-2 .故所求实数故所求实数a的取值范围是的取值范围是(0,3-2 ).即即则由题意得则由题意得(2)由题意知由题意知f(0)f(1)-f(0)=2a2.令令h(a)=2a2,则当则当0a3-2 时时,h(a)是增函数是增函数.h(a)h(3-2 )=2(3-2 )2 =2(17-12 )=2
10、 .即即f(0)f(1)-f(0).考点考点考点考点3 3 二次函数在给定区间上的最值问题二次函数在给定区间上的最值问题二次函数在给定区间上的最值问题二次函数在给定区间上的最值问题 已知函数已知函数f(x)=2x2-2ax+3在区间在区间-1,1上有最小值上有最小值,记作记作g(a).(1)求求g(a)的函数表达式的函数表达式;(2)求求g(a)的最大值的最大值.【分析分析分析分析】抛物线对称轴不确定抛物线对称轴不确定,需讨论对称轴与区间需讨论对称轴与区间的关系才能求出区间最值的关系才能求出区间最值.【解析解析解析解析】(1)由由f(x)=2x2-2ax+3=2（x-）2+3-知知对称轴方程为
11、对称轴方程为x=,根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论讨论.当当 -1,即即a-2时时,g(a)=f(-1)=2a+5;当当-1 1,即即-2a2时时,g(a)=f()=3-;当当 1,即即a2时时,g(a)=f(1)=5-2a.综合综合,得得 2a+5 (a-2)3-(-2a2)5-2a (a2).(2)当当a-2时时,g(a)1;当当-2a2时时,g(a)3;当当a2时时,g(a)1.当当a=0时时,g(a)的最大值为的最大值为3.g(a)=【评析评析评析评析】解二次函数求最值问题解二次函数求最值问题,首先采用配方法首先采用配方法,将
12、二次函数化为将二次函数化为y=a(x-m)2+n的形式的形式,得顶点得顶点(m,n)或对或对称轴方程称轴方程x=m,可分成三个类型可分成三个类型:(1)顶点固定顶点固定,区间固定区间固定;(2)顶点含参数顶点含参数,区间固定区间固定;(3)顶点固定顶点固定,区间变动区间变动.已知已知f(x)=x2+ax+3-a，若当，若当x-2,2时，时，f(x)0恒成恒成立，求立，求a的范围的范围.【解析】【解析】f(x)=x2+ax+3-a=（x+）2-+3-a.当当-4时，时，f(x)min=f(-2)=7-3a0,a ,又又a4,故此时故此时a不存在不存在.当当-2 2，即，即-4a4时，时，f(x)
13、min=f（）=3-a-0,a2+4a-120.-6a2.又又-4a4,-4a2.当当 2，即，即a-4时，时，f(x)min=f(2)=7+a0,a-7.又又a-4，故，故-7a0；当；当x(-,-3)(2,+)时，时，f(x)-2x的解集为的解集为x|1x3.（1）若方程）若方程f(x)+6a=0有两个相等的实根，求有两个相等的实根，求f(x)的的解析式；解析式；（2）若）若f(x)的最大值为正数，求的最大值为正数，求a的取值范围的取值范围.【解析解析解析解析】（1）f(x)+2x0的解集为的解集为x|1x3,可设可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且，且a0.因而因而 f(x)=
14、a(x-1)(x-3)-2x =ax2-(2+4a)x+3a.由方程由方程f(x)+6a=0得得ax2-(2+4a)x+9a=0.方程方程有两个相等的根，有两个相等的根，=-(2+4a)2-4a9a=0,即即5a2-4a-1=0.解得解得a=1或或a=-.由于由于a0，舍去，舍去a=1.将将a=-代入代入得得f(x)的解析式为的解析式为f(x)=-x2-x-.(2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a =由由a0 a0,解得解得a-2-或或-2+a0.故当故当f(x)的最大值为正数时，实数的最大值为正数时，实数a的取值范围是的取值范围是（-,-2-)(-2+,0).由由 某种新产品投放市场
15、的某种新产品投放市场的100天中天中,前前40天价格呈直线上升天价格呈直线上升,而后而后60天其价格呈直线下降天其价格呈直线下降,现统计出其中现统计出其中4天的价格如天的价格如下表下表:(1)写出价格写出价格f(x)关于时间关于时间x的函数关系式的函数关系式(x表示投放市表示投放市场场 的第的第x天天);(2)销售量销售量g(x)与时间与时间x的函数关系为的函数关系为:g(x)=-x+(1x100,xN),则该产品投放市场第几天销售额则该产品投放市场第几天销售额 最高最高?最高为多少千元最高为多少千元?时间时间第第4 4天天第第3232天天第第6060天天第第9090天天价格价格(千千元元)2
16、323303022227 7考点考点考点考点5 5 用二次函数解决实际问题用二次函数解决实际问题用二次函数解决实际问题用二次函数解决实际问题 【分析分析分析分析】先由题意确定函数表达式，再求最值先由题意确定函数表达式，再求最值.【解析解析解析解析】(1)用求直线方程的方法得用求直线方程的方法得 x+22,1x40,-x+52,40 x100.(2)设日销售额为设日销售额为S(x),则当则当1x40时时,S(x)=f(x)g(x)=(x+22)(-x+)=(x+88)(-x+109)=-(x2-21x-9 592).当当x=10或或x=11时时,S(x)max=808.5(千元千元).当当40
17、x100时时,S(x)=(-x+52)(-x+)=(x2-213x+11 336).当当x=40时时,S(x)max=736808.5.综上得综上得:销售额最高在第销售额最高在第10天和第天和第11天天,最高销售额为最高销售额为808.5千元千元.f(x)=【评析评析评析评析】解实际问题关键是建立数学模型解实际问题关键是建立数学模型,列列出正确的数学关系式出正确的数学关系式.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品一个月生产某种商品x万件时的生产成本为万件时的生产成本为C（x）=x2+2x+20(万元万元).一万件售价是
18、一万件售价是20万元，为获取更大利万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为润，该企业一个月应生产该商品数量为 （）A.36万件万件 B.18万件万件C.22万件万件 D.9万件万件 【解析解析解析解析】B(利润利润L(x)=20 x-C(x)=-(x-18)2+142,当当x=18时时,L(x)有最大值有最大值.故应选故应选B.）1.2011年高考安徽卷年高考安徽卷设设f（x)是定义在是定义在R上的奇函数，上的奇函数，当当x0时，时，f（x)=2x2-x,则则f（1)=（）A.-3 B.-1 C.1 D.32.2011年高考陕西卷年高考陕西卷设设nN*，一元二次方程，一元二次方程x
19、2-4x+n=0有整数根的充要条件是有整数根的充要条件是n=.1.A(f（x)是奇函数，是奇函数，f（1）=-f（-1)=-3.故应选故应选A.)2.3或或4（由于方程都是正整数解，由判别式（由于方程都是正整数解，由判别式“16-4n0”得得“1n4”,逐个分析，当逐个分析，当n=1,2时，方程没时，方程没有整数解；而当有整数解；而当n=3时，方程有正整数解时，方程有正整数解1，3；当；当n=4时，方程有正整数解时，方程有正整数解2.）1.二次函数在某区间上的最值（或值域）的求法要二次函数在某区间上的最值（或值域）的求法要熟练掌握，特别是含参数的两类熟练掌握，特别是含参数的两类“定轴动区间、定
20、区间定轴动区间、定区间动轴动轴”的解法是：抓住的解法是：抓住“三点一轴三点一轴”数形结合，三点指数形结合，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴的是区间两个端点和区间中点，一轴指的是对称轴.2.二次方程实根分布解题应抓住四点：二次方程实根分布解题应抓住四点：“开口方向、开口方向、判别式判别式、对称轴位置、区间端点函数值正负、对称轴位置、区间端点函数值正负”.1.1.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论类讨论类讨论类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与
21、给定区间的位置比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系关系关系关系,又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等又例如牵涉二次不等式需讨论根的大小等.2.2.求二次函数解析式的方法有求二次函数解析式的方法有求二次函数解析式的方法有求二次函数解析式的方法有:(1):(1)一般式一般式一般式一般式:y=ax:y=ax2 2+bx+c(a0);(2)+bx+c(a0);(2)顶点式顶点式顶点式顶点式:y=a(x-h):y=a(x-h)2 2+k;(3)+k;(3)交点式交点式交点式交点式:y=a(x-x:y=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2).).