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1、第二节 一元线性回归方程第一页，编辑于星期六：十三点 五十五分。两个变量之间的线性关系，其回归模型为：两个变量之间的线性关系，其回归模型为：y称为因变量，x称为自变量，称为随机扰动，a,b称为待估计的回归参数，下标i表示第i个观测值。一一 回归直线方程回归直线方程第二页，编辑于星期六：十三点 五十五分。对于回归模型，我们假设：可得到：可得到：第三页，编辑于星期六：十三点 五十五分。如果给出如果给出a和和b的估计量分别为的估计量分别为 ，则经验回归方程为：则经验回归方程为：例例如如 某某市市场场在在t时时刻刻西西瓜瓜销销量量的的数数据据如如下下（其其中中qt表表示示时时刻刻销销售售黄黄瓜瓜的的数
2、数量量，单单位位为为：斤斤，pt表表示示t时刻的销售价格，单位为：元）：时刻的销售价格，单位为：元）：第四页，编辑于星期六：十三点 五十五分。这是一个确定性关系这是一个确定性关系:第五页，编辑于星期六：十三点 五十五分。若x、y之间的关系是随机的，例如若若x、y之间的关系是随机的，之间的关系是随机的，例如例如第六页，编辑于星期六：十三点 五十五分。这时，方程的形式为这时，方程的形式为 其中其中 为随机变量为随机变量.第七页，编辑于星期六：十三点 五十五分。以下设以下设 x 为自变量为自变量(普通变量普通变量)Y 为因变量为因变量(随机随机变量变量)Y 的取值记为的取值记为 y.现给定现给定 x
3、 的的 n 个值个值 x1,xn,观察观察 Y 得到相应的得到相应的 n 个值个值 y1,yn,(xi,yi)i=1,2,n 成为样本点成为样本点.记 第八页，编辑于星期六：十三点 五十五分。散点图散点图 以以(xi,yi)为坐标在平面直角坐标系中描为坐标在平面直角坐标系中描点点,所得到的这张图便称之为散点图所得到的这张图便称之为散点图.第九页，编辑于星期六：十三点 五十五分。第十页，编辑于星期六：十三点 五十五分。第十一页，编辑于星期六：十三点 五十五分。记以上直线为记以上直线为回归值回归值回归常数回归常数回归系数回归系数注意注意:这种几何作图的方法简单直观这种几何作图的方法简单直观,但精度
4、差但精度差,局限性大局限性大.第十二页，编辑于星期六：十三点 五十五分。二二 最小二乘法最小二乘法(OLSE):若散点图呈直线变化趋势若散点图呈直线变化趋势,则可以假设变量则可以假设变量Y Y与与x x变量满足变量满足 Y=a+bx+Y=a+bx+(11.1)(11.1)并称并称(11.1)(11.1)为为(理论的理论的)一元线性回归模型一元线性回归模型,是是随机误差随机误差,通常假定通常假定N N(0,(0,2 2).).将将(x xi i,y,yi i)i i=1,2,n1,2,n逐一代入逐一代入(11.1)(11.1)便得到便得到(数据结构的数据结构的)一元线性回归模型一元线性回归模型第
5、十三页，编辑于星期六：十三点 五十五分。记二元函数 的最小值点 称为a,b的最小二乘估计(简记为OLSE).第十四页，编辑于星期六：十三点 五十五分。以下求的最小值第十五页，编辑于星期六：十三点 五十五分。解方程得解方程得第十六页，编辑于星期六：十三点 五十五分。一般地，记第十七页，编辑于星期六：十三点 五十五分。则 其中第十八页，编辑于星期六：十三点 五十五分。三三 回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验 假设变量Y Y与x x变量满足 Y=a+bx+Y=a+bx+(11.1)是随机误差,假定假定N N(0,(0,2 2).第十九页，编辑于星期六：十三点 五十五分。H H0 0:b=0b=
6、0成立成立,则(11.1)变成 Y=a+,自变量 x x 对因变量对因变量 Y Y 没有线性影响没有线性影响,即回归方程不显著;若假设不成立假设不成立,则自变量自变量 x x 对因变量对因变量 Y Y 有线性影响有线性影响,即线性方程是显著的.因此对于给定的显著性水平因此对于给定的显著性水平,则否定原假设则否定原假设,即认为回归方程是显著的即认为回归方程是显著的.第二十页，编辑于星期六：十三点 五十五分。(F-(F-检验检验)显著性检验一般步骤：显著性检验一般步骤：1.提出原假设提出原假设:H0:b=0;2.选择统计量选择统计量3.对给定的显著性水平,查临界值F F (1,n-2),得否定域为
7、F F F F (1,n-2);4.代入样本信息,F落入否定域则否定原假设,线性关系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.第二十一页，编辑于星期六：十三点 五十五分。相关系数检验法相关系数检验法:1.提出原假设:H0:b=0;2.选择统计量 3.对给定的显著性水平,查临界值r r (n-2),得否定域为R R r r (n-2);4.代入样本信息,R落入否定域则否定原假设,线性关系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.第二十二页，编辑于星期六：十三点 五十五分。预测预测 设一元线性回归模型为设一元线性回归模型为Y=a+bx+(11.1)Y=a+bx+(11.1)其中其中,是随机
8、误差是随机误差,假设假设N N(0,(0,2 2).(xi,yi)i=1,2,n 为为样本点，逐一代入一元线性回归模型得样本点，逐一代入一元线性回归模型得一元线性回归方程为一元线性回归方程为第二十三页，编辑于星期六：十三点 五十五分。例如例如 某市场连续12天卖出黄瓜的价格和数量的调查数据如下：价格ix（元/斤）1.000.900.800.700.700.700.700.650.600.600.550.505570901009010580110125115130130销量iy（斤）第二十四页，编辑于星期六：十三点 五十五分。应用Excel 可得下面成果：回归统计Multiple R0.9429
9、03R Square0.889065Adjusted R Square0.877972标准误差8.359957观测值12第二十五页，编辑于星期六：十三点 五十五分。Coefficients 标准误差t StatP-valueIntercept210.4444 12.57086 16.740651.21E-08X Variable 1-157.778 17.62434-8.952274.34E-06Lower 95%Upper 95%182.4348238.4541-197.047-118.508第二十六页，编辑于星期六：十三点 五十五分。第二十七页，编辑于星期六：十三点 五十五分。进一步可得总体需求函数的95%置信带此置信带有95%的置信度包含了相应的总体值。第二十八页，编辑于星期六：十三点 五十五分。