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1、导体与电介质习题18-118-218-318-418-518-618-718-818-918-10 18-11 18-12 18-13 18-14 18-15 18-1618-17 18-18 18-19 18-20 18-21 18-22 18-23 18-2418-25 18-26 18-27 18-28 18-29 18-30 18-31 18-3218-33 18-34 18-35 18-36 18-37 18-38 18-39 18-4018-41 18-42 18-43 18-44 18-45习题总目录习题总目录结束结束 9-1 一块很大的带电金属薄板，其电荷一块很大的带电金属薄板
2、，其电荷面密度为面密度为，离金属板为离金属板为d处有一质量为处有一质量为m、电荷量为电荷量为-q的点电荷从静止释放，计算电荷的点电荷从静止释放，计算电荷的加速度及落到板上时的速度和时间。的加速度及落到板上时的速度和时间。（忽略重力和（忽略重力和-q 对金属板上电荷分布的影对金属板上电荷分布的影响）响）dm-q目录目录结束结束解：解：aFmq=E20eqam=20eqam=v=2ad20eqdm=tv=a=20eqdm20eqm.=40eqmd目录目录结束结束 9-2 有一块很大的带电金属板及一小球，有一块很大的带电金属板及一小球，已知小球的质量为已知小球的质量为m=1.010-3g，带有电带有
3、电荷量荷量q=2.010-8C，小球悬挂在一丝线的小球悬挂在一丝线的下端，平衡时悬线与金属板面间的夹角为下端，平衡时悬线与金属板面间的夹角为300，如图所示。试计算带电金属板上的电，如图所示。试计算带电金属板上的电荷面密度荷面密度。m+q+目录目录结束结束=5.010-9(C/m2)解：解：qTgm=cosEqqT=sin20eq=tgqgm20eq=tgqgm20eq=mg qTF目录目录结束结束 9-3 证明在静电平衡时，导体表面某面证明在静电平衡时，导体表面某面元元S所受的静电力为所受的静电力为:22=FS ene0目录目录结束结束 面元外侧场强可视为面元面元外侧场强可视为面元S在外侧所
4、产在外侧所产生的场强和导体其余部分电荷所产生的场生的场强和导体其余部分电荷所产生的场强强E1之和，即：之和，即：证：在导体表面取面元证：在导体表面取面元 SE1+ESE=ESE=e0面元外侧场强为：面元外侧场强为：面元上电荷面密度为：面元上电荷面密度为：内侧场强：内侧场强：E=0内内面元面元S还将在内侧所产生场强还将在内侧所产生场强=ESES且且 S目录目录结束结束E1+ESE=内内=0E1ES=在静电平衡时，内侧的合场强（导体内在静电平衡时，内侧的合场强（导体内部）应为零。部）应为零。E1ES=12E=FS E122=Se0目录目录结束结束 9-4 一质量为一质量为 m、面积为面积为S 的均
5、质薄金的均质薄金属盘属盘，放置在一无限大导体平板上，平板，放置在一无限大导体平板上，平板水平放置水平放置,最初盘和平板都不带电，然后逐最初盘和平板都不带电，然后逐渐使它们带电。问电荷面密度增加到何值渐使它们带电。问电荷面密度增加到何值时，金属盘将离开平板。时，金属盘将离开平板。目录目录结束结束Egmq=解：解：S=2e02=S2e0=gmS2e0gmS2e0使金属板离开的条件为：使金属板离开的条件为：目录目录结束结束 9-5 在一无限大接地导体平板附近有一在一无限大接地导体平板附近有一点电荷点电荷q，它离板面的距离为它离板面的距离为 d。求导体表求导体表面上各点的感应电荷面密度面上各点的感应电
6、荷面密度。qqd目录目录结束结束 解：因为导体是一等势面。可以设想若在解：因为导体是一等势面。可以设想若在左侧对称位置上放置一带电量为左侧对称位置上放置一带电量为-q的点电荷，的点电荷，那么由这两个点电荷所形成的电场在板上仍那么由这两个点电荷所形成的电场在板上仍然为一等势面，即用然为一等势面，即用-q去代替板上的感应电去代替板上的感应电荷，所产生的场是是一样的。荷，所产生的场是是一样的。qqdrq+目录目录结束结束Eqr2e04p+=E=qr2e04p=2qcos2qcosE=E+表面表面qqdrq+E+E表面表面E=Se0s=E dS.EScos1800表面表面=e0E表面表面=e0qr2e
7、02pqcos=qd22pqcos3=rqcosdE表面表面目录目录结束结束 9-6 半径为半径为r1、r2(r1 R1)，通过其中心的平通过其中心的平面把它一分为二，其中一半是空气，另一半面把它一分为二，其中一半是空气，另一半充满相对电客率为充满相对电客率为er 的电介质。试证明其电的电介质。试证明其电容等于用相对电容率为容等于用相对电容率为全部电容器的电容。全部电容器的电容。2er1+的电介质充满的电介质充满目录目录结束结束解：解：2CrerR1e02p=R2R1R2+=C2C02Cr+=R1e04pR2R1R2er12erR1e04p=R2R1R2=+er12ere0R12p=R2R1R
8、2C0空气空气erR1e02p=R2R1R2Cr介质介质2C0R1e02p=R2R1R2按题意按题意两只电容器相当于并联两只电容器相当于并联与与Cr比较可得：比较可得：目录目录结束结束 9-22 一个可变电容器，由于某种原因使一个可变电容器，由于某种原因使所有动片相对定片都产生了一个相对位移，所有动片相对定片都产生了一个相对位移，使得两个相邻的极板间隔之比为使得两个相邻的极板间隔之比为1：2，问，问电容器的电容与原来的相比改变了多少？电容器的电容与原来的相比改变了多少？目录目录结束结束 解：设原来相邻动片与定片之间的距离解：设原来相邻动片与定片之间的距离为为d，相对面积为相对面积为S。2C=C
9、0Sde02=动动片片定定片片设定片有设定片有n片，动片有片，动片有(n-1)片。片。将两片定片之间插入一动片作为一个单元。将两片定片之间插入一动片作为一个单元。共有共有(n-1)单元。单元。每个单元相当于两个相同的每个单元相当于两个相同的电容器并联，其电容为：电容器并联，其电容为：目录目录结束结束2C=C0Sde02=+C=C1C2+2=Sde034d3Se0=4Sde09=4Sde0C=CC(n-1)4Sde0动动片片定定片片变化后每个单元的电容为：变化后每个单元的电容为：每个单元电容的改变为：每个单元电容的改变为：整个电容器电容的改变为：整个电容器电容的改变为：目录目录结束结束 9-23
10、 两块相互平行的大金属板，板面积两块相互平行的大金属板，板面积均为均为S,间距为间距为d 用电源使两板分别维持在电用电源使两板分别维持在电势势V 和零电势，现将第三块相同面积而厚度和零电势，现将第三块相同面积而厚度可略的金属板插在两板的正中间，已知该可略的金属板插在两板的正中间，已知该板上原带有电荷量板上原带有电荷量 q，求该板的电势。求该板的电势。目录目录结束结束解：未插入带电导体片时，解：未插入带电导体片时，AB间场强都为间场强都为E1Ud=2 Sqe0E2=+EBC=E1E2+=2 SUqde0+=12U2 Sqde0=d12EBCU插入带电导体片后，插入带电导体片后，AB间场强变为间场
11、强变为目录目录结束结束 9-24 一平板电容器（极板面积为一平板电容器（极板面积为S 间距为间距为d）中充满两种介质（如图），设两种介质在中充满两种介质（如图），设两种介质在极板间的面积比极板间的面积比(S1/S2)=3，试计算其电容。试计算其电容。如两电介质尺寸相同，电容又如何？如两电介质尺寸相同，电容又如何？e1e2目录目录结束结束 解：设第一种介质所占面积为解：设第一种介质所占面积为S1，第二第二种介质所占面积为种介质所占面积为S-S1。dC1e1=S1()dC2e2=S S1=+C1C2C+e1()de2=S1e2S2+e1()de2S34=C=S1S12当当时时=S1S34当当时时e
12、1()de2S2=C+两个电容器并联两个电容器并联e1e2目录目录结束结束 9-25 平板电容器（极板面积为平板电容器（极板面积为S 间距为间距为d）中间有两层厚度各为中间有两层厚度各为d1和和d2(d1=d1+d1)、电容率各为电容率各为e1和和e2的电介质，试计算其电容。的电介质，试计算其电容。如如d1=d2，则电容又如何？则电容又如何？e1e2目录目录结束结束解：相当于两个电容器串联解：相当于两个电容器串联d1C1e1=SC2=d2e2S+Ce1=e2Sd1d2e1e22=d1d2d()+Ce1=e2Sde1e22若若e1e2目录目录结束结束 9-26 一平行板电容器的电容为一平行板电容
13、器的电容为100pF，极板的面积为极板的面积为100cm2，极板间充满相对电极板间充满相对电容率为容率为5.4的云母电介质，当极板上电势差的云母电介质，当极板上电势差为为50V时，求：时，求：（1）云母中的场强）云母中的场强E；（2）电容器极板上的自由电荷；电容器极板上的自由电荷；（3）云母介质面上的极化面电荷；）云母介质面上的极化面电荷；目录目录结束结束=1.1104(V/m)解：解：(1)dCe=SdCe=SU=dEU=CeSere0U=CS5010010-12=5.48.8510-1210010-4 =10010-1250=5.010-9(C)()=ser11S=()er11QS=sQQ
14、U=C(2)()=ser11s(3)()=115.4510-9=4.110-9(C)目录目录结束结束 9-27 有两块平行板，面积各为有两块平行板，面积各为100cm2，板上带有板上带有8.910-7C的等值异号电荷，两板的等值异号电荷，两板间充以介电物质，已知介质内部电场强度为间充以介电物质，已知介质内部电场强度为1.4106Vm，求：求：（1）介质的相对电容率；）介质的相对电容率；（2）介质面上的极化面电荷。）介质面上的极化面电荷。目录目录结束结束=7.2解：解：(1)Eere0=sSQere0=SEQere0=8.910-7=1.41068.8510-1210010-4 ()=117.2
15、8.910-7=7.710-7(C)=()er11QQ(2)目录目录结束结束 9-28 在一平行板电容器的两板上带有等在一平行板电容器的两板上带有等值异号的电荷，两板间的距离为值异号的电荷，两板间的距离为5.0mm，充以充以er=3的介质，介质中的电场强度为的介质，介质中的电场强度为1.0106 Vm，求：求：（1）介质中的电位移矢量；）介质中的电位移矢量；（2）平板上的自由电荷密度；）平板上的自由电荷密度；（3）介质中的极化强度；）介质中的极化强度；（4）介质面上的极化电荷面密度；）介质面上的极化电荷面密度；（5）平行板上自由电荷及介质面上极化电）平行板上自由电荷及介质面上极化电荷所产生的那
16、一部分电场强度。荷所产生的那一部分电场强度。目录目录结束结束=3.08.8510-121.0106=2.710-5(C/m2)EDere0=解解:3()=112.710-5=1.810-5(C/m2)=2.710-58.8510-12=3.0106(V/m)(2)=sD2.710-5(C/m2)=3.0106-1.0106=2.0106(V/m)(1)P=()=ser11s(3)(4)=E0e0s(5)(6)=EE0E目录目录结束结束 9-29 两板相距为两板相距为5.0mm的平板电容器，的平板电容器，板上带有等值异号的电荷，电荷的面密度为板上带有等值异号的电荷，电荷的面密度为20mCm2，两
17、板间平行于板面放置两片电两板间平行于板面放置两片电介质，一为介质，一为2.0mm厚，相对电客率为厚，相对电客率为3，另，另一为一为3.0mm厚，相对电容率为厚，相对电容率为4，求：，求：（1）各介质中的电位移矢量；）各介质中的电位移矢量；（2）各介质中的电场强度；）各介质中的电场强度；（3）各介质面上的极化电荷面密度。）各介质面上的极化电荷面密度。目录目录结束结束解：解：(1)20mC/m2D=sE1er1e0=D=2010-63.08.8510-12=7.5105(V/m)E2er2e0=D=2010-64.08.8510-12=5.7105(V/m)()=s111er1s()=11320=
18、13.3(mC/m2)()=s211er2s()=11420=15(mC/m2)(2)(3)目录目录结束结束 9-30 在半径为在半径为R 的金属球之外包有一的金属球之外包有一层均匀介质层（见图），外半径为层均匀介质层（见图），外半径为R设电设电介质的相对电容率为介质的相对电容率为er，金属球的电荷量为金属球的电荷量为Q，求：求：（1）介质层内、外的场强分布；）介质层内、外的场强分布；（2）介质层内、外的电势分布；）介质层内、外的电势分布；（3）金属球的电势。）金属球的电势。RR目录目录结束结束解：解：(1)D dSs=Q.r 24p=QDr 2ere04p=QE内内r 2e04p=QE外外(
19、)rR rR()rR rRR()=+rRRE内内dr.E外外dr.U内内(2)()+Rere04p=Qer1R1UR(3)RR目录目录结束结束 9-31 半径为半径为R0的导体球带有电荷的导体球带有电荷Q，球外有一层均匀电介质的同心球壳，其内外球外有一层均匀电介质的同心球壳，其内外半径分别为半径分别为R1和和R2，相对电容率为相对电容率为er（见见图），求：图），求：（1）介质内外的电场强度）介质内外的电场强度E和电位移和电位移D；（2）介质内的极化强度介质内的极化强度P和表面上的极化和表面上的极化电荷面密度电荷面密度。R2R0R1erQ目录目录结束结束解：解：r 2ere04p=QE内内Qr
20、 2e04p=E外外()er1r 2er4p=QsR2()er1R2er4p=Q2 rR2()rR2 rR1=+C1C22+C1C22U0串联时串联时目录目录结束结束=WW串串W并并+=12U2()+C1C224C1C2C1C2()=+12U2()C1C22C1C20结论结论:电量和能量都是并联时大电量和能量都是并联时大.目录目录结束结束 9-39 半径为半径为2.0cm的导体球，外套同心的导体球，外套同心的导体球壳，壳的内外半径分别为的导体球壳，壳的内外半径分别为4.0cm和和5.0cm，球与壳之间是空气，壳外也是空气，球与壳之间是空气，壳外也是空气，当内球的电荷量为当内球的电荷量为3.01
21、0-8C时，时，（1）这个系统储藏了多少电能？）这个系统储藏了多少电能？（2）如果用导线把壳与球联在一起，结果）如果用导线把壳与球联在一起，结果如何？如何？目录目录结束结束=1.810-4(J)WdVE2e0=12解：解：(1)在内壳空气中及壳外空气中场强为在内壳空气中及壳外空气中场强为2Qr e04p=EQ2e032p2=dVr 44pr 2Q2e032p2=drr 4R2+Q2e08p=drr 2R1drr 2R3+Q2e08p=R11R21R31目录目录结束结束=8.110-4(J)(2)若用导线将球与壳相连联若用导线将球与壳相连联,电荷将移电荷将移Q2e08p=drr 2R3WdVE2
22、e0=12Q2e08p=R31.到壳外表面。到壳外表面。目录目录结束结束 9-40 一空气电容器充电后切断电源，然一空气电容器充电后切断电源，然后灌入煤油，问电容器的能量有何变化？如后灌入煤油，问电容器的能量有何变化？如果在灌油时电容器一直与电源相连，能量又果在灌油时电容器一直与电源相连，能量又如何变化？如何变化？目录目录结束结束CC0er=解：解：(1)若切断电源再注入煤油，电量不变若切断电源再注入煤油，电量不变W=Q212 C 2e0=C0Q2WerW=C C0er=W=U212C=Wer(2)若与电源相联再注入煤油，电压不变若与电源相联再注入煤油，电压不变目录目录结束结束 9-41 两个
23、相同的空气电容器，其电容都两个相同的空气电容器，其电容都是是0.9010-9F，都充电到电压各为都充电到电压各为900V后后断开电源，把其中之一浸入煤油断开电源，把其中之一浸入煤油(er=2)中，中，然后把两个电容器并联，求：然后把两个电容器并联，求：（1）侵入煤油过程中损失的静电场能：）侵入煤油过程中损失的静电场能：（2）并联过程中损失的静电场能。）并联过程中损失的静电场能。目录目录结束结束=3.6510-4(J)解：解：(1)每只电容器原来能量为每只电容器原来能量为W0=U212C00.910-9(900)2 =12W0erW=3.65210-4=1.8310-4(J)=1.8210-4(
24、J)W=W0W注入煤油电容器的能量为注入煤油电容器的能量为目录目录结束结束Q=U2C0()=+er1C0C()W=12U2C02()+er1C0=+er14W0 (2)若并联，切断电源，总电量不变若并联，切断电源，总电量不变=2.3410-4(J)W=W0W2=+er14W02=+14223.6510-4目录目录结束结束 9-42 一平行板电容器有两层介质一平行板电容器有两层介质,er1=4,er2=2,厚度为厚度为d1=2.0mm，d2=3.0mm，极板面积为极板面积为S=40cm2,两极板间电压为两极板间电压为200V。计算。计算。（1）每层介质中的电场能量密度；）每层介质中的电场能量密度
25、；（2）每层介质中的总电能；）每层介质中的总电能；（3）用式告用式告(1/2)qU算电容器的总电能。算电容器的总电能。目录目录结束结束解：解：(1)设介质设介质1中场强为中场强为E2,介质介质2中场强为中场强为E2Ud2E2+=d1E1E2=E1er1er2Ud2+d1=E1er1er2=2.5104(V/m)=E1E2er1er2=5.0104(V/m)=D1D2=e0E1er1=4.08.8510-122.5104=8.8510-7(C/m2)由上两式解得由上两式解得目录目录结束结束=128.8510-72.5104=1.1110-2(J/m3)=w2D2E212=128.8510-75.
26、0104=2.2210-2(J/m3)=W2w2V2=2.2210-24010-43.010-3=2.6610-7(J)=W1w1V1=1.1110-24010-42.010-3=8.8810-8(J)=w1D1E112(2)目录目录结束结束=8.8510-74010-4(C)=DS=123.5410-9200=3.5410-9(C)qU12=W=qsS=3.5410-7(J)目录目录结束结束 9-43 电容电容C1=4mF的电容器在的电容器在800V的电的电势差下充电，然后切断电源，并将此电容器势差下充电，然后切断电源，并将此电容器的两个极板分别和原来不带电、电容为的两个极板分别和原来不带电
27、、电容为C2=6mF的两极板相连，求：的两极板相连，求：（1）每个电容器极板所带电荷量；每个电容器极板所带电荷量；（2）连接前后的静电场能。）连接前后的静电场能。目录目录结束结束=QC1U()+C1C2U=Q=3210-4(C)=410-6800+C1C2U=Q=320(V)q1=C1U=1280(mC)=4320q2=C2U=1920(mC)=6320W1=U212C1=1.28(J)()W=U12C1=0.51(J)+C22(2)解：解：(1)目录目录结束结束 9-44 两个同轴的圆柱，长度都是两个同轴的圆柱，长度都是 l,半径半径分别为分别为R1及及R2，这两个圆柱带有等值异号这两个圆柱
28、带有等值异号电荷电荷Q，两圆柱之间充满电容率为两圆柱之间充满电容率为e 的电介的电介质。质。（1）在半径为）在半径为r(R1 r R,计算系计算系统的静电能。在释放两球后，两球相互吸引统的静电能。在释放两球后，两球相互吸引而相碰时的速率多大？如果（而相碰时的速率多大？如果（1）两球的质）两球的质量相等；（量相等；（2）带正电荷小球的质量比带负）带正电荷小球的质量比带负电荷小球的质量大很多（按经典理论计算）。电荷小球的质量大很多（按经典理论计算）。目录目录结束结束=+W自自1W自自2W互互W+12+q2Re0=4p12q2Re04p12q2re04p()q2Re0=4p1r1解：解：(1)+12=mv212mv2()q2Re04p1r1()q2Re04pm1r1v=m1=m2(2)目录目录结束结束+12=m1v212m2v2()q2Re04p1r112=m1v2()q2Re02pm1r1v=m1m2(3)目录目录结束结束目录目录习题总目录习题总目录结束结束m 12 3 aqaABCDgzxnsfhmq rt u vwyelpcbdkjion 1 20sin lm()+=jm12121212 s eVr2r 2R2R2=1102(m2/m2)ere0pp22pr()+=()+=()+=()+=()+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=s