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1、 插值、拟合问题 例：在例：在1-12的的11小时内，每隔小时内，每隔1小时测量一次温度，小时测量一次温度，测得的温度依次为：测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔。试估计每隔1/10小时的温度值。小时的温度值。拉格朗日插值拉格朗日插值分段线性插值分段线性插值三次样条插值三次样条插值一、一、插值的定义插值的定义二、插值的方法二、插值的方法三、用三、用Matlab解插值问题解插值问题一维插值一维插值 一维插值的定义一维插值的定义已知已知 n+1个节点个节点其中其中互不相同，不妨设互不相同，不妨设求任一插值点求任一插值点处的插值处的插值 构造
2、一个构造一个(相对简单的相对简单的)函数函数通过全部节点通过全部节点,即即再用再用计算插值，即计算插值，即 称为拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数。已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,xn处的函数值为 y0,y1,yn。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足：Pn(xi)=yi,i=0,1,n.解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下:其中Li(x)为n次多项式：拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值特别地特别地:两点一次两点一次(线性线性)插值多项式插值多项式:三点二次三点二次(抛物抛物)插值多项式插值多项式:For examplex1
3、49161234取最接近取最接近x=5x=5的点，的点，x x0 0=1=1，x x1 1=4=4，x x2 2=9=9为插值节点，运用插为插值节点，运用插值公式值公式L(5L(5)=2.27.=2.27.For examplex757677782.76 2.83 2.90 2.97取最接近取最接近x=5x=5的点，的点，x x0 0=1=1，x x1 1=4=4，x x2 2=9=9为插值节点，运用插为插值节点，运用插值公式值公式L(5L(5)=2.27.=2.27.采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图
4、形。例例 分段线性插值分段线性插值计算量与n无关;n越大，误差越小.xjxj-1xj+1x0 xnxoy xy机翼下轮廓线例例 已知飞机下轮廓线上数据如下，求已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变每改变0.1时的时的y值。值。比分段线性插值更光滑。比分段线性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。三次样条插值三次样条插值 三次样条插值三次样条插值 用用MATLAB作插值计算作插值计算一维插值函数：一
5、维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值点被插值点插值节点插值节点xi处的插处的插值结果值结果nearest ：最邻近插值最邻近插值linear ：线性插值线性插值；spline ：三次样条插三次样条插值值；cubic ：立方插立方插值。值。缺省时：缺省时：分段线性插值分段线性插值。注意注意：所有的插值方法都要求：所有的插值方法都要求x是单调的，并且是单调的，并且xi不能不能够超过够超过x的范围。的范围。2.拟合的基本原理拟合的基本原理1.拟合问题引例拟合问题引例拟拟 合合 拟拟 合合 问问 题题 引引 例例 1温度温度t(0C)20.5 32.7
6、51.0 73.0 95.7电阻电阻R()765 826 873 942 1032已知热敏电阻数据：已知热敏电阻数据：求求600C时的电阻时的电阻R。设设 R=at+ba,b为待定系数为待定系数 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。的。实例：实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？问题问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面解决方案解决方案：若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对
7、象整体的变化趋势，这就是数据拟合数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题插值问题；拟合与插值的关系拟合与插值的关系 线性插值、样条插值与曲线拟合结果：线性插值、样条插值与曲线拟合结果：曲线拟合问题最常用的解法曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数先选定一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),mn,令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+amrm(x)（1）其中其中 a1,a2,am 为待定系数。为待定系数。第二步:确定确定a1,a2,am 的准则（最小二乘准则）：的准则（最小二乘
8、准则）：使使n个点（个点（xi,yi)与曲线与曲线 y=f(x)的距离的距离 i 的平方和最小的平方和最小。记记问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2,am 使使 J(a1,a2,am)最小。最小。线性最小二乘法的求解：预备知识线性最小二乘法的求解：预备知识超定方程组超定方程组：方程个数大于未知量个数的方程组：方程个数大于未知量个数的方程组即即 Ra=y其中其中超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。如果有向量如果有向量a使得使得 达到最小，达到最小，则称则称a为上述为上述超定方程的最小二乘解超定方程的最小二乘解。定理定理：当当RTR可逆时，超定方程组（可逆时
9、，超定方程组（3）存在最小二乘解）存在最小二乘解，且即为方程组，且即为方程组 RTRa=RTy的解：的解：a=(RTR)-1RTy 所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求以下超定方程组的最小二乘解的问题。求以下超定方程组的最小二乘解的问题。其中其中Ra=y （3）线性最小二乘法的求解线性最小二乘法的求解 线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 中函数中函数r1(x),rm(x)的选取的选取 1.通过机理分析建立数学模型来确定通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f
10、=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2.将数据将数据(xi,yi)i=1,n 作图，通过直观判断确定作图，通过直观判断确定 f(x)：1.1.线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合2.2.非线性最小二乘拟合非线性最小二乘拟合二、用二、用MATLAB解拟合问题解拟合问题 1)作多项式作多项式f(x)=a1xm+amx+am+1拟合拟合,可利用已有程序可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2)对超定方程组对超定方程组可得最小二乘意义下的解。可得最小二乘意义下的解。，用，用3)多项式在多项式在x处的值处的值y可用以下命令计算：可用以下命令计算：y=polyval（a，x）输出拟合多项式系
11、数输出拟合多项式系数a=a1,am,am+1(数组数组)）输入同长度输入同长度的数组的数组X，Y拟合多项拟合多项式次数式次数1.用用MATLAB作线性最小二乘拟合作线性最小二乘拟合 即要求出二次多项式即要求出二次多项式:中中 的的使得使得:例例 对下面一组数据作二次多项式拟合对下面一组数据作二次多项式拟合 1 1）输入以下命令输入以下命令：x=0:0.1:1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;R=(x.2)x ones(11,1)；A=Ry解法解法1用解超定方程的方法用解超定方程的方法2 2）计算结果计算结果
12、：=-9.8108 20.1293 -0.0317 1）输入以下命令：输入以下命令：x=0:0.1:1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,z,r)%作出数据点和拟合曲线的图形作出数据点和拟合曲线的图形2 2）计算结果计算结果：=-9.8108 20.1293 -0.0317解法解法2用多项式拟合的命令用多项式拟合的命令 建模案例建模案例：黄河小浪底调水调沙问题：黄河小浪底调水调沙问题 2004年6月至7月黄河进行了第三次
13、调水调沙试验，特别是首次由小浪底、三门峡和万家寨三大水库联合调度，采用接力式防洪预泄放水，形成人造洪峰进行调沙试验获得成功。整个试验期为20多天，小浪底从6月19日开始预泄放水，至到7月13日恢复正常供水结束。小浪底水利工程按设计拦沙量为75.5亿立方米，在这之前，小浪底共积泥沙达14.15亿吨。建模案例建模案例：黄河小浪底调水调沙问题：黄河小浪底调水调沙问题 这次调水调沙试验一个重要的目的就是由小浪底上游的三门峡和万家寨水库泄洪，在小浪底形成人造洪峰，冲刷小浪底库区沉积的泥沙，在小浪底水库开闸泄洪以后，从6月27日开始三门峡水库和万家寨水库陆续开闸放水，人造洪峰于29日先后到达小浪底，7月3
14、日达到最大流量2700，使小浪底水库的排沙量也不断地增加。表7-1是由小浪底观测站从6月29日到7月10日检测到的试验数据。1.模型假设模型假设1)水流量和排沙量都是连续的，不考虑上游泄洪所带来的含沙量和外界带来的含沙量。2)时间是连续变化的，所取时间点依次为1,2,3，,24,单位时间为12h。2.模型建立与求解模型建立与求解问题一：给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法问题一：给出估算任意时刻的排沙量及总排沙量的方法 根据试验数据，要计算任意时刻的排沙量，就要确定出排沙量随时间变化的规律，可以通过插值来实现，考虑到实际中排沙量应该是时间的连续函数，为了提高精度，我们采用三次样条函数来进行插值。1）建立模型）建立模型 模型求解模型求解 计算结果计算结果 问题二：确定排沙量与水流量的变化关系。问题二：确定排沙量与水流量的变化关系。散点图散点图 误差计算方法误差计算方法 第一阶段多项式拟合第一阶段多项式拟合 第二阶段多项式拟合第二阶段多项式拟合