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1、高考数学（浙江专用）高考数学（浙江专用）5.2平面向量的数量积及其应用考点一考点一平面向量的数量积平面向量的数量积考点清单考点清单考向基础考向基础1.向量的数量积的定义向量的数量积的定义(1)向量a与b的夹角已知两个非零向量a和b,过O点作=a,=b,则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.当=90时,a与b垂直,记作ab;当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向.(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把|a|b|cos叫做a和b的数量积(或内积),记作ab=|a|b|cos.(3)规定:0a=0.(4)ab的几何意义a.一个向量在另一个向量方向上的投影设是非零
2、向量a与b的夹角,则|a|cos叫做a在b的方向上的投影,|b|cos叫做b在a的方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量.当090时,它是正值;当90180时,它是负值;当=90时,它是0.b.ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.2.向量的数量积的性质向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(3)当a与b同(1)ea=ae=|a|cos.(2)abab=0.向时,ab=|a|b|,当a与b反向时,ab=-|a|b|,特别地,aa=|a|2.(4)亦为a、b的夹角,且cos=.(5)|ab|a|b|.3.
3、向量的数量积的运算律向量的数量积的运算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.4.平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|=,这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1x2+y1y2=0.5.向量中的重要不等式向量中的重要不等式若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则-|a|b|ab|a|
4、b|-x1x2+y1y2.考点二考点二向量的综合应用向量的综合应用考向基础考向基础1.向量的坐标表示与运算可以大大简化向量数量积的运算.由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决,因此我们可以利用表示向量的直角坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角,判断两向量是否垂直.2.用向量法证明几何问题的基本思想:将问题中有关几何量表示为向量,然后根据图形的性质和特点,应用向量的运算法则,推出所要求证的结论.要注意挖掘题目中,特别是几何图形中的隐含条件.3.证明直线平行、垂直,线段相等等问题的基本方法(1)要证AB=CD,可转化为证明=或|=|.(2)要证ABCD,只要证存
5、在一实数0,使等式=成立即可.(3)要证ABCD,只需证=0.【知识拓展】【知识拓展】向量中常用的结论:在ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)在=的条件下,存在,使得I为ABC的内心;a+b+c=0P为ABC的内心.(2)|=|=|P为ABC的外心.(3)+=0G为ABC的重心.(4)=P为ABC的垂心.考向突破考向突破考向一考向一利用数量积求长度问题利用数量积求长度问题例例1(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,7)已知A,B是半径为的O上的两个点,=1,O所在平面上有一点C满足|+-|=1,则|的取值范围是()A.2-1,2+1B.C.-1,+1D.-1,+1解析解析以
6、O为原点,OA为x轴建立平面直角坐标系,由=1,得AOB=,于是A(,0),B,设C(x,y),则+=1.问题转化为求圆+=1上一点到原点的距离的取值范围.因为原点到圆心的距离为,且圆的半径为1,所以|的取值范围为-1,+1.答案答案C考向二考向二用数量积求角度问题用数量积求角度问题例例2(2018浙江嵊州第一学期期末质检,15)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=|2b-a|,则|b|的最大值为,a与b的夹角的取值范围为.解析解析因为|2|b|-|a|2b-a|2|b|+|a|,即|2|b|-|a|b|2|b|+|a|,所以-|b|2|b|-|a|b|,从而|b|a|,即|b|1.对|b|
7、=|2b-a|两边平方,可得b2=4b2-4ab+a2,从而cos=(3|b|+),当且仅当|b|=时等号成立.所以a与b的夹角的取值范围为.答案答案1;方法方法1 1利用数量积求长度和夹角的方法利用数量积求长度和夹角的方法一、求夹角的方法一、求夹角的方法1.定义法:利用向量数量积的定义知,cos=,其中两个向量的夹角0,求解时应求出三个量:ab,|a|,|b|或找出这三个量之间的关系.2.坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a,b的夹角,则cos=.3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、余弦定理和三角形的面积公式进行求解.方法技巧方法技巧二、求长度的方法
8、二、求长度的方法1.|a|=;2.|ab|=;3.若a=(x,y),则|a|=.例例1(2018浙江嘉兴教学测试(4月),16)已知|c|=2,向量b满足2|b-c|=bc,当b,c的夹角最大时,|b|=.解题导引解题导引解析解析设向量b,c的夹角为,因为bc=2|b-c|0,所以,由2|b-c|=bc知,2=|b|c|cos,两边平方可知,4+|b|2-4|b|cos=|b|2cos2,即sin2|b|2-4|b|cos+4=0,所以关于|b|的方程有解,此时=16cos2-16sin20,要使夹角最大,仅需考虑sin0,所以tan1,即,所以的最大值为,此时|b|=2.答案答案2方法方法2
9、 2利用向量解决几何问题的方法利用向量解决几何问题的方法1.用向量法解决平面几何问题的基本步骤:建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量的问题;通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;把运算结果转化成几何关系.2.用向量法解平面几何问题,主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以避免繁杂的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.例例2(2017浙江镇海中学第一学期期中,15)已知ABC的外心为O,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且+=0,则a,b,c的关系为,cosB的取值范围为.解题导引解题导引解析解析设AC边上的中点为D,则ODAC,从而有=(+)=+=+0=b2,同理有=c2,=(-)=b2-c2.同理有=c2-a2,=a2-b2,由+=0,得a2+2c2=3b2.cosB=(当且仅当a=c时取等号),cosB1,cosB1.答案答案a2+2c2=3b2;