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1、1 频率法的思路是：频率法的思路是：建立频率特性建立频率特性 作为一种数模作为一种数模 相应的系统分析方法相应的系统分析方法 频率指标频率指标 利用与时域指标的对应关系利用与时域指标的对应关系 转换成转换成时域指标时域指标2 频率法的特点：频率法的特点：(1)应用奈氏稳定判据，根据系统的开环频率特性研究应用奈氏稳定判据，根据系统的开环频率特性研究闭环稳定性，而不必解特征方程的根；闭环稳定性，而不必解特征方程的根；(2)系统的频率特性可用实验方法测出；系统的频率特性可用实验方法测出；(3)用频率法设计系统，可使噪声忽略或达到规定的程用频率法设计系统，可使噪声忽略或达到规定的程度；度；(4)频率法
2、可用某些非线性系统。频率法可用某些非线性系统。15-1 频率特性频率特性5.1.1 5.1.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的基本概念解：解：RC电路的微分方程为电路的微分方程为 式中，式中，T=RC。网络的传函为：。网络的传函为：R C r(t)c(t)例：例：RC线性电路，当输入为正弦电压线性电路，当输入为正弦电压r(t)=Asin t 时，时，c(t)的稳态输出为多少？的稳态输出为多少？2如果输入为正弦电压如果输入为正弦电压r(t)=Asin t，c(t)的稳态输出：的稳态输出：3css(t)1 T4 tr(t)css(t)t r(t)t0css(t)t
3、05由此可见：由此可见：网络的稳态输出电压仍然是正弦电压，其频率和输入网络的稳态输出电压仍然是正弦电压，其频率和输入电压频率相同。电压频率相同。稳态输出电压幅值是输入电压幅值稳态输出电压幅值是输入电压幅值 ，是是频率频率 的函数，称为的函数，称为RC网络的幅频特性。网络的幅频特性。稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了稳态输出电压相角比输入电压相角迟后了arctan T，是频率是频率 的函数，称为的函数，称为RC网络的相频特性。网络的相频特性。上式完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳上式完全地描述了网络在正弦输入电压作用下，稳态输出电压幅值和相角随正弦输入电压频率变化的规律，态输出电压幅值和
4、相角随正弦输入电压频率变化的规律，称为网络的称为网络的频率特性频率特性频率特性频率特性。6 即把传函中的即把传函中的s 用用j 代替就可得代替就可得到频率特性。到频率特性。幅频特性幅频特性 相频特性相频特性c cssss(t t)=)=A A G G(j j )sin sin t t+G G(j j )下面证明对图所示的线性定常系统，传递函数与频率特下面证明对图所示的线性定常系统，传递函数与频率特性的关系，性的关系，。G(s)c(t)r(t)7r r(t t)=)=r r0 0 coscos(t t+)假设假设 =0 0，则，则，则，则 r r(t t)=)=r r0 0 cos cos t
5、t C C(s s)=)=G G(s s)R R(s s)891 频率特性频率特性：指线性系统或环节在正弦函数作用下稳态：指线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入复数符号之比对频率的关系特性，用输出与输入复数符号之比对频率的关系特性，用G(j)表示。表示。物理意义：反映了系统对正弦信号的三大传递能力物理意义：反映了系统对正弦信号的三大传递能力同频，变同频，变同频，变同频，变幅幅，相移。，相移。，相移。，相移。2 幅频特性：幅频特性：稳态输出与输入振幅之比，用稳态输出与输入振幅之比，用A()表示。表示。A()=G(j)3 相频特性：相频特性：稳态输出与输入相位差，用稳态输出与输入相位差，用
6、 ()表示。表示。()=G(j)4 实频特性：实频特性：G(j)的实部，用的实部，用Re()表示。表示。5 虚频特性：虚频特性：G(j)的虚部，用的虚部，用Im()表示。表示。G(j)=A()e j()=Re()+j Im()4.1.2 4.1.2 定义定义定义定义10 特点是：把频率特点是：把频率 看成看成参变量，当参变量，当 从从0时，时，将将幅频特性和相频特性表示在幅频特性和相频特性表示在同一个复数平面上。前面讨同一个复数平面上。前面讨论的论的RC电路的极坐标图。电路的极坐标图。5.1.3 5.1.3 几何表示几何表示几何表示几何表示 1.极坐标图极坐标图（幅相频率特性曲线）幅相频率特性
7、曲线）=1 =0ImRe0 2.伯德图（对数伯德图（对数频率特性曲线）频率特性曲线）包括对数包括对数幅频特性曲线和对数幅频特性曲线和对数相频特性相频特性曲线。横坐标曲线。横坐标表示频率表示频率 ，按对数分度，单位是，按对数分度，单位是rad/s。G(j)10 lg 20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.95410111横轴按频率的对数横轴按频率的对数lg 标尺刻度，但标出的是频率标尺刻度，但标出的是频率 本身本身的数值。因此，横轴的刻度是不均匀的。的数值。因此，横轴的刻度是不均匀的。横轴压缩了高频段，扩展了低频段。横轴压缩了高频段，扩展了低频
8、段。在在 轴上，对应于频率每一倍变化，称为一倍频程，例轴上，对应于频率每一倍变化，称为一倍频程，例如如 从从1到到2，2到到4，3到到6，10到到20等的范围都是一倍频程等的范围都是一倍频程；=1=10 2345 6 7 8 9每变化十倍，称为十倍频程（每变化十倍，称为十倍频程（dec)，例如，例如 从从1到到10，2到到20，10到到100等的范围都是十倍频程等的范围都是十倍频程；所有的十倍频程；所有的十倍频程在在 轴上对应的长度都相等。轴上对应的长度都相等。20304012 对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函的纵坐标表示对数幅频特性的函数值，均匀分度，单位是数值，
9、均匀分度，单位是dB(分贝分贝)。L()=20lgA()相频曲线相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分的纵坐标表示相频特性的函数值，均匀分度，单位是度。度，单位是度。()=G(j)13L()/dB()/()90 9020 20 (rad/s)(rad/s)1 2 3 4 5 6 10 20 30 100 1 2 3 4 5 6 10 20 30 10014下图是下图是 RC网络网络G(j)=1/(1+jT)，T=0.5时对应的伯德图。时对应的伯德图。L()/dB0202-20dB/dec-90()/()015-90()/()05-2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 1.比例环节比例
10、环节 其传递函数为其传递函数为 G(s)=K 频率特性为频率特性为 G(j )=K（1）极坐标图）极坐标图 A()=K ()=0 （2）伯德图）伯德图 L()=20lgK ()=0 ImRe0K20lgK L()/dB020()=0 16（2）伯德图）伯德图 L()=20lgA()=20lg ()=90 ImRe0=0=（1）极坐标图）极坐标图 ()=90 90()/()0 20dB/dec L()/dB020110 2 积分环节积分环节 频率特性频率特性 173 微分环节微分环节 频率特性频率特性 G(j)=j （1）极坐标图）极坐标图 A()=()=90 （2）伯德图）伯德图 L()=20
11、lgA()=20lg ()=90 由于微分环节与积由于微分环节与积分环节的传递函数互为分环节的传递函数互为倒数，倒数，L()和和 ()仅仅相差一个符号。因此，相差一个符号。因此，伯德图是对称于伯德图是对称于 轴的。轴的。ImRe0=0=90()/()0 L()/dB02010120dB/dec184 惯性环节惯性环节 频率特性为频率特性为（1）极坐标图）极坐标图实部与虚部表达式为：实部与虚部表达式为：其模角表达式为：其模角表达式为：ImRe0 =0 119（2）伯德图）伯德图对数幅频特性对数幅频特性 因此，惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近因此，惯性环节的对数幅频特性曲线可用两条直线近似
12、表示，这两条直线称为渐近线。两条直线交于似表示，这两条直线称为渐近线。两条直线交于 T=1或或 =1/T。频率频率1/T 称为惯性环节的交接频率或转折频率。称为惯性环节的交接频率或转折频率。1/T L()1当当 1/T时，时，L()20lg1=0 20dB/dec2当当 1/T时，时，L()20lg T20如图可见，交接频率的地方误差最大，约如图可见，交接频率的地方误差最大，约 3dB3dB。0.1/T 1/T 2/T 4/T 8/T 10/T0dB 1dB 2dB 3dB 4dB用渐近线近似表示用渐近线近似表示L()，必然存在误差，必然存在误差L()，L()可按以下公式可按以下公式计算：计算
13、：L()=L()La()式中，式中，L()表示准确值，表示准确值，La()表示近似值，有表示近似值，有21相频特性为：相频特性为：()=arctan T T=0 ()=0 T=0.3 ()=16.7 T=0.8 ()=38.7 L()/dB0201/T 20dB/dec 90()/()0 T=1 ()=45 T ()=90225 一阶微分环节一阶微分环节 频率特性频率特性 G(j)=1+j T（1）极坐标图）极坐标图（2)伯德图伯德图幅频特性幅频特性 相相频特性频特性为为 ()=arctan T 幅频特性幅频特性为为相相频特性频特性 ()=arctan T ImRe0=0=90()/()0 L
14、()/dB0201/T20dB/dec23(1)极坐标图极坐标图 幅频特性为幅频特性为相相频频特性为特性为 根据零根据零-极点分布图极点分布图绘制极坐标图绘制极坐标图 6 振荡环节振荡环节频率特性为频率特性为24 1 ABP j 2 G(j0)=1 0 G(j n)=1/2 90 G(j)=0180 0 250ReIm1 =0 值小值小 值大值大 n26 rMr A()由图可见，幅频特性的最大值随由图可见，幅频特性的最大值随 减小而增大其值减小而增大其值可能大于可能大于1 1。可以求得在系统参数所对应的条件下，在。可以求得在系统参数所对应的条件下，在某一频率某一频率 =r（谐振频率）处振荡环节
15、会产生谐振峰值（谐振频率）处振荡环节会产生谐振峰值Mr。在产生谐振峰值处，必有。在产生谐振峰值处，必有 27可以看出：可以看出：1）0.707，没有峰值，没有峰值，A()单调衰减；单调衰减；2）=0.707，Mr=1，r=0，这正是幅频特性曲线，这正是幅频特性曲线的初始点；的初始点；3）1，r 0，幅频，幅频A()出现峰值。出现峰值。而且而且 越小，峰值越小，峰值Mr 及谐振频率及谐振频率 r 越高；越高；4）=0，峰值，峰值Mr 趋于无穷，谐振频率趋于无穷，谐振频率 r 趋于趋于 n。这表明外加正弦信号的频率和自然振荡频率相同，这表明外加正弦信号的频率和自然振荡频率相同，引起环节的共振。环节
16、处于临界稳定的状态。引起环节的共振。环节处于临界稳定的状态。峰值过高，意味着动态响应的超调大，过程不平稳。峰值过高，意味着动态响应的超调大，过程不平稳。对振荡环节或二阶系统来说，相当于阻尼比对振荡环节或二阶系统来说，相当于阻尼比 小，小，这和时域分析法一章所得结论是一致的。这和时域分析法一章所得结论是一致的。28根据上式可以作出两条渐近线。根据上式可以作出两条渐近线。当当 n时，时，L()20lg 2/n2=40lg /n。（2）伯德图）伯德图 幅频特性幅频特性 L()n 40dB/dec29误误差差计计算公式是算公式是：这是一条斜率为这是一条斜率为 40dB/dec直线，和零分贝线交于直线，
17、和零分贝线交于 =n的地方。故的地方。故振荡环节的交接频率为振荡环节的交接频率为 n。30下图为下图为 L(,)的曲线的曲线 0.1 0.2 0.4 1 2 4 6 8 10 /n201612840-4-8 =0.05 =10.10.20.30.40.50.60.831相频特性相频特性 =0 (0)=0 =n (n)=90 ()=180 由于系统阻尼比取值不同，由于系统阻尼比取值不同，()在在 =n邻域的角度邻域的角度变化率也不同，阻尼比越小，变化率越大。变化率也不同，阻尼比越小，变化率越大。320.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,233ImRe0=01=7 二阶微分环节二阶微分环节其
18、频率为特性其频率为特性 由于二阶微分环节与振荡环节的传递函数互为倒数，由于二阶微分环节与振荡环节的传递函数互为倒数，因此，其伯德图可以参照振荡环节的伯德图翻转画出。因此，其伯德图可以参照振荡环节的伯德图翻转画出。极坐标图为极坐标图为：34由于由于()随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性随频率的增长而线性滞后，将严重影响系统的稳定性ImRe0 大大 ()/()0 L()/dB0 小小=0 8 延迟环节延迟环节 其频率特性为其频率特性为：G(j)=e j T 幅值为：幅值为：A()=e j T =1 相角为：相角为：()=(rad)=57.3()由于幅值总是由于幅值总是1，相角随频率而变
19、化，其极坐标图为一单位圆。，相角随频率而变化，其极坐标图为一单位圆。355.3 控制系统的频率特性控制系统的频率特性5.3.1 开环极坐标图开环极坐标图 1.1.用幅频特性和相频特性计算做图用幅频特性和相频特性计算做图用幅频特性和相频特性计算做图用幅频特性和相频特性计算做图设开环频率特性为：设开环频率特性为：式中式中 分别计算出各环节的幅值和相角后，按上式便可计算分别计算出各环节的幅值和相角后，按上式便可计算出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。出开环幅值和相角，从而就可绘制出开环极坐标图。36 解解:RC超前网络的传函为超前网络的传函为()=90 arctan T 例例5-1 如如图
20、所示图所示RC超前网超前网络络,要求绘制它的幅相曲线。要求绘制它的幅相曲线。式中式中 T=RC。其频率特性为。其频率特性为 R C r(t)c(t)375.0 0.982 11.32.0 0.895 301.0 0.707 45幅相曲线如图幅相曲线如图ImRe0 T=125 T=T=01 T A()()()0 0 900.1 0.0995 84.30.3 0.288 73.3 10()=90 arctan T38 2.2.按实频特性和虚频特性计算作图按实频特性和虚频特性计算作图按实频特性和虚频特性计算作图按实频特性和虚频特性计算作图 把开环频率特性按实部和虚部分开，然后再用一系列把开环频率特性
21、按实部和虚部分开，然后再用一系列 值代入，计算相应的实频和虚频值值代入，计算相应的实频和虚频值,绘制出开环幅相曲绘制出开环幅相曲线。线。3.3.由极点由极点由极点由极点零点分布图绘制零点分布图绘制零点分布图绘制零点分布图绘制 由开由开环传递函数零极点形式先标出每一零点和极点，环传递函数零极点形式先标出每一零点和极点，当当s=j 时，可作出相应零点或极点对应的矢量时，可作出相应零点或极点对应的矢量(频率特性频率特性)，根据所对应的，根据所对应的 值，计算出有关矢量的长度和角度，就值，计算出有关矢量的长度和角度，就能求得频率特性。能求得频率特性。例例5-2 由极点由极点零点分布图求例零点分布图求例
22、1中的频率特性中的频率特性 解：解：39 G(j0)=0 90 G(j1/T)=0.707 45 G(j2/T)=0.895 30 G(j5/T)=0.982 11.3 G(j)=1 0 0 j-1/Tj+1/T ImRe0 =1/T2/T5/T =404.4.开环极坐标图的近似绘制开环极坐标图的近似绘制开环极坐标图的近似绘制开环极坐标图的近似绘制 (1)根据开环零根据开环零-极点图确定起点极点图确定起点(=0)：精确求出：精确求出 A(0)，(0)；(2)确定终点确定终点(=)：求出：求出A()，()；(3)确定曲线与坐标轴的交点：确定曲线与坐标轴的交点：G(j)=Re()+j Im()与实
23、轴的交点：与实轴的交点：令令 Im()=0 求出求出 x 代入代入 Re(x)(4)由起点出发，绘制曲线的大致形状。由起点出发，绘制曲线的大致形状。试绘制系统的开环幅相曲线。试绘制系统的开环幅相曲线。解：系统开环频率特性解：系统开环频率特性 例例5-3 已知系统开环传函为已知系统开环传函为41（1）Gk(j0)=k 0 （2）Gk(j)=0180（3）当当 增加时，增加时，()是单调减的，从是单调减的，从0 变变化到化到 180。0j-1/T1-1/T242ImRe0=0 幅相曲线大致形状如图幅相曲线大致形状如图:43例例5-4 已知系统开环传函为已知系统开环传函为试绘制系统的开环幅相曲线。试
24、绘制系统的开环幅相曲线。解：系统开环频率特性解：系统开环频率特性（1）Gk(j0)=90 （2）Gk(j)=0180（3）与实轴的交点）与实轴的交点:0j-1j+1 当当 =0时，实部函数有渐近线为时，实部函数有渐近线为1，可以先作出渐，可以先作出渐近线。通过分析实部和虚部函数，可知与坐标轴无交点。近线。通过分析实部和虚部函数，可知与坐标轴无交点。44开环开环概略极坐标图如下所示：概略极坐标图如下所示：ImRe0=0 145例例5-5 已知系统开环传函为已知系统开环传函为试绘制系统的开环幅相曲线。试绘制系统的开环幅相曲线。解：根据零解：根据零-极点分布图极点分布图 0j-1-2-0.5 1）G
25、k(j0)=180 2）Gk(j)=0270 3）与实轴的交点：）与实轴的交点：令令 Im()=0 x=0.707 Re(x)=2.67k46ImRe0=0 2.67k开环开环概略极坐标图如下所示：概略极坐标图如下所示：475.3.2 开环伯德图开环伯德图 开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为开环对数幅频特性和开环对数相频特性分别为说明：说明：Lk()和和 k()分别都是各典型环节的叠加。分别都是各典型环节的叠加。例例5-6 已知一单位反馈系统，其开环传函为已知一单位反馈系统，其开环传函为要求绘制伯德图。要求绘制伯德图。48 L()/dB0201 20dB/dec105 40dB/dec
26、20dB/dec 解：开环传函由以下三个解：开环传函由以下三个典型环节组成：典型环节组成：比例环节比例环节 10 积分环节积分环节 1/s 惯性环节惯性环节 1/(0.2s+1)49分析开环对数幅频曲线，有下列特点：分析开环对数幅频曲线，有下列特点：（1）最左端直线的斜率为）最左端直线的斜率为 20 dB/dec，这一斜率完全由，这一斜率完全由G(s)的积分环节数决定；的积分环节数决定；（2）=1时，曲线的分贝值等于时，曲线的分贝值等于20 lgk；（3）在惯性环节交接频率）在惯性环节交接频率5(rad/s)处，斜率从处，斜率从 20dB/dec变为变为 40 dB/dec。L()/dB020
27、1 20dB/dec105 40dB/dec 20dB/dec50一般的近似对数幅频曲线特点：一般的近似对数幅频曲线特点：(1)最左端直线的斜率为最左端直线的斜率为 20NdB/dec，N是积分环节个数是积分环节个数;(2)在在 =1时，最左端直线或其延长线的分贝值等于时，最左端直线或其延长线的分贝值等于20lgk(3)在交接频率处，曲线的斜率发生改变，改变多少取决在交接频率处，曲线的斜率发生改变，改变多少取决于典型环节种类。例如，在惯性环节后，斜率减少于典型环节种类。例如，在惯性环节后，斜率减少20dB/dec；而在振荡环节后，斜率减少；而在振荡环节后，斜率减少40 dB/dec。绘制近似对
28、数幅频曲线的步骤：绘制近似对数幅频曲线的步骤：在半对数坐标上标出所有的转折频率；在半对数坐标上标出所有的转折频率；确定低频段的斜率和位置；确定低频段的斜率和位置；由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率，由低频段开始向高频段延伸，每经过一个转折频率，曲线的斜率发生相应的变化。曲线的斜率发生相应的变化。51 对数相频特性作图时，首先确定低频段的相位角，其对数相频特性作图时，首先确定低频段的相位角，其次确定高频段的相位角，再在中间选出一些插值点，计算次确定高频段的相位角，再在中间选出一些插值点，计算出相应的相位角，将上述特征点连线即得到对数相频特性出相应的相位角，将上述特征点连线即得到对数相频
29、特性的草图。的草图。k()=090arctan(0.2)-90()/()0-180 k(0)=90 k()=180 k(1)=101.3 k(5)=135 k(10)=153.4 1 5 1052 例例5-7 绘制单位反馈系统的开环传函为绘制单位反馈系统的开环传函为试绘制系统的对数幅频曲线。试绘制系统的对数幅频曲线。解：将传函化简成标准形式解：将传函化简成标准形式 L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec110220-40dB/dec c=5 c 幅值穿越频率幅值穿越频率53定义定义:开环零点与开环极点全部位于开环零点与开环极点全部位于s左半平面的系统为左半平面
30、的系统为 最小相位系统，否则称为非最小相位系统。最小相位系统，否则称为非最小相位系统。例例5-8 已知两个控制系统的开环传函分别为：已知两个控制系统的开环传函分别为：试绘制两系统的开环伯德图。试绘制两系统的开环伯德图。解：由定义知解：由定义知G1(s)对应的系统为最小相位系统，对应的系统为最小相位系统，G2(s)对应的系统为非最小相位系统，频率特性分别为：对应的系统为非最小相位系统，频率特性分别为：5.3.3 5.3.3 最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统54 0j 1j+1 0.5 j+0.5j 01 j 0.5
31、j+0.51其对应的零其对应的零极点分布图如下极点分布图如下:1()=arctan arctan2 2()=arctan arctan2 55 L()/dB1-20dB/dec0.5 L()/dB1-20dB/dec0.5-90()/()0-180-90()/()0 1()=arctan arctan2 2()=arctan arctan2 56结论：结论：在具有相同的开环幅频特性的系统中，最小相位在具有相同的开环幅频特性的系统中，最小相位系统的相角变化范围最小系统的相角变化范围最小;最小相位系统最小相位系统L()曲线变化趋势与曲线变化趋势与()一致；一致；最小相位系统最小相位系统L()曲线与
32、曲线与()两者具有一一对应关两者具有一一对应关系，因此在分析时可只画出系，因此在分析时可只画出L()。反之，在已知。反之，在已知L()曲线曲线时，也可以确定出相应的开时，也可以确定出相应的开环环传递函数。传递函数。最小相位系统最小相位系统当当 时，其相角时，其相角()=90(n m)n为开环极点数，为开环极点数，m为开环零点数。为开环零点数。例例5-9 某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图某最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图示，试写出该系统的开环传递函数。示，试写出该系统的开环传递函数。57 L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1 7 10215 解：低频段直线斜率是解：低频段直线斜率是 20 dB/dec，故系统包含一个，故系统包含一个积分环节。据积分环节。据 =1时，低频段直线的坐标为时，低频段直线的坐标为15 dB，可知，可知比例环节的比例环节的k=5.6。交接频率为。交接频率为=2和和=7，可以写出系可以写出系统的开环传递函数：统的开环传递函数：58