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1、关于随机变量及其分关于随机变量及其分布布(3)第一页，本课件共有87页随机变量的概念随机变量的概念(1)l随机随机试验的可能的可能结果不止一个果不止一个.例如：考察投例如：考察投掷两两颗骰子的随机骰子的随机试验，假，假设这两两颗骰子是可以骰子是可以分辨的，其分辨的，其样本空本空间为：S=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1),(2,2),(6,6)l在某些情况下，人在某些情况下，人们们主要感主要感兴兴趣的不是趣的不是试验结试验结果本身果本身，而是与而是与试验结试验结果有关的某个数果有关的某个数.例如：如果人例如：如果人们关心两关心两颗骰子骰子掷出的点数之和是否等于出的点数之和是否等于7
2、,实际上上就不会在乎其就不会在乎其结果是果是(1,6)还是是(2,5).第二页，本课件共有87页有些随机有些随机试验的的结果本身是一个数，例如：果本身是一个数，例如：某出租某出租车公司的公司的电话订车中心，一天之内接到中心，一天之内接到订车电话的的次数；次数；某射手某射手对一活一活动靶靶进行射行射击，到，到击中目中目标为止，所止，所进行的射行的射击次数；次数；从一批灯泡中，任取一只，从一批灯泡中，任取一只，测定定这只灯泡的寿命只灯泡的寿命.有些随机有些随机试验的的结果看起来与数量无关，例如：果看起来与数量无关，例如：投投掷一枚硬一枚硬币，其基本事件，其基本事件为“正面向上正面向上”、“反面向上
3、反面向上”；在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考考虑孩子的性孩子的性别，其基本事件，其基本事件为“男男男男”、“男女男女”、“女男女男”、“女女女女”.如果我如果我们将随机将随机试验的的结果数量化，使之与果数量化，使之与实数数对应起来，我起来，我们就有可能利用数学分析的方法就有可能利用数学分析的方法对随机随机试验的的结果果进行深入广泛的行深入广泛的研究研究.第三页，本课件共有87页随机变量的概念随机变量的概念(2)定定义义：随机随机变变量量是定是定义义在在样样本空本空间间 S 上的上的实值实值函数函数.00.51P(B)P(A)0是定是定义义在在样样本空本空间间 S 上的函数上的函数
4、第四页，本课件共有87页附注：附注：随机随机变量与普通函数有着本量与普通函数有着本质的区的区别.随机随机变变量是一种因量是一种因变变量（而非自量（而非自变变量），它的取量），它的取值值依依赖赖于于样样本点，所以其定本点，所以其定义义域是抽象的域是抽象的样样本空本空间间.随机随机变量的取量的取值随随试验的的结果而定，而果而定，而试验各个各个结果的出果的出现有一定的概率，因而随机有一定的概率，因而随机变量的取量的取值也有一定的概率也有一定的概率.随机随机变量常用大写字母量常用大写字母X,Y,Z,表示，而以小写字母表示，而以小写字母x,y,z,表示表示实数数.若若 L 是一个是一个实数集合，数集合，
5、则集合集合e|X(e)L表示表示样本空本空间 S 中中满足足X(e)L的所有的所有样本点本点组成的子集（随机事件）成的子集（随机事件）.第五页，本课件共有87页实例例1 掷一个硬一个硬币,观察出察出现的的结果果,共有两种情况共有两种情况:若用若用X 表示表示掷一个硬一个硬币出出现正面的次数正面的次数,则有有0 01 1即即X(e)是一个随机是一个随机变量量.第六页，本课件共有87页实例例2 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考考虑其性其性别,共有共有4 4个个样本本点点:若用若用X表示表示该家庭女孩的人数家庭女孩的人数时，则有有可得随机可得随机变量量 若假若假设男孩和女孩的出生率相等，
6、男孩和女孩的出生率相等，则 第七页，本课件共有87页2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律第八页，本课件共有87页离散型随机变量离散型随机变量定定义：若随机若随机变量只能取有限个或可列个数量只能取有限个或可列个数值，则称称为离散型随机离散型随机变量量.随机变量随机变量 离散型随机变量离散型随机变量 非离散型随机变量非离散型随机变量 第九页，本课件共有87页附注：附注：随机随机变量与普通函数有着本量与普通函数有着本质的区的区别.随机随机变变量是一种因量是一种因变变量（而非自量（而非自变变量），它的取量），它的取值值依依赖赖于于样样本点，本点，所以其定所以其定义义域是抽象的域是抽象的
7、样样本空本空间间.随机随机变量的取量的取值随随试验的的结果而定，而果而定，而试验各个各个结果的出果的出现有一有一定的概率，因而随机定的概率，因而随机变量的取量的取值也有一定的概率也有一定的概率.随机随机变量常用大写字母量常用大写字母X,Y,Z,表示，而以小写字母表示，而以小写字母x,y,z,表示表示实数数.若若 L 是一个是一个实数集合，数集合，则集合集合e|X(e)L表示表示样本空本空间 S 中中满足足X(e)L的所有的所有样本点本点组成的子集（随机事件）成的子集（随机事件）.第十页，本课件共有87页设离散型随机离散型随机变量量 X 的所有可能取的所有可能取值为 ，且且离散型随机变量的分布离
8、散型随机变量的分布分布律分布律 显然，下列两个条件必定成立：然，下列两个条件必定成立：(1)(2)也可以用表格的形式来表示也可以用表格的形式来表示第十一页，本课件共有87页例：例：l对技技术熟熟练的射手甲的射手甲l对新手乙新手乙X和和Y 是不同的随机是不同的随机变量量.结论：概率结论：概率1 1，以不同的方式分布到各可能取值，就确定，以不同的方式分布到各可能取值，就确定不同的随机变量不同的随机变量.游游戏规则：落在落在e0区域得区域得0分；分；落在落在e1区域得区域得1分；分；落在落在e2区域得区域得2分分第十二页，本课件共有87页例：例：已知随机已知随机变量量 X 的概率分布描述如下：的概率
9、分布描述如下：试求出求出 X 的分布的分布.例：例：若随机若随机变量量X 只取常数只取常数值a，即，即 ，则称称X 服从服从退化分布退化分布或或单点分布点分布.附注：附注：其其实X 并不随机，但有并不随机，但有时将它看作是随机将它看作是随机变量更量更为方便，方便，这是概率集中在一点是概率集中在一点a 处的退化情形的退化情形.第十三页，本课件共有87页独立试验序列独立试验序列定定义：若一个随机若一个随机试验只有两种可能只有两种可能结果：果：A（称（称为“成功成功”）与）与A（称（称为“失失败”）,两者两者发生的概率分生的概率分别为：（成功概率）（成功概率）,（失（失败概率），概率），则此此类试验
10、称称为成功概率成功概率为 p 的的伯努利伯努利试验.定定义：将一个伯努利将一个伯努利试验独立重复独立重复进行行 n 次次，得到的，得到的试验序列称序列称为 n 重伯努利重伯努利试验.第十四页，本课件共有87页附注：附注：所所谓独立重复独立重复进行一个伯努利行一个伯努利试验，是指，是指每一次每一次试验试验都是伯努利都是伯努利实验实验，只能，只能发发生生 或或 .“重复重复”是指在每次是指在每次试验中成功概率中成功概率 P(A)=p 保持不保持不变.“独立独立”是指每一次是指每一次试验的的结果互不影响，即若以果互不影响，即若以 Ci 表示第表示第 i 次次试验的的结果，果，则 P(C1C2 Cn)
11、=P(C1)P(C2)P(Cn).第十五页，本课件共有87页两点分布两点分布 在成功概率在成功概率 P(A)=p 的伯努利的伯努利试验中，事件中，事件 A 出出现的次数的次数 X 只能等于只能等于0 或或 1，且它的分布律是，且它的分布律是即即 其中其中不不难验证：所以所以这是一个概率分布，称是一个概率分布，称 X 服从服从两点分布两点分布.第十六页，本课件共有87页说明说明n对于一个随机于一个随机试验，如果，如果样本空本空间只包含两个元素，即只包含两个元素，即S=e1,e2我我们总能在能在 S 上定上定义一个服从两点分布的随机一个服从两点分布的随机变量量 来描述来描述这个随机个随机试验的的结
12、果果（课本本P.41）第十七页，本课件共有87页二二项分布分布(Binomial Distribution)在成功概率在成功概率 P(A)=p 的的 n 重伯努利重伯努利试验中，事件中，事件 A 出出现的次数的次数 X 可能等于可能等于 ，且它的分布律，且它的分布律不不难验证：所以所以这是一个概率分布，称是一个概率分布，称为二二项分布分布，简记作作 .特特别的，当的，当 n=1时，二，二项分布就是分布就是两点分布两点分布.第十八页，本课件共有87页例：例：（产品抽品抽样检验模型）模型）设 N 件件产品有品有 M 件次品，从中件次品，从中任取一件任取一件产品品进行行检验，则结果可能是：果可能是：
13、A（“次品次品”）或）或 A（“正品正品”），），这是成功概率是成功概率 的伯努利的伯努利试验.若采取若采取“放回抽放回抽样”，接，接连抽取抽取 n 次，那么次，那么这样的抽的抽检形成一形成一个的个的 n 重伯努利重伯努利试验.若采取若采取“不放回抽不放回抽样”，接，接连抽取抽取 n（N）次，那么）次，那么这样的抽的抽检不能不能视作作 n 重伯努利重伯努利试验.当当产品品总量量 N 很大很大时，抽出少数几件不致影响次品率，故也可，抽出少数几件不致影响次品率，故也可将不放回地接将不放回地接连抽取抽取 n（远小于小于 N）次的）次的检验看成看成 n 重伯努利重伯努利试验.第十九页，本课件共有87页
14、例：例：按按规定，某种型号定，某种型号电子元件的使用寿命超子元件的使用寿命超过1500小小时的的为一一级品品.已知某一大批已知某一大批产品的一品的一级品率品率为0.2，现在从中随在从中随机地抽机地抽查20只，只，问20只元件中恰有只元件中恰有 k 只（只（k=0,1,20）为一一级品的概率是多少？品的概率是多少？解：解：记20只元件中一只元件中一级品的只数品的只数为X，那么，那么X b(20,0.2)，于是于是分析：分析：这是不放回抽是不放回抽样当当产品品总量量 N 很大很大时，抽出少数几件不，抽出少数几件不致影响致影响一一级品品率，故也可将不放回地接率，故也可将不放回地接连抽取抽取 n（远小
15、于小于N）次的）次的检验看成看成 n 重伯努利重伯努利试验.第二十页，本课件共有87页例：例：某人某人进行射行射击，设每次射每次射击的命中率的命中率为0.02，独立射，独立射击400次，次，试求至少求至少击中两次的概率中两次的概率.解：解：记400次射次射击中命中的次数中命中的次数为X，那么，那么X b(400,0.02)，于是于是结论：只要：只要试验的次数足的次数足够多，而且多，而且试验是独立是独立进行的，那行的，那么小概率事件几乎肯定么小概率事件几乎肯定发生，决不能忽生，决不能忽视小概率事件小概率事件.第二十一页，本课件共有87页例：例：设有有80台同台同类型的型的设备，各台工作是相互独立
16、的，各台工作是相互独立的，发生生故障的概率都是故障的概率都是0.01，且一台，且一台设备的故障能由一个人的故障能由一个人处理理考考虑两种配两种配备维修工人的方法，其一是由修工人的方法，其一是由4人人维修，每人修，每人负责20台；其二是由台；其二是由3人共同人共同维护80台台试比比较这两种方法在两种方法在设备发生故障生故障时不能得到及不能得到及时维修的概率的大小修的概率的大小解：解：先先讨论第二种方法第二种方法设80台台设备同一同一时刻刻发生故障的台数生故障的台数为X，则X b(80,0.01)，所求概率，所求概率为第二十二页，本课件共有87页再再设第第 i 个人个人负责的的20台台设备同一同一
17、时刻刻发生故障的台数生故障的台数为X，则X b(20,0.01)，于是，于是解：解：（续）再再讨论第一种方法第一种方法设Ai表示事件表示事件“第第 i 个人个人负责的的20台台设备发生故障不能得到及生故障不能得到及时维修修”，则所求概率所求概率为结论：尽管第二种方法尽管任：尽管第二种方法尽管任务重了（每人平均重了（每人平均维护约27台），但工作效率不台），但工作效率不仅没降低，反而提高了没降低，反而提高了.第二十三页，本课件共有87页解：解：假假设需要需要发射射 n 枚枚导弹，则击中来犯中来犯敌机的机的导弹数是数是随机随机变量量X b(n,0.96)，于是，于是又因又因为所以所以从而从而取取
18、n=3，即需要，即需要发射射3枚枚导弹例：例：已知已知发生一枚地生一枚地对空空导弹击中来犯中来犯敌机的概率机的概率为0.96，问需要在相同条件下需要在相同条件下发射多少枚射多少枚导弹才能保才能保证至少有一枚至少有一枚导弹击中来犯中来犯敌机的概率大于机的概率大于0.999?第二十四页，本课件共有87页解：解：因因为全是瞎蒙，所以每道全是瞎蒙，所以每道题的任一的任一 个答案被个答案被选中的概中的概率都是相等的，每做一道率都是相等的，每做一道题就是就是进行一次成功概率行一次成功概率为1/n 的的伯努利伯努利试验设答答对的的题目数量目数量X b(5,1/n)，于是，于是这人考人考试及格的概率及格的概率
19、为当当 n=3 时，当当 n=4 时，例：例：一个完全不懂英一个完全不懂英语的人去瞎蒙一次大学英的人去瞎蒙一次大学英语四四级考考试设此考此考试有有5道道选择题，每，每题给出出 n 个答案以供个答案以供选择，其中，其中只有一个答案正确只有一个答案正确试问这人居然答人居然答对3题以上从而及格的以上从而及格的概率概率第二十五页，本课件共有87页泊松分布泊松分布(Poission Distribution)若随机若随机变量量 X 以以 作作为其一切可能取其一切可能取值，且，且其中常数其中常数 ，则称称 X 服从服从泊松分布泊松分布，简记作作 .不不难验证：所以所以这是一个概率分布是一个概率分布.第二十
20、六页，本课件共有87页 历史上，泊松分布是作史上，泊松分布是作为二二项分布的近似，于分布的近似，于1837年由年由法国数学家泊松引入的法国数学家泊松引入的 近数十年来，泊松分布日益近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，示其重要性，成成为概率概率论中最重要的几个分布之一中最重要的几个分布之一 在在实际中，中，许多随机多随机现象（近似）服从泊松象（近似）服从泊松分布分布 二十世二十世纪初初罗瑟福和盖克两位科学家在瑟福和盖克两位科学家在观察察与分析放射性物与分析放射性物质放出的放出的粒子个数的情况粒子个数的情况时，他他们做了做了2608 次次观察察(每次每次时间为7.5 秒秒)发现放放射性物射性物质
21、在在规定的一段定的一段时间内，其放射的粒子数内，其放射的粒子数X 服从泊松分布服从泊松分布.泊松分布的背景及泊松分布的背景及应用用第二十七页，本课件共有87页 在生物学、医学、工在生物学、医学、工业统计、保、保险科学及公用事科学及公用事业的排的排队等等问题中中,泊松分布是常泊松分布是常见的的.例如地震、火山爆例如地震、火山爆发、特大洪水、特大洪水、交交换台的台的电话呼呼唤次数等次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.地震地震 火山爆火山爆发 特大洪水特大洪水 电话呼呼唤次数次数交通事故次数交通事故次数 商商场接待的接待的顾客数客数第二十八页，本课件共有87页二二项分布分布 泊松分布泊松分布 n很
22、大很大,p 很小很小 泊松分布与二泊松分布与二项分布的关系分布的关系第二十九页，本课件共有87页3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数第三十页，本课件共有87页l随机随机变变量量是定是定义义在在样样本空本空间间 S 上的上的实值单值实值单值函数函数.l若若 L 是一个是一个实实数集合，数集合，则则集合集合 表示表示样样本空本空间间 S 中中满满足足 的所有的所有样样本点本点组组成的随机事件成的随机事件.l若随机若随机变变量只能取有限个或可列个数量只能取有限个或可列个数值值，则则称称为为离散型随离散型随机机变变量量.l离散型随机离散型随机变变量的分布律必量的分布律必满满足：足：(1)(2)知识
23、点回顾知识点回顾第三十一页，本课件共有87页引言引言l非离散型随机非离散型随机变量，由于其可能取的量，由于其可能取的值不能一个一个地列不能一个一个地列举出出来，因而就不能像离散型随机来，因而就不能像离散型随机变量那量那样用分布律来描述用分布律来描述l在在实际中，中，对于非离散型随机于非离散型随机变量，如：量，如：误差差，元件的，元件的寿命寿命 T 等，人等，人们感感兴趣的往往并不是趣的往往并不是误差差=0.05(mm)，寿寿命命T=1251.3(h)的概率，而是考的概率，而是考虑误差落在某个区差落在某个区间的概率，的概率，寿命大于某个数的概率寿命大于某个数的概率第三十二页，本课件共有87页随机
24、变量的分布函数随机变量的分布函数l随机随机变量量 X 与任意与任意实数数 x 的关系式的关系式 对应着随机事件着随机事件 l概率概率 与与实数数 x 的的值有关，是有关，是实数数变量量 x 的函数，的函数，即即 ，称，称为随机随机变量量 X 的的分布函数分布函数备注：分布函数的定注：分布函数的定义域是域是实数集数集 R0 xX0 xXbaa用数学分析的方法用数学分析的方法研究随机变量成为研究随机变量成为可能！可能！第三十三页，本课件共有87页随机随机变量量 X 的的分布函数分布函数0 x2Xx1分布函数的性质分布函数的性质性性质1 1：单调不减，即若不减，即若 ，则必有必有 .性性质2 2：，
25、且，且 ，.x性性质3 3：在每一点在每一点 处均均为右右连续，即有，即有第三十四页，本课件共有87页等价于等价于 例：例：设随机变量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为：求求 X 的分布函数的分布函数.解：解：当当 时，时，012x当当 时，时，012x为不可能事件为不可能事件 ，故故 ,故故第三十五页，本课件共有87页等价于等价于 当当 时，时，012当当 时，时，等价于等价于 x012x，故，故例：例：设随机变量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为：求求 X 的分布函数的分布函数.故故第三十六页，本课件共有87页综上所述，分布函数为综上所述，分布函数为0121于是于是例：例：设随机变
26、量设随机变量 X 的分布律为：的分布律为：求求 X 的分布函数的分布函数.第三十七页，本课件共有87页分布律与分布函数分布律与分布函数l任意随机任意随机变量都可用分布函数来刻画其概率分布量都可用分布函数来刻画其概率分布.l对于离散型随机于离散型随机变量，可量，可经由分布律得到分布函数由分布律得到分布函数.l反反过来，离散型随机来，离散型随机变量的分布函数只在以正概率取量的分布函数只在以正概率取值的点的点处发生跳生跳跃间断，其断，其跃度正是随机度正是随机变量取量取该值的概率，于是的概率，于是对F(x)的每个跳的每个跳跃间断点断点xk，有，有第三十八页，本课件共有87页例：例：已知离散型随机变量的
27、分布律为已知离散型随机变量的分布律为分布函数是分布函数是试确定其中的试确定其中的a,b,c,d,e的值的值解：解：由由F()=0，F(+)=1得得 c=0,e=1由由PX=1=F(1)F(10)得得 13/4=b,b=1/4,又由又由1/4+a+b=1，从而得，从而得 a=1/2由由PX=0=F(0)F(00)得得 1/2=3/4d ，从而从而 d=1/4即即a=1/2,b=1/4,c=0,d=1/4,e=1第三十九页，本课件共有87页连续型随机变量连续型随机变量随机变量 离散型随机变量（只能取有限个或可列个数值）非离散型随机变量连续型随机变量（其可能取值布满某个区间）其它 第四十页，本课件共
28、有87页并称并称 y=f(x)的的图像像为 X 的的分布曲分布曲线 称被称被积函数函数 f(x)为X 的的概率密度概率密度，连续型随机变量连续型随机变量定定义：如果如果对于随机于随机变量量 X 的分布函数，存在非的分布函数，存在非负函数函数 ，使得使得对于任意于任意实数数 x，有，有就称就称 X 为连续型随机型随机变量量，0 xy=f(x)面面积x0备注：注：连续型随机型随机变量的分布函数是量的分布函数是连续函数函数课本课本P.51附注附注1第四十一页，本课件共有87页概率密度的几何特征：概率密度的几何特征：l概率密度的曲概率密度的曲线总在在x轴的上方，在整个的上方，在整个实数数轴有定有定义l
29、对任意任意连续型随机型随机变量，概率密度与量，概率密度与x轴所所围成的面成的面积总是是1.1.概率密度的性质概率密度的性质(1)(1)(1)(2)(2)y=f(x)面面积=10 x(3)(3)对任意任意实数数a、b，xy=f(x)b面面积a0第四十二页，本课件共有87页(4)(4)若若 f(x)在点在点 x 处处连续，则有连续，则有 （当（当 很小很小时）概率密度的性质概率密度的性质(2)0y=f(x)x x+xxyf(x)不是不是 X 取取值 x 时的概率的概率,但它可以反但它可以反映映 X 在在 x 点点附近附近取取值的概率的大小的概率的大小.第四十三页，本课件共有87页对于于连续型随机型
30、随机变量量X 来来说，它取任一指定的，它取任一指定的实数数值 a 的概的概率均等于零，即率均等于零，即 PX=a=0（课本本P.53）证明：明：因因为 由此可得：由此可得：l不可能事件一定是零概率的事件，零概率事件不一定是不不可能事件一定是零概率的事件，零概率事件不一定是不可能事件可能事件.l必然事件一定是概率必然事件一定是概率为1的事件，概率的事件，概率为1的事件不一定是必的事件不一定是必然事件然事件.l连续型随机型随机变量取量取值在某个区在某个区间的概率，可以不特的概率，可以不特别考考虑区区间的端点，即的端点，即，所以，所以 因因为F(x)是是连续函数，函数，令令 ，得，得PX=a=0 第
31、四十四页，本课件共有87页例：例：向半径为向半径为R的圆形靶射击，假定不会发生脱靶的情况，弹的圆形靶射击，假定不会发生脱靶的情况，弹着点落在以靶心着点落在以靶心O为中心、为中心、r（r R）为半径的圆形区域的概率与为半径的圆形区域的概率与该区域的面积成正比该区域的面积成正比.设随机变量设随机变量 X 表示弹着点与靶心的距离，试表示弹着点与靶心的距离，试求求 X 的分布函数及其密度函数的分布函数及其密度函数.解：解：1.1.若若 x R,则则 是必然事件，于是是必然事件，于是xR第四十五页，本课件共有87页0 R1F(x)x对分布函数求导，可得对分布函数求导，可得综合得：综合得：于是于是可认为概
32、率密度函数为可认为概率密度函数为第四十六页，本课件共有87页思考题思考题p连续型随机型随机变量的分布函数量的分布函数F(x)一定是一定是连续函数函数p连续型随机型随机变量的概率密度量的概率密度 f(x)是是连续函数函数吗？p0 f(x)1成立成立吗？第四十七页，本课件共有87页称称为区区间(a,b)上的均匀分布，上的均匀分布，记作作 .最最简单的的连续型随机型随机变量是概率密度在某个有限区量是概率密度在某个有限区间(a,b)上上取正的常数取正的常数值，其余区，其余区间上皆上皆为零的随机零的随机变量，即量，即可以可以证明：明：第四十八页，本课件共有87页定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变
33、量 X 具有概率密度具有概率密度则称则称 X 在区间在区间(a,b)服从服从均匀分布均匀分布，记作，记作 .均匀分布（均匀分布（Uniform Distribution）相相应的分布函数的分布函数为y=f(x)0 xaby=F(x)0 xab1第四十九页，本课件共有87页思考题思考题p连续型随机型随机变量的分布函数量的分布函数F(x)一定是一定是连续函数函数p连续型随机型随机变量的概率密度量的概率密度 f(x)是是连续函数函数吗？p0 f(x)1成立成立吗？答：答：连续型随机型随机变量的概率密度量的概率密度 f(x)不一定是不一定是连续函数；函数；0 f(x)1一定成立一定成立第五十页，本课件
34、共有87页说明说明类似地，我似地，我们可以定可以定义l区区间a,b上的均匀分布；上的均匀分布；l区区间(a,b上的均匀分布；上的均匀分布；l区区间a,b)上的均匀分布上的均匀分布第五十一页，本课件共有87页可以可以证明：若明：若 ，设 ，则均匀分布（均匀分布（Uniform Distribution）y=f(x)0 xab结论：服从均匀分布的随机：服从均匀分布的随机变量落在量落在(a,b)的子区的子区间内的概内的概率只依率只依赖于子区于子区间的的长度而与子区度而与子区间的位置无关的位置无关.第五十二页，本课件共有87页例：例：设随机变量设随机变量 X 在在2,5上服从均匀分布，现对上服从均匀分
35、布，现对 X 进行三次独立进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于观测，试求至少有两次观测值大于3的概率的概率.X 的分布密度函数为的分布密度函数为令令A表示表示“X 的观测值大于的观测值大于3”,解：解：即即A=X 3.从而有从而有令令Y 表示表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则由于由于 第五十三页，本课件共有87页定义：定义：设连续型随机变量设连续型随机变量 X 具有概率密度，具有概率密度，则称则称 X 服从参数为服从参数为q q(0 0)的的指数分布指数分布.指数分布指数分布相相应的分布函数的分布函数为其中其中a=1/q q 第五十四页，本课件共有87
36、页 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命例如无线电元件的寿命 ,电力设备的寿命电力设备的寿命,动物的寿命等都服从指数分布动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景应用与背景应用与背景应用与背景指数分布的重要性质指数分布的重要性质 :“无记忆性无记忆性”.对任意的正数对任意的正数s,t，考虑条件概率，考虑条件概率如果将如果将 X 看作某类动物的寿命，则上式可解释为某动物已活到看作某类动物的寿命，则上式可解释为某动物已活到s岁岁（即（即X s），则它再活，则它再活 t 年以上的概率与已经活过的岁数无关年以上的概率与已经活过的岁数无关所以指数分布又称为所
37、以指数分布又称为“永远年青永远年青”的分布的分布第五十五页，本课件共有87页定义：设连续型随机变量定义：设连续型随机变量 X 具有概率密度具有概率密度则称则称 X 服从服从正态分布正态分布，记作，记作 .正态分布（正态分布（Normal Distribution）相相应的分布函数的分布函数为（其中（其中 和和 是常数，是常数，）第五十七页，本课件共有87页l曲线关于曲线关于 x=对称对称.l当当 x=时取得最大值时取得最大值l在在 x=处有拐点，以处有拐点，以 x 轴为渐近线轴为渐近线.对于任意的于任意的 ，有，有l x 离离 越越远，f(x)的的值越小越小l同同样长度的区度的区间，当区，当区
38、间离离 越越远，X 落在落在这个区个区间上的概率越小上的概率越小正态分布的分布曲线正态分布的分布曲线第五十八页，本课件共有87页 特特别地，称地，称 为标准正准正态分布分布，其密度函数及分，其密度函数及分布函数常布函数常记作作l固定固定，改变，改变 的值，则的值，则 图形沿图形沿 x 轴平移，不改变其轴平移，不改变其形状形状.l固定固定 ，改变，改变的值，则的值，则 越小，图形越尖，越小，图形越尖，X 落落在在 附近的概率越大附近的概率越大.正态分布的分布曲线正态分布的分布曲线第五十九页，本课件共有87页标准正准正态分布的概率密度表示分布的概率密度表示为标准正准正态分布的分布函数表示分布的分布
39、函数表示为标准正态分布标准正态分布第六十页，本课件共有87页 正正态分布是最常分布是最常见最重要的一种分布，例如最重要的一种分布，例如测量量误差差;人的生人的生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下生理特征尺寸如身高、体重等；正常情况下生产的的产品尺寸：直径、品尺寸：直径、长度、重量高度等都近似服从正度、重量高度等都近似服从正态分布分布.正态分布的应用与背景正态分布的应用与背景 第六十一页，本课件共有87页正态分布的概率计算正态分布的概率计算(1)设设 ，则对任意的实数，则对任意的实数 x，有，有原函数不是初等函数，因此概率不能通过积分算出.锦囊锦囊1：利用标准正态分布表：利用标准正态分布表.解
40、：解：查表查表 例：例：已知已知 ，试求，试求 .第六十二页，本课件共有87页锦囊锦囊2：利用：利用 .查表查表 正态分布的概率计算正态分布的概率计算(2)第六十三页，本课件共有87页设设 ，则对任意的实数，则对任意的实数a、b，有，有锦囊锦囊3：转换为标准正态分布：转换为标准正态分布.若若 ，则对，则对 X 进行进行“标准化标准化”的变换的变换 ，可以证明可以证明 .正态分布的概率计算正态分布的概率计算(3)于是于是 第六十四页，本课件共有87页3s s法则法则若若 ，则结论：尽管正：尽管正态变量的取量的取值范范围是是(,)，但它的，但它的值落落在在(m m3s s,m m3s s)内几乎是
41、肯定的事内几乎是肯定的事这就是人就是人们所所说的的“3s s法法则”.课本课本P.60图图2-16第六十五页，本课件共有87页上上a a 分位点分位点定定义：设 X N(0,1)，若，若 za a 满足条件足条件则称点称点 za a 为标准正准正态分布的分布的上上a a 分位点分位点结论：z1a a =za a 第六十六页，本课件共有87页5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布l 离散型离散型l 连续型型l 定理及其定理及其应用用第六十七页，本课件共有87页引言引言在一些在一些试验中，所关心的随机中，所关心的随机变量往往不能由直接量往往不能由直接测量得到，量得到，而它却是某个能直接而它却
42、是某个能直接测量的随机量的随机变量的函数，例如：量的函数，例如：我我们关心关心圆轴截面的面截面的面积 A，虽然然 A不能直接不能直接测量得到，量得到，但是可以通但是可以通过测量量圆轴截面的直径截面的直径d 计算得到，其中算得到，其中第六十八页，本课件共有87页引言引言 设 X 是一个随机是一个随机变量，再量，再设Y=g(X)是是 X 的函数，的函数，则 Y 也是一个随机也是一个随机变量当量当 X 等于等于 x 时，Y 等于等于g(x)本本节的任的任务是：是：已知随机已知随机变量量 X 的概率分布以及的概率分布以及Y=g(X)，其中，其中g()是已知的是已知的连续函数，函数，试求随机求随机变量量
43、Y 的概率分布的概率分布第六十九页，本课件共有87页一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布 设 X 是离散型随机是离散型随机变量，其分布律量，其分布律为Y=g(X)是是 X 的函数，的函数，则 Y 也是离散型随机也是离散型随机变量它的取量它的取值为其中其中第七十页，本课件共有87页第一种情形第一种情形如果如果 y1,y2,yn,两两不同，即函数两两不同，即函数 g()是是单射，射，则于是随机于是随机变量量Y 的分布律的分布律为或或第二种情形第二种情形如果如果 y1,y2,yn,有相同的有相同的项，则1.把把这些相同的些相同的项合并（看作是一合并（看作是一项）；）；2.把相
44、把相应的概率相加，即可得到随机的概率相加，即可得到随机变量量Y 的分布律的分布律第七十一页，本课件共有87页设随机随机变量量 X 具有以下的分布律具有以下的分布律试求求 Y=(X1)2 的分布律的分布律.解解:Y 有可能取的有可能取的值为 0，1，4.且且 Y=0 对应于于(X1)2=0，解得解得 X=1，所以所以PY=0=PX=1=0.1,例例1：第七十二页，本课件共有87页同理，同理，PY=1=PX=0+PX=2=0.3+0.4=0.7,PY=4=PX=1=0.2,所以，所以，Y=(X1)2 的分布律的分布律为：Y=(X1)2 例例1（续）第七十三页，本课件共有87页设随机随机变量量 X
45、具有具有概率密度：概率密度：试求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：(1)先求先求 Y=2X+8 的分布函数的分布函数 FY(y)：例例2：第七十四页，本课件共有87页例例2（续）(2)对分布函数求分布函数求导，得：，得：第七十五页，本课件共有87页 整理得整理得 Y=2X+8 的概率密度的概率密度为：本例用到本例用到变限的定限的定积分的求分的求导公式公式例例2（续）第七十六页，本课件共有87页二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布 设 X 是一个是一个连续型随机型随机变量，其概率密度量，其概率密度为 fX(x)，再，再设 Y=g(X)是是 X 的函数假定的函
46、数假定 Y 也是一个也是一个连续型随机型随机变量，求量，求 Y=g(X)的概率密度的概率密度 fY(y)解解题思路：思路：先求出先求出 Y=g(X)的分布函数的分布函数 FY(y)：再利用概率密度与分布函数之再利用概率密度与分布函数之间的关系求出的关系求出 Y=g(X)的密的密度函数度函数 fY(y)：第七十七页，本课件共有87页设随机随机变量量 X 具有具有概率密度概率密度求求 Y=X 2 的概率密度的概率密度.解：解：(1)先求先求 Y=X 2 的分布函数的分布函数 FY(y)：例例3：10 由于由于 Y=X2 0，故当，故当 y 0 时，FY(y)=0.20 当当 y 0 时，第七十八页
47、，本课件共有87页例例3（续）(2)对分布函数求分布函数求导，得：，得：第七十九页，本课件共有87页例如：例如：设 XN(0,1)，其概率密度其概率密度为：则 Y=X 2 的概率密度的概率密度为：这时称称 Y 服从自由度服从自由度为1的的c c2分布分布第八十页，本课件共有87页又又设函数函数 g(x)处处可可导且恒有且恒有（或恒有（或恒有 ）定理定理 设随机随机变量量 X 具有概率密度具有概率密度则 Y=g(X)是是连续型随机型随机变量，量，其概率密度其概率密度为其中其中 h(y)是是 g(x)的反函数的反函数，即，即 （或（或 ）即即第八十一页，本课件共有87页 设随机随机变量量 X 具有
48、概率密度具有概率密度则 Y=g(X)是是连续型随机型随机变量，量，其概率密度其概率密度为其中其中 h(y)是是 g(x)的反函数的反函数，即，即 又又设函数函数 g(x)处处可可导且恒有且恒有 （或恒有（或恒有 ）.若随机若随机变量量 X 的密度函数的密度函数 f(x)在有限区在有限区间a,b以外等于零，以外等于零，只需假只需假设在在a,b上恒有上恒有 （或恒有（或恒有 ），），定理（定理（续）第八十二页，本课件共有87页证明：明：X 的概率密度的概率密度为例例4：设随机随机变量量 X N(m m,s s2)，试证明明X 的的线性函数性函数 Y=aX+b (a0)也服从正也服从正态分布分布，且，且Y=g(X)的反函数的反函数为第八十四页，本课件共有87页由定理的由定理的结论得：得：例例4（续）第八十五页，本课件共有87页且有反函数且有反函数 以及以及例例 5：试求求电压 V 的概率密度的概率密度.解：解：v=g(q q )=A sin q q 在在 恒有恒有 设电压 V=A sin Q Q，其中，其中 A 是一个已知的正常数，相角是一个已知的正常数，相角 Q Q 是是一个随机一个随机变量，且有量，且有第八十六页，本课件共有87页感谢大家观看第八十七页，本课件共有87页