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1、TSINGHUA UNIVERSITY范钦珊教育教学工作室 FAN Qin-Shan FAN Qin-Shan s Education&Teaching Studios Education&Teaching Studio 范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室范钦珊教育与教学工作室Thursday,March2,2023Thursday,March2,2023工程力学工程力学(静力学与材料力学静力学与材料力学）清华大学清华大学清华大学清华大学 范钦珊范钦珊范钦珊范钦珊课堂教学软件课堂教学软件课堂教学软件课堂教学软件(4)(4)返回总目录返回总目录TSINGHUA U
2、NIVERSITY第第8章章弯曲刚度弯曲刚度工程力学工程力学（静力学与材料力学）（静力学与材料力学）第二篇第二篇材料力学材料力学返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY 上上上上一一一一章章章章的的的的分分分分析析析析结结果果果果表表表表明明明明，在在在在平平平平面面面面弯弯弯弯曲曲曲曲的的的的情情情情形形形形下下下下，梁梁梁梁的的的的轴轴线线将将将将弯弯弯弯曲曲曲曲成成成成平平平平面面面面曲曲曲曲线线。如如如如果果果果变变形形形形太太太太大大大大，也也也也会会会会影影影影响响响响构构构构件件件件正正正正常常常常工工工工作作作作。因因因因此此此此，对对机机机机器器器器中中中中
3、的的的的零零零零件件件件或或或或部部部部件件件件以以以以及及及及土土土土木木木木工工工工程程程程中中中中的的的的结结构构构构构构构构件件件件进进行行行行设设计计时时，除除除除了了了了满满足足足足强强度度度度要要要要求求求求外外外外，还还必必必必须须满满足足足足一一一一定定定定的的的的刚刚度度度度要要要要求求求求，即即即即将将将将其其其其变变形形形形限限限限制制制制在在在在一一一一定定定定的的的的范范范范围围内内内内。为为此此此此，必必必必须须分析和分析和分析和分析和计计算梁的算梁的算梁的算梁的变变形。形。形。形。另另另另一一一一方方方方面面面面，某某某某些些些些机机机机械械械械零零零零件件件件
4、或或或或部部部部件件件件，则则要要要要求求求求有有有有较较大大大大的的的的变变形形形形，以以以以减减减减少少少少机机机机械械械械运运运运转转时时所所所所产产生生生生的的的的振振振振动动。汽汽汽汽车车中中中中的的的的钣钣簧簧簧簧即即即即为为一例。一例。一例。一例。这这种情形下也需要研究种情形下也需要研究种情形下也需要研究种情形下也需要研究变变形。形。形。形。此此此此外外外外，求求求求解解解解静静静静不不不不定定定定梁梁梁梁，也也也也必必必必须须考考考考虑虑梁梁梁梁的的的的变变形形形形以以以以建建建建立立立立补补充充充充方程。方程。方程。方程。第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚
5、度 TSINGHUA UNIVERSITY 本本本本章章章章将将将将在在在在上上上上一一一一章章章章得得得得到到到到的的的的曲曲曲曲率率率率公公公公式式式式的的的的基基基基础础上上上上，建建建建立立立立梁梁梁梁的的的的挠挠度度度度曲曲曲曲线线微微微微分分分分方方方方程程程程；进进而而而而利利利利用用用用微微微微分分分分方方方方程程程程的的的的积积分分分分以以以以及及及及相相相相应应的的的的边边界界界界条条条条件件件件确确确确定定定定挠挠度度度度曲曲曲曲线线方方方方程程程程。在在在在此此此此基基基基础础上上上上，介介介介绍绍工工工工程程程程上上上上常常常常用用用用的的的的计计算算算算梁梁梁梁变变
6、形形形形的的的的叠叠叠叠加加加加法法法法。此此此此外外外外，还还将将将将讨讨论论简简单单的的的的静静静静不不不不定定定定梁的求解梁的求解梁的求解梁的求解问题问题。第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 简单的静不定梁简单的静不定梁简单的静不定梁简单的静不定梁 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 弯曲刚度计算弯曲刚度计算弯曲刚度计算弯曲刚度计算 梁的小挠度微分方程
7、及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 返回返回TSINGHUA UNIVERSITY 梁的曲率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移 挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 梁的变形与梁的位移梁
8、的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 在在平平面面弯弯曲曲的的情情形形下下，梁梁上上的的任任意意微微段段的的两两横横截截面面绕绕中中性性轴轴相相互互转转过过一一角角度度，从从而而使使梁梁的的轴轴线线弯弯曲曲成成平平面面曲曲线线，这一曲线称为梁的这一曲线称为梁的挠度曲线挠度曲线（deflectioncurve）。）。梁的曲率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚
9、度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 根根据据上上一一章章所所得得到到的的结结果果，弹弹性性范范围围内内的的挠挠度度曲曲线线在在一一点点的的曲曲率率与与这这一一点点处处横横截截面面上上的的弯弯矩矩、弯弯曲曲刚刚度度之之间间存存在在下下列列关系：关系：梁的曲率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移梁的曲率与位移 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 梁梁梁梁在在在在弯弯弯弯曲曲曲曲变变变变形形形形后后后后，横横横横截截截截面面面面的的的的位位位位
10、置置置置将将将将发发发发生生生生改改改改变变变变，这这这这种种种种位位位位置置置置的的的的改改改改变称为变称为变称为变称为位移位移位移位移(displacement)(displacement)。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：。梁的位移包括三部分：横横截截面面形形心心处处的的铅铅垂垂位位移移，称称为为挠挠度度（deflection），用用w表示；表示；变变形形后后的的横横截截面面相相对对于于变变形形前前位位置置绕绕中中性性轴轴转转过过的的角角度度，称称为转角（为转角（slope），用），用 表示；表示；挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关
11、系挠度与转角的相互关系 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 横截面形心沿水平方向的位移，称为轴轴向向位位移移或水水平平位位移移（horizontaldisplacement），用u表示。在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。梁梁在在弯弯曲曲变变形形后后，横横截截面面的的位位置置将将发发生生改改变变，这这种种位位置置的的改改变变称为称为位移位移位移位移(displacement)(displacement)。梁的位移包括三
12、部分：。梁的位移包括三部分：挠度与转角的相互关系挠度与转角的相互关系 梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 在在Oxw坐坐标标系系中中，挠挠度度与与转转角角存存在下列关系：在下列关系：在在小小变变形形条条件件下下，挠挠度度曲曲线线较较为为平平 坦坦，即即 很很 小小，因因 而而 上上 式式 中中tan。于是有。于是有w w（x），称为挠度方程（），称为挠度方程（deflectionequation）。）。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的
13、变形与梁的位移 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义梁的位移分析的工程意义 位位位位移移移移分分分分析析析析中中中中所所所所涉涉涉涉及及及及的的的的梁梁梁梁的的的的变变形形形形和和和和位位位位移移移移，都都都都是是是是弹弹性性性性的的的的。尽尽尽尽管管管管变变形形形形和和和和位位位位移移移移都都都都是是是是弹弹性性性性的的的的，但但但但在在在在工工工工程程程程设设计计中中中中，对对于于于于结结构构构构或或或或构构构构件件件件的的的的弹弹性性性性位位位位移移移移都都都都
14、有有有有一一一一定定定定的的的的限限限限制制制制。弹弹性性性性位位位位移移移移过过大大大大，也也也也会会会会使使使使结结构构构构或或或或构构构构件件件件丧丧失失失失正正正正常常常常功功功功能能能能，即即即即发发生生生生刚刚度失效。度失效。度失效。度失效。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 机机械械传传动动机机构构中中的的齿齿轮轮轴轴，当当变变形形过过大大时时(图图中中虚虚线线所所示示)，两两齿齿轮轮的的啮啮合合处处将将产产生生较较大大的的挠挠度度和和转转角角，
15、这这就就会会影影响响两两个个齿齿轮轮之之间间的的啮啮合，以致不能正常工作。合，以致不能正常工作。同同时时，还还会会加加大大齿齿轮轮磨磨损损，同同时时将将在在转转动动的过程中产生很大的噪声。的过程中产生很大的噪声。此此外外，当当轴轴的的变变形形很很大大时时，轴轴在在支支承承处处也也将将产产生生较较大大的的转转角角，从从而而使使轴轴和和轴轴承承的的磨磨损损大大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。大增加，降低轴和轴承的使用寿命。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 在在在
16、在工工工工程程程程设设计计中中中中还还有有有有另另另另外外外外一一一一类类问问题题，所所所所考考考考虑虑的的的的不不不不是是是是限限限限制制制制构构构构件件件件的的的的弹弹性性性性位位位位移移移移，而而而而是是是是希希希希望望望望在在在在构构构构件件件件不不不不发发生生生生强强度度度度失失失失效效效效的的的的前前前前提提提提下下下下，尽尽尽尽量量量量产产生生生生较较大大大大的的的的弹弹性性性性位位位位移移移移。例例例例如如如如，各各各各种种种种车车辆辆中中中中用用用用于于于于减减减减振振振振的的的的钣钣簧簧簧簧，都都都都是是是是采采采采用用用用厚厚厚厚度度度度不不不不大大大大的的的的板板板板条
17、条条条叠叠叠叠合合合合而而而而成成成成，采采采采用用用用这这种种种种结结构构构构，钣钣簧簧簧簧既既既既可可可可以以以以承承承承受受受受很很很很大大大大的的的的力力力力而而而而不不不不发发生生生生破破破破坏坏坏坏，同同同同时时又又又又能能能能承承承承受受受受较较大大大大的的的的弹弹性性性性变变形形形形，吸吸吸吸收收收收车车辆辆受受受受到到到到振振振振动动和和和和冲冲冲冲击击时时产产生生生生的的的的动动能能能能，收收收收到到到到抗振和抗冲抗振和抗冲抗振和抗冲抗振和抗冲击击的效果。的效果。的效果。的效果。梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移梁的变形与梁的位移 第第第第8 8章章章章
18、 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 返回返回TSINGHUA UNIVERSITY 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 小挠度微分方程小挠度微分方程小挠度微分方程小挠度微分方程 小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定小挠度微分方程的积分与积分常数的确定 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚
19、度 TSINGHUA UNIVERSITY 小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY力学中的曲率公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式力学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式数学中的曲率公式 小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度
20、TSINGHUA UNIVERSITY小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下小挠度情形下对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与号与号与号与w w坐标的取向有关。坐标的取向有关。坐标的取向有关。坐标的取向有关。小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的
21、小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY采用向下的采用向下的w坐标系，有坐标系，有 小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯
22、矩方程的方法，写出弯矩方程对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程MM(x x)，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对，代入上式后，分别对x x作不定积分作不定积分作不定积分作不定积分,得到包含积分常数的挠得到包含积分常数的挠得到包含积分常数的挠得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：度方程与转角方程：度方程与转角方程：度方程与转角方程：其中其中其中其中C C、D D为积分常数。为积分常数。为积分常数。为积分常数。小挠度微分方程小挠度微分方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章
23、章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 小挠度微分方程的积分与小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定积分常数的确定 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 积积分分分分法法法法中中中中常常常常数数数数由由由由梁梁梁梁的的的的约约束束束束条条条条件件件件与与与与连连续续条条条条件件件件确确确确定定定定。约约束束束束条条条条件件件件是是是是指指指指约约束束束束对对于于于于挠挠度和度和度和度和转转
24、角的限制：角的限制：角的限制：角的限制：在在在在固固固固定定定定铰铰铰铰支支支支座座座座和和和和辊辊辊辊轴轴轴轴支支支支座座座座处处处处，约约约约束束束束条条条条件件件件为为为为挠挠挠挠度度度度等等等等于于于于零：零：零：零：w w=0;=0;连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布成一条连续光滑曲
25、线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w w1 1=w w2 2，1 1 1 12 2 2 2等等。等等。等等。等等。在在在在固固固固定定定定端端端端处处处处，约约约约束束束束条条条条件件件件为为为为挠挠挠挠度度度度和和和和转转转转角角角角都都都都等等等等于于于于零零零零：w w=0=0，0 0。小挠度微分方程的积分与小挠度微分方程的积分与小挠度微分方程的积分与小挠度微分方程的积分与 积分常数的确定积分常数的确定积分常数的确定积分常数的确定 梁的
26、小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY例例 题题 1 1求：求：求：求：梁的弯曲挠度与转角梁的弯曲挠度与转角方程，以及最大挠度和最大转方程，以及最大挠度和最大转角。角。已知：已知：已知：已知：左端固定、右端自左端固定、右端自由的悬臂梁承受均布载荷。均由的悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为布载荷集度为q，梁的弯曲刚，梁的弯曲刚度为度为EI、长度为、长度为l。q、EI、l均已知。均已知。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁
27、的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：1 1建立建立建立建立OxwOxw坐坐坐坐标标系系系系 建立建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即无需分段。无需分段。22建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程O Ox xw w 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其
28、积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 从坐标为从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束的任意截面处截开，因为固定端有两个约束力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：解：解：解：解：2 2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程xMM(x x)F FQQ(x x)梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的
29、小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY3 3 建立微分方程并建立微分方程并建立微分方程并建立微分方程并积积分分分分O Ox xw w 解：解：解：解：2 2建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程建立梁的弯矩方程将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY3 3 建立微分方程并
30、建立微分方程并建立微分方程并建立微分方程并积积分分分分O Ox xw w积分后，得到积分后，得到 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：4 4 利用利用利用利用约约束条件确定束条件确定束条件确定束条件确定积积分常数分常数分常数分常数固定端处的约束条件为：固定端处的约束条件为：梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚
31、度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：5 5 确定确定确定确定挠挠度与度与度与度与转转角方程角方程角方程角方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：6 6 确定最大确定最大挠挠度与最大度与最大转转角角 从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和转角均为最大值。于是，将 x=l，分别代入挠度方程与转角方程，得到：梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积
32、分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY例例例例 题题题题 2 2 2 2求：求：求：求：加力点加力点B的挠度和的挠度和支承支承A、C处的转角。处的转角。已知：已知：已知：已知：简支梁受力如简支梁受力如图所示。图所示。FP、EI、l均为已均为已知。知。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：1 1 确定梁确定梁确定梁确定梁约约束力束力
33、束力束力因为因为B处作用有集中力处作用有集中力FP，所以需要分为，所以需要分为AB和和BC两段两段建立弯矩方程。建立弯矩方程。首先，应用静力学方法求得首先，应用静力学方法求得梁在支承梁在支承A、C二处的约束力分别二处的约束力分别如图中所示。如图中所示。22 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程 在图示坐标系中，为确定梁在在图示坐标系中，为确定梁在0l/4范围内各截面上的范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端弯矩，只需要考虑左端A处的约束力处的约束力3FP/4；而确定梁在；而确定梁在l/4l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端范围内各截面上的弯矩，则需要
34、考虑左端A处的约束力处的约束力3FP/4和荷载和荷载FP。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITYABAB段段段段 解：解：解：解：2 2 分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程分段建立梁的弯矩方程BCBC段段段段 于是，于是，AB和和BC两段的弯矩方程分别为两段的弯矩方程分别为 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲
35、刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：3 3 将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小挠挠度微分方程并分度微分方程并分度微分方程并分度微分方程并分别积别积分分分分 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：3 3 将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小将弯矩表达式代入小挠挠度微分方程并分度微分方程并分度微分方程并分度微分方程并分
36、别积别积分分分分 积分后，得积分后，得其中，其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与段与BC段梁交界处的连续条件确定。段梁交界处的连续条件确定。梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：4 4 利用利用利用利用约约束条件和束条件和束条件和束条件和连续连续条条条条件确定件确定件确定件确定积积分常数分常数分常数分常数 在支座在支座A、C两处挠度应为零，即两处挠度应为
37、零，即x0，w10;xl，w20因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即xl/4，w1w2;xl/4，1 1=2 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：4 4 利用利用利用利用约约束条件和束条件和束条件和束条件和连续连续条条条条件确定件确定件确定件确定积积分常数分常数分常数分常数 x
38、0，w10;xl，w20 xl/4，w1w2;xl/4，1=2D1D2=0 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：5 5 确定确定确定确定转转角方程和角方程和角方程和角方程和挠挠度方度方度方度方程以及指定横截面的程以及指定横截面的程以及指定横截面的程以及指定横截面的挠挠度与度与度与度与转转角角角角 将所得的积分常数代入后将所得的积分常数代入后,得得到梁的转角和挠度方程为：到梁的转角和挠度方程为：ABAB段段段段 BC
39、BC段段段段 据此，可以算得加力点据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处处的挠度和支承处A和和C的转角的转角分别为分别为 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 确定约束力确定约束力,判断是否需要分段以及分几段判断是否需要分段以及分几段 分段建立挠度微分方程分段建立挠度微分方程 微分方程的积分微分方程的积分 利用约束条件和连续条件确定积分常数利用约束条件和连续条件确定积分常数 确定确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度挠度与转角方程以
40、及指定截面的挠度 与转角与转角积分法小结积分法小结 分段写出弯矩方程分段写出弯矩方程 梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分梁的小挠度微分方程及其积分 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 返回返回TSINGHUA UNIVERSITY 在在在在很很很很多多多多工工工工程程程程计计计计算算算算手手手手册册册册中中中中，已已已已将将将将各各各各种种种种支支支支承承承承条条条条件件件件下下下下
41、的的的的静静静静定定定定梁梁梁梁，在在在在各各各各种种种种典典典典型型型型载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用下下下下的的的的挠挠挠挠度度度度和和和和转转转转角角角角表表表表达达达达式式式式一一一一一一一一列列列列出出出出，简简简简称称称称为挠度表。为挠度表。为挠度表。为挠度表。基基基基于于于于杆杆杆杆件件件件变变形形形形后后后后其其其其轴轴线线为为一一一一光光光光滑滑滑滑连连续续曲曲曲曲线线和和和和位位位位移移移移是是是是杆杆杆杆件件件件变变形形形形累累累累加加加加的的的的结结果果果果这这两两两两个个个个重重重重要要要要概概概概念念念念，以以以以及及及及在在在在小小小小变变形形形形条条条条件件件
42、件下下下下的的的的力力力力的的的的独独独独立立立立作作作作用用用用原原原原理理理理，采采采采用用用用叠叠叠叠加加加加法法法法（superpositionsuperpositionmethodmethod）由由由由现现有的有的有的有的挠挠度表可以得到在很多复度表可以得到在很多复度表可以得到在很多复度表可以得到在很多复杂杂情形下梁的位移。情形下梁的位移。情形下梁的位移。情形下梁的位移。第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情
43、形 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSIT
44、Y 当当当当梁梁梁梁上上上上受受受受有有有有几几几几种种种种不不不不同同同同的的的的载载荷荷荷荷作作作作用用用用时时，都都都都可可可可以以以以将将将将其其其其分分分分解解解解为为各各各各种种种种载载荷荷荷荷单单独独独独作作作作用用用用的的的的情情情情形形形形，由由由由挠挠度度度度表表表表查查得得得得这这些些些些情情情情形形形形下下下下的的的的挠挠度度度度和和和和转转角角角角，再再再再将将将将所所所所得得得得结结果果果果叠叠叠叠加加加加后后后后，便得到几种便得到几种便得到几种便得到几种载载荷同荷同荷同荷同时时作用的作用的作用的作用的结结果。果。果。果。叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多
45、个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形叠加法应用于多个载荷作用的情形 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 已知已知已知已知：简支梁简支梁受力如图所示，受力如图所示，q、l、EI均为已知。均为已知。求求求求：C截面的截面的挠度挠度wC；B截面的截面的转角转角 B。例例 题题 3 3 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲
46、刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：1.将梁上的载荷变将梁上的载荷变为三种简单的情形。为三种简单的情形。叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：2.由挠度表查得由挠度表查得三三种情形种情形下下C截面的挠度和截面的挠度和B截面的转角截面的转角。叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSIN
47、GHUA UNIVERSITY解：解：解：解：3.应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加作用时的结果分别叠加 将上述结果按代数值相加，将上述结果按代数值相加，分别得到梁分别得到梁C截面的挠度和支座截面的挠度和支座B处的转角处的转角:叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 叠加法应用于间断性叠加法应用于间断性 分布载荷作用的情形分布载荷作用的情形 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转
48、角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY对对于于于于间间断性分布断性分布断性分布断性分布载载荷作用的情形，根据受力与荷作用的情形，根据受力与荷作用的情形，根据受力与荷作用的情形，根据受力与约约束等效的要求，可以将束等效的要求，可以将束等效的要求，可以将束等效的要求，可以将间间断性分布断性分布断性分布断性分布载载荷，荷，荷，荷，变为变为梁全梁全梁全梁全长长上上上上连续连续分布分布分布分布载载荷，然后在原来没有分布荷，然后在原来没有分布荷，然后在原来没有分布荷，然后在原来没有分布载载荷的梁段上，荷的梁段上，荷的梁段
49、上，荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布加上集度相同但方向相反的分布加上集度相同但方向相反的分布加上集度相同但方向相反的分布载载荷，最后荷，最后荷，最后荷，最后应应用叠加用叠加用叠加用叠加法。法。法。法。叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY 已知已知已知已知：悬臂梁悬臂梁受力如图所示，受力如
50、图所示，q、l、EI均为已知。均为已知。求求求求：C截面的截面的挠度挠度wC和和转角转角 C。例例例例 题题题题 4 4 叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角叠加法确定梁的挠度与转角 第第第第8 8章章章章 弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度弯曲刚度 TSINGHUA UNIVERSITY解：解：解：解：1.首先，将梁上的载荷首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形变成有表可查的情形 为了利用挠度表中关于梁为了利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端计算自由端C处的挠度和转角，处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，先将均布