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1、一、高斯消去法一、高斯消去法 第五章第五章 解线性方程组的直接法解线性方程组的直接法 2 2 高斯消去法高斯消去法 二、矩阵的三角分解二、矩阵的三角分解三、高斯消去法的计算量三、高斯消去法的计算量 四、高斯四、高斯约当消去法约当消去法 一、高斯消去法一、高斯消去法1.高斯消去法的基本思想高斯消去法的基本思想举例举例用消去法解方程组用消去法解方程组（求解过程详见书，请同学们自学）（求解过程详见书，请同学们自学）基基本本思思想想：用用逐逐次次消消去去未未知知数数的的方方法法把把原原来来方方程程组组AX=b化化为为与与其其等等价价的的三三角角形形方方程程组组，而而求求解解三三角角形形方方程程组组就就
2、容容易易了！了！2.高斯消去法的一般过程高斯消去法的一般过程记记 Ax=b 为为 A(1)x=b(1)，(1)消元过程消元过程第一次第一次消元消元(记记 为为 A(2)x=b(2)第第n-1次消元次消元(记记 为为 A(n)x=b(n)(2)回代过程回代过程高斯消去法的特点：消元和回代不同步！高斯消去法的特点：消元和回代不同步！3.使用高斯消去法的条件使用高斯消去法的条件使用高斯消去法要求在每步消元时使用高斯消去法要求在每步消元时 ，那么矩阵那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？满足什么，才能保证这一条件呢？引理：引理：约化的主元素约化的主元素 (i=1,2,n)的充的充要条件是矩阵要条件是
3、矩阵A的顺序主子式的顺序主子式 推论：推论：如果如果A的顺序主子式不等于的顺序主子式不等于0，则，则(k=2,3,n)定理：定理：如果如果 n 阶矩阵阶矩阵A的所有顺序主子式均的所有顺序主子式均不为零，则可通过高斯消去法（不进行交不为零，则可通过高斯消去法（不进行交换两行的初等变换），将方程组约化为三换两行的初等变换），将方程组约化为三角形方程组。角形方程组。定定理理：如如果果A为为 n 阶阶非非奇奇异异矩矩阵阵，则则可可通通过过高高斯斯消消去去法法（及及交交换换两两行行的的初初等等变变换换）将将方方程程组组 Ax=b 化为三角形方程组。化为三角形方程组。二、矩阵的三角分解二、矩阵的三角分解由
4、矩阵理论可知，对系数矩阵由矩阵理论可知，对系数矩阵 A 实施行的初实施行的初等变换相当于用初等矩阵左乘等变换相当于用初等矩阵左乘 A，即，即等价于等价于其中其中行初等变换行初等变换 行初等变换行初等变换 初等初等 矩阵矩阵 例例*(-2)+则则其中其中*(-2)+考察高斯消去法过程考察高斯消去法过程：等价于等价于其中其中第一次消元第一次消元消元时的消元时的系数系数而且而且重复这一过程，共进行重复这一过程，共进行 次消元，得次消元，得1将上三角矩阵将上三角矩阵 A(n)记为记为 U，则有，则有其中其中Gauss消消去法将去法将A分解为分解为两个三两个三角矩阵角矩阵相乘相乘定理定理:(矩阵的矩阵的
5、LU分解分解)设设 A 为为 n 阶矩阵，如果阶矩阵，如果 A 的顺序主子式的顺序主子式(i=1,2,n-1)，则则 A 可分解为一个单位下可分解为一个单位下三角矩阵三角矩阵 L 和一个上三角矩阵和一个上三角矩阵 U 的乘积，且的乘积，且这种分解是唯一的。这种分解是唯一的。注：注：若若A 实现了实现了LU分解，则分解，则 Ax=b(LU)x=bLy=bUx=y求解两个三角形求解两个三角形方程组方程组!举例：举例：用系数矩阵的用系数矩阵的LU分解求下列方程组分解求下列方程组解：解：系数矩阵为系数矩阵为由高斯消去法，由高斯消去法，m21=0，m31=2m32=1，故，故则求解原方程组可转化为如下两
6、个三角形方则求解原方程组可转化为如下两个三角形方程组：程组：三、高斯消去法的计算量三、高斯消去法的计算量定理：定理：如果如果 A 为为 n 阶非奇异矩阵，则用高斯阶非奇异矩阵，则用高斯消去法解消去法解 Ax=b 所需的乘除法次数及加减法所需的乘除法次数及加减法次数分别为次数分别为例例如如：n=10时时，高高斯斯消消去去法法需需要要430次次乘乘除除法，而法，而Cramer法则却需要法则却需要39916800次乘法。次乘法。四、高斯四、高斯约当消去法约当消去法(Gauss-Jordan)高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的元素，而高斯元素，而高斯约当消去法
7、则同时消去对约当消去法则同时消去对角线上方和下方的元素。角线上方和下方的元素。第一次第一次消元消元(与高斯消去法不相同与高斯消去法不相同)第二次第二次消元消元故方程组的解为故方程组的解为高斯高斯约当消去法的特点：约当消去法的特点：(1)消元和回代同时进行；消元和回代同时进行；(2)乘乘除除法法的的次次数数要要比比高高斯斯消消去去法法大大，所所以以通通常常用用于于同同时时求求解解系系数数矩矩阵阵相相同同的的多多个个方方程程组或求逆矩阵。组或求逆矩阵。高斯高斯-约当消去法的应用约当消去法的应用1.同时求解系数矩阵相同的多个方程组同时求解系数矩阵相同的多个方程组例例 用高斯用高斯-约当消去法求解两个
8、方程约当消去法求解两个方程组组 AX=b1 和和AX=b2，其中，其中解解 增广矩阵为增广矩阵为1/3 消元消元 3/4消元消元 于是求得方程组于是求得方程组Ax=b1的解的解方程组方程组AX=b2的解的解基本原理：基本原理：设有系数矩阵都为设有系数矩阵都为A的的m个方程组个方程组将将b1,b2,bs依依次次排排在在A的的第第n+1,n+2,n+m列列，作作一一个个n行行n+m列列的的增增广广矩矩阵阵，那那么么可可用用高高斯斯-约约当当消消去法的同时求解去法的同时求解m个方程组个方程组.2.求解矩阵的逆求解矩阵的逆基本原理：基本原理：设设A为为n阶阶非非奇奇异异矩矩阵阵，I为为单单位位矩矩阵阵
9、。由由线线性性代代数数的的知知识识，若若对对n2n矩矩阵阵A,I作作初初等等行行变变换换，把把A化化为为I，则原先的，则原先的I就化成了就化成了A-1。所以在计算机上用高斯所以在计算机上用高斯-约当消去法计约当消去法计算即可。即算即可。即由关系式由关系式 AA-1=I得得其中其中x(s)为为A-1的第的第s列，列，es为为I的第的第s列列(s=1,2,n)。在在计计算算机机上上用用高高斯斯-约约当当消消去去法法求求A-1就就相相当当于于同同时时求求解解n个个线线性性方方程程组。组。例例 用高斯用高斯-约当消去法求矩阵约当消去法求矩阵A的的逆矩阵，其中逆矩阵，其中解解 用高斯用高斯-约当消去法得约当消去法得消元消元消元消元消元后单位化消元后单位化就是就是A-1作业：作业：习题习题 1,2,7 1,2,7