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1、9.1简谐振动的动力学特征 一一.基本概念基本概念1.1.1.1.平衡位置平衡位置平衡位置平衡位置质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，该位置即为平衡位置。该位置即为平衡位置。该位置即为平衡位置。该位置即为平衡位置。2.2.2.2.线性回复力线性回复力线性回复力线性回复力若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位移若作用于质点的力与质点相对于平衡位置的位
2、移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称作线性回复力。此作用力称作线性回复力。此作用力称作线性回复力。此作用力称作线性回复力。公式：公式：公式：公式：是相对于平衡位置的位移。是相对于平衡位置的位移。是相对于平衡位置的位移。是相对于平衡位置的位移。3.3.简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动
3、。力力学学新乡学院物理系新乡学院物理系1二、简谐振动的几个例子二、简谐振动的几个例子二、简谐振动的几个例子二、简谐振动的几个例子1.1.弹簧振子弹簧振子弹簧振子弹簧振子 如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点如图示：弹簧自由伸展时，滑块的位置为原点（即平衡位置），（即平衡位置），（即平衡位置），（即平衡位置），x x 表示位移：表示位移：表示位移：表示位移：由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：令令令令 ，可得到如下二阶常系数齐次线性方程：，可得到如下二阶常系数齐次线性方程：，可得到如下
4、二阶常系数齐次线性方程：，可得到如下二阶常系数齐次线性方程：（1 1 1 1）2总结：总结：总结：总结：如质点运动的动力学方程可归结为：如质点运动的动力学方程可归结为：如质点运动的动力学方程可归结为：如质点运动的动力学方程可归结为：的形式，且其中的形式，且其中的形式，且其中的形式，且其中 决决决决定于振动系统本身的性质。定于振动系统本身的性质。定于振动系统本身的性质。定于振动系统本身的性质。式的形式就是简谐振动的动力学方程式。式的形式就是简谐振动的动力学方程式。式的形式就是简谐振动的动力学方程式。式的形式就是简谐振动的动力学方程式。（1 1 1 1）弹簧振子作简谐振动的动力学方程。弹簧振子作简
5、谐振动的动力学方程。弹簧振子作简谐振动的动力学方程。弹簧振子作简谐振动的动力学方程。32.2.2.2.单摆单摆单摆单摆 建立自然坐标系：建立自然坐标系：建立自然坐标系：建立自然坐标系：若若若若 很小，则近似：很小，则近似：很小，则近似：很小，则近似：,则：则：则：则：因此，因此，因此，因此，（2 2 2 2）上式即为上式即为上式即为上式即为单摆简谐振动的动力学方程单摆简谐振动的动力学方程单摆简谐振动的动力学方程单摆简谐振动的动力学方程43.3.3.3.复摆（物理摆）复摆（物理摆）复摆（物理摆）复摆（物理摆）任何物体悬挂后所做的摆动叫任何物体悬挂后所做的摆动叫任何物体悬挂后所做的摆动叫任何物体悬
6、挂后所做的摆动叫复摆复摆复摆复摆。如图示：。如图示：。如图示：。如图示：一刚体悬挂于一刚体悬挂于一刚体悬挂于一刚体悬挂于O O 点，刚体的质心点，刚体的质心点，刚体的质心点，刚体的质心C C 距刚体的悬挂点距刚体的悬挂点距刚体的悬挂点距刚体的悬挂点O O之间的距离是之间的距离是之间的距离是之间的距离是a a。选。选。选。选 角增加的方向为正方向，即：角增加的方向为正方向，即：角增加的方向为正方向，即：角增加的方向为正方向，即：z z 轴垂轴垂轴垂轴垂直纸面向外，直纸面向外，直纸面向外，直纸面向外，很小时：很小时：很小时：很小时：，故：，故：，故：，故：因此，因此，因此，因此，54.4.4.4.
7、L L L L-C C C C振荡回路（详见振荡回路（详见振荡回路（详见振荡回路（详见电磁学电磁学电磁学电磁学）总结：总结：总结：总结：任任任任何何何何物物物物理理理理量量量量 （例例例例：长长长长度度度度，角角角角度度度度，电电电电量量量量等等等等）的的的的变变变变化化化化规规规规律律律律满满满满足足足足方方方方程程程程式式式式，且且且且常常常常量量量量 决决决决定定定定于于于于系系系系统统统统本本本本身身身身的的的的性性性性质质质质，则则则则该物理量作简谐振动。该物理量作简谐振动。该物理量作简谐振动。该物理量作简谐振动。判断：判断：判断：判断：是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式
8、是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式是否简谐振动，看是否满足简谐振动的动力学方程式。69.2简谐振动的运动学 一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程方程的解为：方程的解为：方程的解为：方程的解为：（1 1 1 1）上式就是上式就是上式就是上式就是简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程，该式又是周期函数，该式又是周期函数，该式又是周期函数，该式又是周期函数，故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。故简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。故简谐振动是围绕平衡位置的
9、周期运动。7二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量1.1.周期（周期（周期（周期（T T）完成一次全振动所用的时间：完成一次全振动所用的时间：完成一次全振动所用的时间：完成一次全振动所用的时间：对弹簧振子：对弹簧振子：对弹簧振子：对弹簧振子：2.2.频率（频率（频率（频率（）单位时间内完成的全振动的次数：单位时间内完成的全振动的次数：单位时间内完成的全振动的次数：单位时间内完成的全振动的次数：的含义：的含义：的含义：的含义：个单位时间内完成的全振动的次数，即个单位时间内完成的全振动的次数，即个单位时间内完成的全振动的次数，即个单位时间内
10、完成的全振动的次数，即圆频率圆频率圆频率圆频率。83.3.振幅振幅振幅振幅定义定义定义定义：物体离开平衡位置的最大位移。物体离开平衡位置的最大位移。物体离开平衡位置的最大位移。物体离开平衡位置的最大位移。振幅可以由初始条件决定。如：振幅可以由初始条件决定。如：振幅可以由初始条件决定。如：振幅可以由初始条件决定。如：t t=0=0时刻，时刻，时刻，时刻，由由由由式可得：式可得：式可得：式可得：因此，因此，因此，因此，（2 2 2 2）94.4.位相和初位相位相和初位相位相和初位相位相和初位相振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅
11、知振幅频率还不够，振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，振动系统的状态指：任意瞬时的位移和速度。但仅知振幅频率还不够，还须知道还须知道还须知道还须知道 才能完全决定系统的运动状态。才能完全决定系统的运动状态。才能完全决定系统的运动状态。才能完全决定系统的运动状态。叫简谐振动的相位。叫简谐振动的相位。叫简谐振动的相位。叫简谐振动的相位。当当当当 时，时，时，时，叫叫叫叫初相位初相位初相位初相位。由：由：由：由：可得：可得：可得：可得：（3 3 3 3）10若已知初始条件：若已知初始条件：若已知初始条件：若已知初始条件：t t=0=0时，时，时，时，则，则，则，则式有：式有
12、：式有：式有：、式中的任意二个即可确定初位相。式中的任意二个即可确定初位相。式中的任意二个即可确定初位相。式中的任意二个即可确定初位相。（4 4 4 4）（5 5 5 5）11相位差：相位差：相位差：相位差：两振动相位之差两振动相位之差两振动相位之差两振动相位之差 。讨论：讨论：讨论：讨论：（1 1 1 1）若）若）若）若 是是是是 的整数倍，则振动同相位；的整数倍，则振动同相位；的整数倍，则振动同相位；的整数倍，则振动同相位；（2 2 2 2）若）若）若）若 是是是是 的奇数倍，则振动相位相反；的奇数倍，则振动相位相反；的奇数倍，则振动相位相反；的奇数倍，则振动相位相反；（3 3 3 3）若
13、）若）若）若 ，则称，则称，则称，则称超前超前超前超前；（4 4 4 4）若）若）若）若 ，则称，则称，则称，则称落后落后落后落后；相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。相位差的不同，表明二振动有不同程度的参差错落，振动步调不同。12例例例例1 1一弹簧振子，一弹簧振子，一弹簧振子，一弹簧振子，t t0 0时，时，时，时，求振动的初位相。求振动的初位相。求振动的初位相。求振动的初位相。解：解：解：解：因此，因此，因此，因此，在第一象限，在第一象限，在第一
14、象限，在第一象限，13例例例例2 2讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。讨论振动的位移，速度和加速度之间的关系。解：解：解：解：设：设：设：设：则，则，则，则，所以：速度的位相比位移的位相超前；所以：速度的位相比位移的位相超前；所以：速度的位相比位移的位相超前；所以：速度的位相比位移的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比速度的位相超前；加速度的位相比位移的位相超前。加速度的位相比位移的位相超前。加速度的位相比位移的位相超前。加速度的位
15、相比位移的位相超前。理解：理解：理解：理解：加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移加速度对时间的积累才获得速度，速度对时间的积累获得位移。14总结：总结：总结：总结：简谐振动是周期性运动；简谐振动是周期性运动；简谐振动是周期性运动；简谐振动是周期性运动；简谐振动各瞬时的运动状态由振幅简谐振动各瞬时的运动状态由振幅简谐振动各瞬时的运动状态由振幅简谐振动各瞬时的运动状态由振幅A A、频率及初相位决定，或频率及初相位决定，或频率及初相位决定，或频率及初相位决定，或者说，由振幅和
16、相位决定。者说，由振幅和相位决定。者说，由振幅和相位决定。者说，由振幅和相位决定。简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。三、三、三、三、简谐振动的图象：简谐振动的图象：简谐振动的图象：简谐振动的图象：x-tx-t 图线图线
17、图线图线 描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲。中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲。中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲。中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲。15四、四、四、四、简谐振动的矢量表示法简谐振动的矢量表示法简谐振动的矢量表示法简谐振动的矢量表示法 用旋转矢量的投影表示简谐振动。用旋转矢量的投影表示简谐振动。用旋转矢量的投影表示简谐振动。用旋转矢量的投影表示简谐振动。如图示：如图示：
18、如图示：如图示：为一长度不变的矢量，为一长度不变的矢量，为一长度不变的矢量，为一长度不变的矢量，的始点在坐标轴的原点处，记时起点的始点在坐标轴的原点处，记时起点的始点在坐标轴的原点处，记时起点的始点在坐标轴的原点处，记时起点t t t t=0=0=0=0时，矢量时，矢量时，矢量时，矢量 与坐标轴的夹角为与坐标轴的夹角为与坐标轴的夹角为与坐标轴的夹角为 ，矢量，矢量，矢量，矢量 以角速度以角速度以角速度以角速度 逆时针匀速转逆时针匀速转逆时针匀速转逆时针匀速转动。动。动。动。16由此可见：由此可见：由此可见：由此可见：匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方匀速旋转矢量在坐标
19、轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方匀速旋转矢量在坐标轴上的投影即表示一特定的简谐振动的运动学方程。程。程。程。矢端的速度大小为矢端的速度大小为矢端的速度大小为矢端的速度大小为 ，在，在，在，在x x 轴上的投影为：轴上的投影为：轴上的投影为：轴上的投影为：矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为：，在，在，在，在 x x 轴上轴上轴上轴上的投影：的投影：的投影：的投影：17总结：总结：旋转矢量、
20、旋转矢量端点沿圆周运动的速度旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度旋转矢量、旋转矢量端点沿圆周运动的速度和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动和加速度在坐标轴上的投影等于特定的简谐振动的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐的位移、速度和加速度。因此，用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫标轴上的投影描述简谐振动的方法叫标轴上的投影描述简谐振动的方法叫标轴上的投影描述简谐振动的
21、方法叫简谐振动的简谐振动的简谐振动的简谐振动的矢量表示法矢量表示法矢量表示法矢量表示法。18例例例例1 1（1 1）一简谐振动的运动规律为）一简谐振动的运动规律为）一简谐振动的运动规律为）一简谐振动的运动规律为，若计时起，若计时起，若计时起，若计时起点提前点提前点提前点提前0.5s0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？推迟若干？推迟若干？推迟若干？（2 2）一简谐振动的运动学方程为，）一简谐振
22、动的运动学方程为，）一简谐振动的运动学方程为，）一简谐振动的运动学方程为，若计时起点推迟若计时起点推迟若计时起点推迟若计时起点推迟1s1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？（3 3）画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后）画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后）画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后）画出上面两中简谐振动在计时起点改变前后t=0t=0时的旋转矢量的时的旋转矢量的时的旋转矢量的时的旋转矢量的位置。位置
23、。位置。位置。192021229.3简谐振动的能量转换 简谐振动系统的总机械能守恒简谐振动系统的总机械能守恒简谐振动系统的总机械能守恒简谐振动系统的总机械能守恒由弹簧振子系统：由弹簧振子系统：由弹簧振子系统：由弹簧振子系统：因此，因此，因此，因此，故，弹簧振子的总能为：故，弹簧振子的总能为：故，弹簧振子的总能为：故，弹簧振子的总能为：由此可见：由此可见：由此可见：由此可见：动能和势能互相转化动能和势能互相转化动能和势能互相转化动能和势能互相转化。23例若单摆的振幅为例若单摆的振幅为例若单摆的振幅为例若单摆的振幅为，试证明悬线所受的最大拉力等于，试证明悬线所受的最大拉力等于，试证明悬线所受的最大
24、拉力等于，试证明悬线所受的最大拉力等于 24259.4简谐振动的合成 一、同方向同频率简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成一、同方向同频率简谐振动的合成设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：设质点参与同方向同频率的两个简谐振动：合位移：合位移：合位移：合位移：令：令：令：令：26则：则：则：则：因此，因此，因此，因此，（1 1）式表明：式表明：式表明：式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其同方向同频率的两个简谐振
25、动合成后仍为一简谐振动，其同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振动频率相同频率和分振动频率相同频率和分振动频率相同频率和分振动频率相同。或者：或者：或者：或者：由简谐振动的旋转矢量法表示：由简谐振动的旋转矢量法表示：由简谐振动的旋转矢量法表示：由简谐振动的旋转矢量法表示：、以频以频以频以频率旋转，率旋转，率旋转，率旋转，、之间的夹角不变，也以、之间的夹角不变，也以、之间的夹角不变，也以、之间的夹角不变，也以 旋转，平行四边形的形状不变。旋转，平行四边形的形状不变。旋转，平行四边形的形状不变。旋转，平行四边形的形状不变。27讨论：讨论：讨论：讨论：（1 1）若相位差）若相位
26、差）若相位差）若相位差，即同相位，则：，即同相位，则：，即同相位，则：，即同相位，则：，振，振，振，振幅最大；幅最大；幅最大；幅最大；（2 2）若相位差）若相位差）若相位差）若相位差，即反相位，则：，即反相位，则：，即反相位，则：，即反相位，则：，振幅最小；振幅最小；振幅最小；振幅最小；（3 3）一般情况下，振幅）一般情况下，振幅）一般情况下，振幅）一般情况下，振幅 A A 介于介于介于介于 与与与与 之间。之间。之间。之间。同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等
27、的干涉和衍射中很有用。同方向同频率简谐振动的原理，在光波、声波等的干涉和衍射中很有用。28二、同方向不同频率简谐振动的合成二、同方向不同频率简谐振动的合成二、同方向不同频率简谐振动的合成二、同方向不同频率简谐振动的合成若：两振动的周期之比：若：两振动的周期之比：若：两振动的周期之比：若：两振动的周期之比：，n n，m m 有最小公倍数，则：二有最小公倍数，则：二有最小公倍数，则：二有最小公倍数，则：二振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。振动合成后仍有周期，但不是简谐振动，由旋转矢量图可知。振动合成后仍有周期，但不是简谐振动
28、，由旋转矢量图可知。若：周期之比若：周期之比若：周期之比若：周期之比不是整数比（如：无理数之比不是整数比（如：无理数之比不是整数比（如：无理数之比不是整数比（如：无理数之比)，则合振动没有周期，则合振动没有周期，则合振动没有周期，则合振动没有周期性。性。性。性。为了简单方便，设：为了简单方便，设：为了简单方便，设：为了简单方便，设：则：则：则：则：（2 2）29假如：假如：假如：假如：则：则：则：则：的周期远大于的周期远大于的周期远大于的周期远大于 的周期。的周期。的周期。的周期。令：令：令：令：则则则则式就成为：式就成为：式就成为：式就成为：（3 3）30（3 3）式可以看作：振幅按照式可以
29、看作：振幅按照式可以看作：振幅按照式可以看作：振幅按照 缓慢变化的，而圆频率等于缓慢变化的，而圆频率等于缓慢变化的，而圆频率等于缓慢变化的，而圆频率等于 的的的的准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。准简谐振动。即：振幅有周期变化的简谐振动。平均圆频率平均圆频率平均圆频率平均圆频率 令：令：令：令：调制圆频率调制圆频率调制圆频率调制圆频率 式就成为：式就成为：式就成为：式就成为：（3 3）31（3 3）（3 3）式即：）式即：）式即：）式即：合振动为圆频率等于平均圆频率的合振动为圆频率等于平均圆频率的合振动
30、为圆频率等于平均圆频率的合振动为圆频率等于平均圆频率的“简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动”，其振幅，其振幅，其振幅，其振幅作缓慢的周期变化作缓慢的周期变化作缓慢的周期变化作缓慢的周期变化。拍拍拍拍：振振振振动动动动方方方方向向向向相相相相同同同同，频频频频率率率率之之之之和和和和远远远远大大大大于于于于频频频频率率率率之之之之差差差差的的的的两两两两个个个个简简简简谐谐谐谐振振振振动动动动合合合合成成成成时时时时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。合振动振幅周期变化的现象叫拍。合振动振幅周期变化的现象叫拍。合振动振幅周期变化的现象叫拍。合振动变化一个周期叫合振动变化一个周期叫合振动变化一个周期叫合
31、振动变化一个周期叫一拍一拍一拍一拍；单位时间内拍出现的次数叫；单位时间内拍出现的次数叫；单位时间内拍出现的次数叫；单位时间内拍出现的次数叫拍频拍频拍频拍频。不论不论不论不论 达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，达到正的最大或负的最大，对加强振幅来说，都是等效的，因此拍的圆频率为：因此拍的圆频率为：因此拍的圆频率为：因此拍的圆频率为：32因此，因此，因此，因此，拍频为：拍频为：拍频为：拍频为：问题：问题：问题：问题：若二分振动的振幅不同，但初位相若二分振动的振幅不同，但初位相若
32、二分振动的振幅不同，但初位相若二分振动的振幅不同，但初位相 仍都为零，则合振动仍会仍都为零，则合振动仍会仍都为零，则合振动仍会仍都为零，则合振动仍会形成拍吗？形成拍吗？形成拍吗？形成拍吗？注意！注意！注意！注意！拍（合振动振幅周期变化的现象）形成的条件：拍（合振动振幅周期变化的现象）形成的条件：拍（合振动振幅周期变化的现象）形成的条件：拍（合振动振幅周期变化的现象）形成的条件：振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成，都可形成拍！振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成，都可形成拍！振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成，都可形成拍！振动方向相同，频
33、率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成，都可形成拍！33三、互相垂直相同频率简谐振动的合成三、互相垂直相同频率简谐振动的合成三、互相垂直相同频率简谐振动的合成三、互相垂直相同频率简谐振动的合成二分振动方程如下：二分振动方程如下：二分振动方程如下：二分振动方程如下：（4 4）合成的振动表示：质点既沿合成的振动表示：质点既沿合成的振动表示：质点既沿合成的振动表示：质点既沿 x x 轴运动，又沿轴运动，又沿轴运动，又沿轴运动，又沿 y y 轴运动，实际上在轴运动，实际上在轴运动，实际上在轴运动，实际上在 平平平平面上运动。面上运动。面上运动。面上运动。式中消去时间式中消去时间式中消去时间式中消去时间
34、t t，得质点运动的轨迹：，得质点运动的轨迹：，得质点运动的轨迹：，得质点运动的轨迹：（5 5）此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅此为一椭圆的轨迹方程，椭圆的形状大小及长短轴方位由振幅 和和和和 以及初位相差以及初位相差以及初位相差以及初位相差 所决定。所决定。所决定。所决定。34讨论：讨论：讨论：讨论：1.1.分振动相位相同或相反时分振动相位相同或相反时分振动相位相同或相反时分振动相位相同或相反时 相位相同，即：相位相同，即：相位相同，即：相位相同，即：或。或。或。
35、或。则则则则式成为：式成为：式成为：式成为：（6 6）35则则则则式即为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线。合振动任式即为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线。合振动任式即为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线。合振动任式即为：合振动的轨迹为过原点且在一、三象限的直线。合振动任意一点的位移意一点的位移意一点的位移意一点的位移 r r 为：为：为：为：上式表明合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为上式表明合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为上式表明合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为上式表明合振动也是简谐振动，与分振动频率相同，但振幅为 相位相反，
36、即：相位相反，即：相位相反，即：相位相反，即：，k k 为奇数为奇数为奇数为奇数（7 7）则则则则式成为：式成为：式成为：式成为：36则则则则式即为：合振动的轨迹为过原点，且在二、四象限的直线。合振式即为：合振动的轨迹为过原点，且在二、四象限的直线。合振式即为：合振动的轨迹为过原点，且在二、四象限的直线。合振式即为：合振动的轨迹为过原点，且在二、四象限的直线。合振动任一点的位移为：动任一点的位移为：动任一点的位移为：动任一点的位移为：上式表明：合振动也是简谐振动，与分振动频率相同。上式表明：合振动也是简谐振动，与分振动频率相同。上式表明：合振动也是简谐振动，与分振动频率相同。上式表明：合振动也
37、是简谐振动，与分振动频率相同。372.2.相位差为相位差为相位差为相位差为时，时，时，时，则则则则式表明：合振动的轨迹为以式表明：合振动的轨迹为以式表明：合振动的轨迹为以式表明：合振动的轨迹为以 x x 和和和和 y y 轴为轴的椭圆。轴为轴的椭圆。轴为轴的椭圆。轴为轴的椭圆。若若若若，即，即，即，即x x 方向的振动比方向的振动比方向的振动比方向的振动比 y y 方向的振动超前方向的振动超前方向的振动超前方向的振动超前，即：，即：，即：，即：式变为：式变为：式变为：式变为：（8 8）如如如如某某某某一一一一瞬瞬瞬瞬间间间间，则则则则：。经经经经过过过过很很很很短短短短的的的的时时时时间间间间
38、后后后后，略略略略大大大大于于于于0 0，y y 将将将将略略略略小小小小于于于于 为为为为正正正正，而而而而 大大大大于于于于 ，x x 为为为为负负负负，故故故故质质质质点点点点运运运运动动动动到到到到第第第第二二二二象限，即质点沿椭圆逆时针方向运动。象限，即质点沿椭圆逆时针方向运动。象限，即质点沿椭圆逆时针方向运动。象限，即质点沿椭圆逆时针方向运动。383.3.振幅相等，频率相同，相位差为振幅相等，频率相同，相位差为振幅相等，频率相同，相位差为振幅相等，频率相同，相位差为 时时时时合振动的轨迹为一圆周运动：合振动的轨迹为一圆周运动：合振动的轨迹为一圆周运动：合振动的轨迹为一圆周运动：总之
39、：总之：总之：总之：两振动方向垂直、频率相同的简谐振动，合振动的轨迹为直线、两振动方向垂直、频率相同的简谐振动，合振动的轨迹为直线、两振动方向垂直、频率相同的简谐振动，合振动的轨迹为直线、两振动方向垂直、频率相同的简谐振动，合振动的轨迹为直线、圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定圆或椭圆，轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定。39四、互相垂直、不同频率简谐振动的合成四、互相垂直、不同频率简谐振动的合成四、互相垂直、不同频率简谐振动的合成四、互相垂直、不同
40、频率简谐振动的合成 利萨如图形利萨如图形利萨如图形利萨如图形一一一一般般般般来来来来说说说说，互互互互相相相相垂垂垂垂直直直直的的的的分分分分振振振振动动动动频频频频率率率率不不不不同同同同的的的的条条条条件件件件下下下下，合合合合振振振振动动动动的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹不不不不能能能能形形形形成成成成稳稳稳稳定定定定的的的的图图图图案案案案。但但但但如如如如果果果果分分分分振振振振动动动动的的的的频频频频率率率率成成成成整整整整数数数数比比比比，则则则则合合合合振振振振动动动动的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹为为为为稳稳稳稳定定定定的的的的曲曲曲曲线线线线，曲曲曲曲线线线线的的的的花花花花样样样样和
41、和和和分分分分振振振振动动动动的的的的频率比、初位相有关，得出的图形叫频率比、初位相有关，得出的图形叫频率比、初位相有关，得出的图形叫频率比、初位相有关，得出的图形叫利萨如图利萨如图利萨如图利萨如图。利萨如图形的应用利萨如图形的应用利萨如图形的应用利萨如图形的应用：利用利萨如图形的花样判断二分振：利用利萨如图形的花样判断二分振：利用利萨如图形的花样判断二分振：利用利萨如图形的花样判断二分振动的频率比，再由已知频率测量未知频率。动的频率比，再由已知频率测量未知频率。动的频率比，再由已知频率测量未知频率。动的频率比，再由已知频率测量未知频率。40不同频率比例的利萨如图形不同频率比例的利萨如图形不同
42、频率比例的利萨如图形不同频率比例的利萨如图形 1:11:11:11:11:21:24:34:34:34:38:68:69:79:78:6(8:6(方波方波方波方波)7:47:4利萨如图形的利萨如图形的利萨如图形的利萨如图形的演示及绘制演示及绘制演示及绘制演示及绘制41例例例例弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动。在平衡位置附近的振动是简谐振动。在平衡位置附近的振动是简谐振动。在平衡位置附近的振动是简谐振动。解：以弹簧和物块静止时的位置
43、为原点解：以弹簧和物块静止时的位置为原点解：以弹簧和物块静止时的位置为原点解：以弹簧和物块静止时的位置为原点 OO，此时弹簧的伸长长度为此时弹簧的伸长长度为此时弹簧的伸长长度为此时弹簧的伸长长度为 ，设物块处于任，设物块处于任，设物块处于任，设物块处于任一位置一位置一位置一位置 x x 时：时：时：时：429.69.6阻尼振动阻尼振动 振动系统因受阻力而作振幅减小的运动叫振动系统因受阻力而作振幅减小的运动叫振动系统因受阻力而作振幅减小的运动叫振动系统因受阻力而作振幅减小的运动叫阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动。一、阻尼振动的动力学方程一、阻尼振动的动力学方程一、阻尼振动的动力学方程一、阻尼振动
44、的动力学方程 假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：假设：振动速度较小时，摩擦力正比于质点的速率。即：对物块应用牛顿第二定律：对物块应用牛顿第二定律：对物块应用牛顿第二定律：对物块应用牛顿第二定律：令：令：令：令：则：则：则：则：（1 1）为二阶线性常系数齐次方程，即为二阶线性常系数齐次方程，即为二阶线性常系数齐次方程，即为二阶线性常系数齐次方程，即阻尼振动的动力学方程阻尼振动的动力学方程阻尼振动的动力学方程阻尼振动的动力学方程。43二、二、二、二、阻尼振动方程的解阻尼振动方程的解阻
45、尼振动方程的解阻尼振动方程的解 上述上述上述上述式方程的特征根：式方程的特征根：式方程的特征根：式方程的特征根：即：即：即：即：（说明振动变慢，由于阻力作用）（说明振动变慢，由于阻力作用）（说明振动变慢，由于阻力作用）（说明振动变慢，由于阻力作用）解为：解为：解为：解为：（2 2）1.1.1.1.欠阻尼时欠阻尼时欠阻尼时欠阻尼时 44振幅为振幅为振幅为振幅为 随时间的推移，呈指数递减，随时间的推移，呈指数递减，随时间的推移，呈指数递减，随时间的推移，呈指数递减，越大，振动衰减越快；越大，振动衰减越快；越大，振动衰减越快；越大，振动衰减越快；越小，振幅衰减越慢。越小，振幅衰减越慢。越小，振幅衰减
46、越慢。越小，振幅衰减越慢。表示阻尼大小的标志，称表示阻尼大小的标志，称表示阻尼大小的标志，称表示阻尼大小的标志，称对数减缩对数减缩对数减缩对数减缩，即经过一个周期后，振幅的衰减，即经过一个周期后，振幅的衰减，即经过一个周期后，振幅的衰减，即经过一个周期后，振幅的衰减系数。系数。系数。系数。定义：定义：定义：定义：452.2.2.2.过阻尼状态过阻尼状态过阻尼状态过阻尼状态即：即：即：即：，则方程的解为：，则方程的解为：，则方程的解为：，则方程的解为：（3 3）其中：其中：其中：其中：由初始条件决定。由初始条件决定。由初始条件决定。由初始条件决定。随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非
47、周期的，甚至不随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不随时间的推移，质点坐标单调地趋于零。质点运动是非周期的，甚至不是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，是往复的。将质点移开平衡位置后释放，质点便慢慢回到平衡位置停下来，即过阻尼状态。即过阻尼状态。即过阻尼状态。即过阻尼状态。463.3.3.3.临界阻尼状态临界阻尼状态临界阻尼状态临界阻尼状态 即：即：即
48、：即：，则方程的解为：，则方程的解为：，则方程的解为：，则方程的解为：（4 4）其中：其中：其中：其中：由初始条件决定。由初始条件决定。由初始条件决定。由初始条件决定。应用：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想）应用：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想）应用：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想）应用：例如：天平的指针最好处于临界阻尼状态。（理想）电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状态，有时处于欠阻尼状态。电流表、电压表的指针最好处于临界阻尼状
49、态，有时处于欠阻尼状态。此种状态，质点仍不往复运动。由于阻力较此种状态，质点仍不往复运动。由于阻力较此种状态，质点仍不往复运动。由于阻力较此种状态，质点仍不往复运动。由于阻力较前者小，质点移开平衡位置释放后，质点很快回前者小，质点移开平衡位置释放后，质点很快回前者小，质点移开平衡位置释放后，质点很快回前者小，质点移开平衡位置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来。如图示。到平衡位置并停下来。如图示。到平衡位置并停下来。如图示。到平衡位置并停下来。如图示。47某某某某阻阻阻阻尼尼尼尼振振振振动动动动的的的的振振振振幅幅幅幅经经经经过过过过一一一一周周周周期期期期后后后后减减减减为为为为原原原原来来
50、来来的的的的 1/31/3，问问问问震震震震动动动动频频频频率率率率比比比比震震震震动动动动系系系系统统统统的的的的固固固固有有有有频频频频率率率率少少少少几几几几分分分分之之之之几几几几？（弱弱弱弱阻阻阻阻尼状态）尼状态）尼状态）尼状态）例题例题例题例题489.7受迫振动 振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动。一、受迫振动的动力学方程一、受迫振动的动力学方程一、受迫振动的动力学方程一、受迫振动的动力学方程设质点受到：弹性力