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1、大学物理大学物理竞赛力学力学辅导2016力学部分力学部分主要公式主要公式：（1).牛顿第二定律牛顿第二定律 （2).角动量定理角动量定理 对于质点对于质点,角动量角动量对于刚体对于刚体,角动量角动量(3).保守力与势能关系保守力与势能关系2021/5/222(4).三种势能三种势能重力势能重力势能弹性势能弹性势能万有引力势能万有引力势能(5).保守力的特点保守力的特点作功与路径无关作功与路径无关(6).势能的定义势能的定义某个位置处的势能计算：某个位置处的势能计算：从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。从这个位置移动到势能零点处，保守力所做的功。2021/5/223势能曲线势能曲线势能曲
2、线势能曲线重力势能重力势能弹性势能弹性势能引力势能引力势能2021/5/224势能曲线的作用：势能曲线的作用：（1 1）根据势能曲线的形状可以）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动讨论物体的运动。（2 2）利用势能曲线，可以）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置判断物体在各个位置所受保守力的大小和方向所受保守力的大小和方向。表明：表明：保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐保守力沿某坐标轴的分量等于势能对此坐标的导数的负值标的导数的负值。2021/5/225(7).转动动能转动动能(8).转动定律转动定律(9).转动惯量转动惯量2021/5/226刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动刚体的平面平
3、行运动刚体的平面平行运动一、刚体的平面平行运动一、刚体的平面平行运动一、刚体的平面平行运动一、刚体的平面平行运动定定义义：当当刚刚体体运运动动时时，其其中中各各点点始始终终和和某某一一平平面面保保持持一一定定的的距距离离，或或者者说说刚刚体体中中各各点点都都平平行行于于某某一一平平面运动，这就叫刚体的平面平行运动。面运动，这就叫刚体的平面平行运动。根根据据平平面面运运动动的的定定义义，刚刚体体平平面面运运动动的的自自由由度度有有三三个个，两两个个坐坐标标决决定定质质心心位位置置，一一个个坐坐标标决决定定转转动角度。动角度。刚刚体体的的平平面面平平行行运运动动可可以以看看做做质质心心的的平平动动
4、与与相相对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。对于通过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。2021/5/227 主主要要讨讨论论圆圆形形物物体体在在平平面面上上或或曲曲面面上上的的滚滚动动。通通常常质心就在圆的中心。质心就在圆的中心。二、滚动二、滚动二、滚动二、滚动几种滚动的形式：几种滚动的形式：有滑滚动有滑滚动：接触面之间有相对滑动的滚动：接触面之间有相对滑动的滚动 无滑滚动（纯滚动）无滑滚动（纯滚动）：接触面之间无相对滑动的滚动。：接触面之间无相对滑动的滚动。车轮的纯滚动车轮的纯滚动2021/5/228 对对于于纯纯滚滚动动，除除了了要要满满足足前前面面的的两两个个公公式式以以外外，还还
5、应该满足应该满足约束条件约束条件：对对于于平平面面上上的的滚滚动动，上上式式中中 、是是圆圆心心（通通常常就就是是质质心心）的的速速度度和和加加速速度度大大小小；和和 为为滚滚动动物物体体的的角角速速度度和和角角加加速速度度（物物体体在在质质心心参参考考系系中中的的角角速速度度和和角角加加速速度度）；是滚动物体的圆半径。是滚动物体的圆半径。对对于于曲曲面面上上的的滚滚动动，式式中中的的 应应理理解解为为圆圆心心的的切切向向加速度。加速度。2021/5/229 车轮的纯滚动车轮的纯滚动 车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系车轮中心前进的距离与质心转过的角度的关系 则则2021/5/2210总
6、结总结此此时：这样看待看待圆柱体的运柱体的运动：O点以点以过O 点点为瞬心瞬心轴转动。若：若：，即：相，即：相对运运动趋势向前，向前，向后。向后。，即：相，即：相对运运动趋势向后，向后，向前。向前。，即：无相，即：无相对运运动趋势，关于关于“纯滚动”问题，判断静摩擦力方向判断静摩擦力方向：静摩擦力与相：静摩擦力与相对运运动趋势相反。相反。2021/5/2211（1）求质心的运动求质心的运动。利利用用质质心心运运动动定定律律，设设质质心心在在Oxy平平面面内内运运动动，则有平动方程则有平动方程 刚体平面平行运动的求解刚体平面平行运动的求解:（2）在在质质心心坐坐标标系系中中讨讨论论刚刚体体绕绕通
7、通过过质质心心并并垂垂直直于于空间固定平面的轴转动空间固定平面的轴转动。（3）纯滚动约束方程纯滚动约束方程。2021/5/2212例题例题 讨论一匀质实讨论一匀质实心的圆柱体在斜面上心的圆柱体在斜面上的运动。的运动。N aCxG=mgrxyOfr 解解 圆柱体所受的力共有三个：圆柱体所受的力共有三个：重力重力G ，斜面的支承力，斜面的支承力N 和和摩擦力摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径，半径为为r，那么，它对其几何的转动惯量，那么，它对其几何的转动惯量 2021/5/2213这样可得这样可得以以上上三三式式中中，aCx x和和aCy是是圆圆柱柱体体质
8、质心心在在x x轴轴和和y y轴轴方方向向的的加加速速度度，是是圆圆柱柱体体对对其其通通过过质质心心的的几几何何轴轴转转动动的的角角加加速速度度。因因斜斜面面粗粗糙糙，圆圆柱柱体体下下降降时时没没有有滑滑动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么此时解上列五个式子，得解上列五个式子，得我们取和斜面平行而向下的方向为我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和轴的方向，和斜面垂直而向上为斜面垂直而向上为y轴的方向轴的方向2021/5/2214代入上式得代入上式得因因2021/5/2215 如如果果这这圆圆柱柱体体从从静静止止开开始始沿沿斜斜面面滚滚下下一一段段距距离离x
9、，与与之之相相应应，下下降降的的竖竖直直距距离离是是h=xsin，这这时时质质心的速度由心的速度由求得求得 如如果果斜斜面面是是光光滑滑的的，对对圆圆柱柱体体没没有有摩摩擦擦力力，即即fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是2021/5/2216而圆柱体对质心的角加速度与角速度为而圆柱体对质心的角加速度与角速度为 如如果果圆圆柱柱体体从从静静止止沿沿斜斜面面下下滑滑的的距距离离也也是是x x，则质心所获得的速度由，则质心所获得的速度由求得求得 在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，在上述纯粹滚动与纯粹滑动两种情况中，我们看到，两者加速度之比是我们看到，两者加速度之比是
10、2/32/3，两者速度，两者速度之比是之比是2021/5/2217 本本题题也也可可用用机机械械能能守守恒恒定定律律讨讨论论。圆圆柱柱体体在在斜斜面面上上作作纯纯粹粹滚滚动动下下落落时时，所所受受到到的的斜斜面面的的摩摩擦擦力力和和正正压压力力都都不不作作功功，满满足足机机械械能能守守恒恒的的条条件件。圆圆柱柱体体从从静静止止滚滚下下，它它没没有有初初动动能能，只只有有重重力力势势能能mgh，当当它它滚滚动动下降这段高度时，全部动能是下降这段高度时，全部动能是 对纯粹滚动而言，对纯粹滚动而言，vc=r，以此代入得，以此代入得 由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得2021/5/2218求得求得代
11、入上式得代入上式得因因和以前的结果完全一致。和以前的结果完全一致。2021/5/2219例例 一质量为一质量为m、半径为、半径为R R 的均质圆柱，在水平外力的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所示。求质心的，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。加速度和圆柱所受的静摩擦力。解：设静摩擦力解：设静摩擦力f f 的方向如图所示，则由质心运的方向如图所示，则由质心运动方程：动方程：圆柱对质心的转动定律圆柱对质心的转动定律纯滚动条件为纯滚动条件为圆柱对质心的转
12、动惯量为圆柱对质心的转动惯量为 FaC联立以上四式，解得联立以上四式，解得2021/5/2220由此可见由此可见l0,静摩擦力向后静摩擦力向后 lr/2,f 0)2021/5/2259观察者接收到的频率：观察者接收到的频率：观察者观察者向向波源运动波源运动观察者观察者远离远离波源波源观察者观察者相对波源运动时相对波源运动时若观察者接近波源若观察者接近波源为正，远离为负为正，远离为负2021/5/22602.观察者不动，波源相对介质以速度观察者不动，波源相对介质以速度运动运动2021/5/2261A波源波源向向观察者运动观察者运动观察者接收到的频率观察者接收到的频率 2021/5/22623.波
13、源与接收器同时相对介质运动波源与接收器同时相对介质运动观察者接收到的频率观察者接收到的频率 波源和观察者波源和观察者相向相向运动时运动时和和均取正值均取正值波源和观察者波源和观察者相背相背运动时运动时和和均取负值均取负值波源波源远离远离观察者观察者波源波源相对相对观察者观察者运动时运动时若波源接近观察者若波源接近观察者为正，远离为负为正，远离为负2021/5/2263例例 一个观察者站在铁路附近，听到迎面开来的一个观察者站在铁路附近，听到迎面开来的火车汽笛声为火车汽笛声为A4音音(频率为频率为440 Hz)，当火车驶过，当火车驶过他身旁后，汽笛声降为他身旁后，汽笛声降为 G4 音音(频率为频率
14、为392 Hz)，问，问火车的速率为多少火车的速率为多少?已知空气中的声速为已知空气中的声速为 330 m/s。解：设汽笛原来的频率为解：设汽笛原来的频率为 0，当火车驶近观察者时，接收到的频率为当火车驶近观察者时，接收到的频率为 ，=V 0/(V-u)当火车驶过观察者后，接收到的频率为当火车驶过观察者后，接收到的频率为 ，=V 0/(V+u)/=(V+u)/(V-u)火车速率火车速率 u=(-)V/(+)=19 m/s2021/5/2264.已知空气中的声速为已知空气中的声速为的频率为的频率为解：解：1）车为接收器）车为接收器例题例题12 利用多普勒效应监测车速，固定波源发出利用多普勒效应监
15、测车速，固定波源发出求车速求车速 .频率为频率为的超声波，当汽车向波源行驶时，的超声波，当汽车向波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来的波 2）车为波源）车为波源车速车速2021/5/2265 电磁波的传播不依赖弹性介质，波源和观测者电磁波的传播不依赖弹性介质，波源和观测者之间的相对运动速度决定了接听到的频率。电磁波之间的相对运动速度决定了接听到的频率。电磁波以光速传播，在涉及相对运动时应考虑相对论时空以光速传播，在涉及相对运动时应考虑相对论时空变换关系。变换关系。当波源和观测者在同一直线上运动时，得到当波源和观测者在同一直线上
16、运动时，得到 二、电磁波的多普勒效应二、电磁波的多普勒效应 波源和接收器之间相对运动的速度波源和接收器之间相对运动的速度。2021/5/2266 振振动动物物体体不不受受任任何何阻阻力力的的影影响响，只只在在回回复复力力作作用用下所作的振动，称为下所作的振动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。在回复力和阻力作用下的振动称为在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动阻尼振动。阻尼振动阻尼振动2021/5/2267 对在流体对在流体(液体、气体液体、气体)中运动的物体，当物体速度中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示为速度，且方向相反，表示为 ：阻力
17、系数阻力系数物体的形状、大小、和介质的性质决定物体的形状、大小、和介质的性质决定一、运动方程及其解一、运动方程及其解2021/5/2268在阻力作用下的弹簧振子在阻力作用下的弹簧振子受力：受力：运动方程运动方程:引入引入固有角频率固有角频率在在小阻尼条件小阻尼条件下下 ，微分方程的解为，微分方程的解为:其中其中阻力阻力弹性恢复力弹性恢复力，阻尼系数阻尼系数2021/5/2269余弦项余弦项表征了表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动在弹性力和阻力作用下的周期运动；反映了反映了阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响。其中其中和和为积分常数为积分常数,由初始条件决定。由初始条件决定。上式中的上式中的阻尼振
18、动的阻尼振动的准周期性振动准周期性振动2021/5/2270 阻尼振动阻尼振动不是周期性振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。移不是时间的周期函数。但阻尼振动有某种重复性。位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振阻尼振动的周期动的周期，有，有显而易见，显而易见，由于阻尼，振动变慢了由于阻尼，振动变慢了。阻尼振动的振幅为：阻尼振动的振幅为：阻尼振动振幅的衰减程度。阻尼振动振幅的衰减程度。振幅随时间作指数衰减振幅随时间作指数衰减。阻尼。阻尼大小决定了大小决定了2021/5/2271其中其中和
19、和为积分常数为积分常数,由初始条件决定。由初始条件决定。即得即得 的所在象限可由的所在象限可由 的符号确定的符号确定。2021/5/2272 阻尼振动阻尼振动的能量仍然等于动能与势能之和，但的能量仍然等于动能与势能之和，但总总能量不再是常量能量不再是常量：二、阻尼振子的能量二、阻尼振子的能量2021/5/2273 可见可见阻尼很小时阻尼很小时，能量仍然与，能量仍然与 时刻的振幅平方时刻的振幅平方成正比。成正比。2021/5/2274三、品质因数三、品质因数 阻尼系数阻尼系数的大小反映了阻尼的大小。也可以用一的大小反映了阻尼的大小。也可以用一周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻周中振子
20、损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻尼的大小。通常定义时刻尼的大小。通常定义时刻 振子的能量振子的能量 与经过一周与经过一周后损失的能量后损失的能量 之比的之比的 倍为振子的倍为振子的品质因数品质因数 。小阻尼（小阻尼（欠阻尼欠阻尼）情况下，由上式可得）情况下，由上式可得2021/5/2275阻尼振动的三种情形：阻尼振动的三种情形：临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼四、临界阻尼与过阻尼四、临界阻尼与过阻尼 通过控制阻尼的大小，通过控制阻尼的大小，以满足不同实际需要。以满足不同实际需要。应用应用：1、机器加大摩擦阻尼、机器加大摩擦阻尼3、灵敏电流计
21、临界阻尼灵敏电流计临界阻尼2、弦乐器加大辐射阻尼、弦乐器加大辐射阻尼2021/5/2276解：解：第一宇宙速度（环绕速度）第一宇宙速度（环绕速度）设在地球表面外某一高度的设在地球表面外某一高度的P点发射飞行器，发射速度为点发射飞行器，发射速度为v1，方方向和地面平行。当向和地面平行。当v1的值使机械能的值使机械能E0;因此有因此有,由此可得由此可得第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22132解解容器对地面的压力等于液体的重力容器对地面的压力等于液体的重力,对面对容器的支持力等于压力对面对容器的支持力等于压力,因而也等于液体的重力因而也等于液体的重力
22、.所以有所以有第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22133解解:(1)对物块对物块A和和B分别列牛顿第二定律方程分别列牛顿第二定律方程ATaBmBgTaa0第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22134解解:(2)(i)对物块对物块A和和B(向下运动向下运动)分别列牛顿第二定律方程分别列牛顿第二定律方程BmBgTATaaa0fF由上述三个方程可得由上述三个方程可得,第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22135(ii)对物块对物块A和和B(向上运动向上运动)分别
23、列牛顿第二定律方程分别列牛顿第二定律方程BmBgTATaaa0fF由上述三个方程可得由上述三个方程可得,综合以上综合以上(i)和和(ii)的分析的分析,可得要可得要B不动必须不动必须第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22136BmBgTATaaa0fF综合以上综合以上(i)和和(ii)的分析的分析,可得要可得要B不动必须不动必须(iii)如果没有题设的条件如果没有题设的条件 则物体则物体B有可能有可能会向上运动会向上运动,此时有此时有a0要使物体要使物体B不向上运动不向上运动,则必须则必须 a0;即即第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部
24、分地区大学物理竞赛2021/5/22137解解:1、2间的线剪断后间的线剪断后,1和和2 向左运动向左运动,3向右运动向右运动.运动过程中只有静电场力做功运动过程中只有静电场力做功,因此能量守恒因此能量守恒,即即312v3v1v2当三个小球在竖直方向成一直线时当三个小球在竖直方向成一直线时,3的速度为最大的速度为最大.三个小球组成的系统所受合外力为零三个小球组成的系统所受合外力为零,动量守恒动量守恒,即即由由(1)式得式得,代入代入(2)式得式得,第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22138312v3v1v2由此可得球由此可得球3的最大速度的最大速
25、度,312v3v1v2312312v3v1v2系统在运动过程中系统在运动过程中,合外力为零合外力为零,质心不动质心不动.因此因此3运动的最大距离为运动的最大距离为CCC第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22139解解 (1)设设B在在t时间内从时间内从A点运动到点运动到C点点B在在C与与S的连线方向的速度为的连线方向的速度为SACvv1B根据多普勒效应根据多普勒效应,观察者观察者B远离波源远离波源S,因此因此B接收的频率为接收的频率为 代入代入v1得得,第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22140解解
26、(2)B在在t时间内接收到的振动次数为时间内接收到的振动次数为SACvv1B第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22141解解(1)滑动前滑动前,软绳的质心坐标软绳的质心坐标滑动后滑动后,软绳的质心坐标为软绳的质心坐标为质心下落的高度为质心下落的高度为x0 x0CC解题方法见解题方法见上册上册P56 例例2 第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22142质心下落的高度为质心下落的高度为由能量守恒得由能量守恒得由此可得软绳的速度为由此可得软绳的速度为此时此时,软绳的总动量为软绳的总动量为x0 x0CCMgN由
27、动量定理由动量定理可得在坚直方向有可得在坚直方向有,第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22143MgN当当N=0时时,有有整理得整理得即当即当x 为为 时时,细钉为软绳提供的向上的支持力为零细钉为软绳提供的向上的支持力为零.整理得整理得N=0时时,x=x0;此时软绳的速度为此时软绳的速度为第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22144x0以右侧向下运动的软绳为参照系以右侧向下运动的软绳为参照系S讨论问题讨论问题当当x=x0时时,在运动坐标在运动坐标S系中右侧向下初速度为零系中右侧向下初速度为零,左侧左侧B
28、点向上的初速度为点向上的初速度为当当x=x0 时时软绳的质心坐标为软绳的质心坐标为初始时刻初始时刻(即即x=x0时时),软绳的软绳的BC间的距离为间的距离为静止坐标系中质心坐标为静止坐标系中质心坐标为静止坐标系中质心的速度为静止坐标系中质心的速度为对比伽利略变速变换公司对比伽利略变速变换公司,可得可得,当当x=x0 时时,质心质心C在运动坐标系在运动坐标系S中的相对速度为中的相对速度为即在即在S系里看质心系里看质心是向上运动的是向上运动的.撤去细钉后撤去细钉后,软绳只受重力作用软绳只受重力作用,因此软绳（参照系因此软绳（参照系S）将作自由落体运动）将作自由落体运动.第第 25 届届 全国部分地
29、区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22145x0软绳被拉直时软绳被拉直时,所用时间为所用时间为t;BC间的距离为间的距离为在在S系中系中,B点向上的速度为点向上的速度为v0;质心向上的速度大小为质心向上的速度大小为vc,且二者关系且二者关系为为S系作自由落体运动系作自由落体运动,在在S系中观察系中观察,B和和C都作向上的匀速直线运动都作向上的匀速直线运动(因为在因为在S系中观察时系中观察时,软绳没有受力的作用软绳没有受力的作用-完全完全“失重失重”).将将 代入上式得代入上式得t=0,时时BC间距离为间距离为因此有因此有第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大
30、学物理竞赛2021/5/22146第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22147解解 分析分析:本题中两个摆球是分别绕两个支点转动本题中两个摆球是分别绕两个支点转动.因此因此,本题需要用动量定理和角动量定理求解本题需要用动量定理和角动量定理求解.(2)两个摆对每个转动点的总力矩也都不为零两个摆对每个转动点的总力矩也都不为零,因此碰撞过程中的系统角动量也不守恒因此碰撞过程中的系统角动量也不守恒.(1)两个摆球在碰撞过程中两个摆球在碰撞过程中,所受合外力所受合外力 都不为零都不为零,因此系统的动量不守恒因此系统的动量不守恒;N2第第 25 届届 全国部分
31、地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22148如图所示如图所示,碰撞过程两个摆所受的内外力分别为碰撞过程两个摆所受的内外力分别为N和和N1,N2设碰撞时间为设碰撞时间为t,t很小很小.对两个摆分别列动量定理方程对两个摆分别列动量定理方程摆摆1:摆的动量等于质心摆的动量等于质心(圆心圆心)的动量的动量.摆摆2:摆的动量等于质心的动量摆的动量等于质心的动量.摆摆1:摆的角动量等于质心相对于摆的角动量等于质心相对于O2的角动量加上摆相对于质心的角动量的角动量加上摆相对于质心的角动量.角动量方程角动量方程:两个摆必须以同一点为参考点列方程两个摆必须以同一点为参考点列方程,现以现以O2
32、为参考点列方程为参考点列方程角动量定理角动量定理动量方程动量方程(设向右为正设向右为正):动量定理动量定理N2Rv1cr1cv2c摆摆2:摆的角动量等于质心相对于摆的角动量等于质心相对于O2的角动量加上摆相对于质心的角动量的角动量加上摆相对于质心的角动量.碰撞为弹性碰撞碰撞为弹性碰撞,动能守恒动能守恒:第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22149N2Rv1cr1cv2c上述方程可化简为上述方程可化简为:第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22150解联立方程组解联立方程组(1-2)-(4-2)即可求得即可
33、求得 1和和 2:由于由于N2只出现在只出现在(2-2)式中式中,且不是所要求的量且不是所要求的量,因此去除因此去除(2-2)式可式可.(3-2)+(4-2)得得3(1-2)+(4-2)得得第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22151由由(6)和和(7)得得两边乘两边乘4除除mR2得得由由(5-2)得得,由由(8)/(9)得得(8)式入得式入得第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22152由此解得由此解得,1代入代入(8)式得式得第第 25 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/
34、5/22153解解 (1)细杆在转动过程中机械能守恒细杆在转动过程中机械能守恒,由此可得由此可得CChcmg(2)转动过程的策略矩为转动过程的策略矩为由转动定律得由转动定律得第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22154解解 (1)设在设在dt时间内有时间内有dm质量的水通过小孔流出水瓶质量的水通过小孔流出水瓶,则由机械能守恒得瓶里水则由机械能守恒得瓶里水 的势能减小等于流出去的水的动能的势能减小等于流出去的水的动能.CH/2瓶内水的势能瓶内水的势能流出的水的质量流出的水的质量流出的水的动能流出的水的动能由机械能守恒得由机械能守恒得由此可得由此可得(
35、2)水瓶抛出后水瓶抛出后,瓶口的水与瓶口的水与整个水瓶一样只受重力的作整个水瓶一样只受重力的作用用,初速度又相同初速度又相同,因此它们因此它们的运动完全一样的运动完全一样,所以小孔没所以小孔没有水流出有水流出.即即 v2=0.第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22155解解:(1)合成驻波的表达式为合成驻波的表达式为(2)驻波的振幅驻波的振幅波腹处坐标波腹处坐标第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22156解解 (1)根据相对论根据相对论,在在S系中空心管的长度为系中空心管的长度为:因此在因此在S系中粒子
36、不动系中粒子不动,管的管的B端经过粒子时端经过粒子时t=0,则管的则管的A端经过粒子的时刻端经过粒子的时刻t1为为粒子相对于粒子相对于S系的速度为系的速度为(2)粒子在管内反射后相对管子的速度为粒子在管内反射后相对管子的速度为v,则粒子相对于则粒子相对于S系的速度为系的速度为在在S系粒子从系粒子从A端到端到B端所用时间为满足端所用时间为满足第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22157因此因此,在在S系看粒子从系看粒子从B到到A再到端所用时间为再到端所用时间为在在S系粒子从系粒子从B端到端到A端所用时间为端所用时间为由此可得在由此可得在S系粒子从系粒
37、子从A端到端到B端所用时间为端所用时间为第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22158解解:初始状态初始状态AB内的压强为内的压强为 P1AB=76cm;CD内的压强为内的压强为 P1CD=P1AB+76cm=152cm;末状态末状态AB内的压强为内的压强为 P2AB;CD内的压强为内的压强为 P2CD;则图则图2可得可得由气体状态方程可得由气体状态方程可得第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22159将将P1AB=76cm,P1CD=152cm代入代入(2)(3)式得式得将上两式代入将上两式代入(1)化简
38、得化简得第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22160解解:将坐标原点建在月心将坐标原点建在月心,则月则月-地系统的地系统的 质心坐标质心坐标(即月球到质心的距离即月球到质心的距离)为为 月球绕质心月球绕质心C作圆周运动作圆周运动月球的运动周期为月球的运动周期为rCrC0mM第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22161分析分析:由于地球和月球实际都不是一个质点由于地球和月球实际都不是一个质点,且地球有自转和绕太阳的公转等且地球有自转和绕太阳的公转等,因此将看到月球的形状发生变化因此将看到月球的形状发生变化
39、.出现出现“上弦上弦”、“下弦下弦”、“满月满月”等形等形状状.第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22162分析分析:经一个周期经一个周期T0后后,月球相对于地球位置不变月球相对于地球位置不变;但地球相对于太阳转过了一个角度但地球相对于太阳转过了一个角度0 0,如图所示如图所示.月球月球太阳太阳地球地球经经 后后,月球相对于地球转过的角度为月球相对于地球转过的角度为;经经 后后,地球相对于太阳转过的角度为地球相对于太阳转过的角度为;月球月球太阳太阳地球地球太阳太阳,地球和月球近似在一直线上地球和月球近似在一直线上,如图所示如图所示.第第 26 届届
40、 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22163每月的同一时刻要能看到相同的月球每月的同一时刻要能看到相同的月球,则月球如则月球如果开始与地球和太阳在一直线果开始与地球和太阳在一直线,那么经过一个月那么经过一个月后仍将与地球和太阳在一直线上后仍将与地球和太阳在一直线上,否则将看不到否则将看不到相同的月球相同的月球.月球月球太阳太阳地球地球第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22164解解:(1)设设t时刻飞船的总质量为时刻飞船的总质量为M=M0+MR-m0t,速度为速度为v;t+dt时刻飞船速度时刻飞船速度v+dv,燃烧生成
41、物相对于地面的速度大小为燃烧生成物相对于地面的速度大小为 产产u-(v+dv);化简得化简得代入代入M,dM得得在在dt时间内燃烧的燃料质量时间内燃烧的燃料质量dM=-m0dt;由动量守恒定律得由动量守恒定律得由此可得由此可得,第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22165(2)飞船的末速度飞船的末速度ve由由 积分得积分得(3)在在dt时间内时间内,系统动能的增量为系统动能的增量为将将 代入得代入得第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/22166(4)发射效率发射效率(飞船最终获得的动能占发动机释放的全部燃
42、料内能之比飞船最终获得的动能占发动机释放的全部燃料内能之比)(5)=MR/M0为为何何值时值时,效率效率 取极大值取极大值飞船最终速度为飞船最终速度为飞船获得的总动能为飞船获得的总动能为燃料燃烧做的总功燃料燃烧做的总功(即放出的内能即放出的内能)为为 根据定义根据定义,发射效率为发射效率为满足这个式子的满足这个式子的(两条曲两条曲线线的交点的交点),发发射效率取极大射效率取极大值值.第第 26 届届 全国部分地区大学物理竞赛全国部分地区大学物理竞赛2021/5/221672021/5/221682021/5/221692021/5/221702021/5/221712021/5/221722021/5/22173谢谢观赏谢谢观赏