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1、120192019中考数学提分训练中考数学提分训练: : 锐角三角函数锐角三角函数一、选择题一、选择题1.在 RtABC 中,C=90,AC=4,AB=5,则 tanA 的值是( ) A. B. C. D. 2.如图,在ABC 中,AC8,ABC60,C45,ADBC,垂足为 D,ABC 的平分线交 AD 于点E,则 AE 的长为( )A. B. 2 C. D. 3 3.在下列网格中,小正方形的边长为 1,点 A,B,O 都在格点上,则A 的正弦值是( )A. B. C. D. 4.已知 是等腰直角三角形的一个锐角,则 的值为( ) A. B. C. D. 125.一辆小车沿着如图所示的斜坡向
2、上行驶了 100 米,其铅直高度上升了 15 米在用科学计算器求坡角 的度数时,具体按键顺序是( )A. B. C. D. 6.在ABC 中,C=90,AB=6,cosA= ,则 AC 等于( ). A. 18 B. 2 C. D. 7.如图,小强从热气球上测量一栋高楼顶部 B 的仰角为 30,测量这栋高楼底部 C 的俯角为 60,热气球与高楼的水平距离为 45 米,则这栋高楼高为( )米A.15 B.30 C.45 D.60 8.ABC 中,A,B 均为锐角,且(tanB )(2sinA )=0,则ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.有一个角是 60的三
3、角形9.如图,矩形 ABCD 中,O 为 AC 的中点,过点 O 的直线分别与 AB,CD 交于点 E,F,连接 BF 交 AC 于点M,连接 DE,BO.若COB60,FOFC,则下列结论:FBOC,OMCM;EOBCMB;四边形EBFD 是菱形;MBOE32.其中正确结论的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4310.如图,在半径为 5 的O 中,弦 AB=6,点 C 是优弧 上一点(不与 A,B 重合),则 cosC 的值为( )A. B. C. D. 11.如图,四边形 ABCD,A1B1BA,A5B5B4A4都是边长为 1 的小正方形已知ACB=a,A1CB1=a1 ,
4、,A5CB5=a5 则 tanatana1+tana1tana2+tana4tana5的值为( )A. B. C. 1 D. 二、填空题二、填空题 12.计算:tan60cos30=_ 13.已知A 是锐角,且 tanA= ,则A=_ 14.坡角为 =60,则坡度 i=_ 15.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2, ),以原点 O 为中心,将点 A 顺时针旋转165得到点 A,则点 A的坐标为_.416.如图,在ABC 中,AB=AC,AHBC,垂足为点 H,如果 AH=BC,那么 sinBAC 的值是_17.在 RtABC 中,C=90,AB=2,BC= ,则 sinA=_ 18
5、.已知ABC,AB=AC,BC=8,点 D、E 分别在边 BC、AB 上,将ABC 沿着直线 DE 翻折,点 B 落在边 AC上的点 M 处,且 AC=4AM,设 BD=m,那么ACB 的正切值是_(用含 m 的代数式表示) 19.如图,为了测量河的宽度 AB,测量人员在高 21m 的建筑物 CD 的顶端 D 处测得河岸 B 处的俯角为 45,测得河对岸 A 处的俯角为 30(A,B,C 在同一条直线上),则河的宽度 AB 约为_三、解答题三、解答题20.计算:2cos45tan60+sin30| | 21.某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱 均垂直于地面,点 在线段 上.在 点测得点 的仰
6、角为 ,点 的俯角也为 ,测得 间的距离为 10 米,立柱 高 30 米.求立柱 的高(结果保留根号).522.如图,为了测量建筑物 的高度,在 处树立标杆 ,标杆的高是 .在 上选取观测点 、 ,从 测得标杆和建筑物的顶部 、 的仰角分别为 、 ,从 测得 、 的仰角分别为 、 .求建筑物 的高度(精确到 ) .(参考数据: , , .)23.如图 1,水坝的横截面是梯形 ABCD,ABC37,坝顶 DC3m,背水坡 AD 的坡度 i(即 tanDAB)为 1:0.5,坝底 AB14m(1)求坝高; (2)如图 2,为了提高堤坝的防洪抗洪能力,防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固,
7、使得 AE2DF,EFBF,求 DF 的长(参考数据:sin37 ,cos37 ,tan37 ) 6答案解析答案解析 一、选择题1.【答案】C 【解析】 :在 RtABC 中,C=90,AC=4,AB=5,BC=3tanA=故答案为:C【分析】利用勾股定理先求出 BC 的长,再利用锐角三角形函数的定义,即可求出 tanA 的值。2.【答案】C 【解析】 ADBC,ADC 是直角三角形,C=45,DAC=45,AD=DC,AC=8,AD=4 ,在 RtABD 中,B=60,BD= = = ,BE 平分ABC,EBD=30,DE=BDtan30= = ,AE=AD-DE= ,故答案为:C.【分析】
8、根据等腰直角三角形边之间的关系得出 AD 的长,在 RtABD 中,根据正切函数的定义由 BD=得出 BD 的长,由 DE=BDtan30得出 DE 的长,再根据线段的和差,由 AE=AD-DE 即可得出答案。3.【答案】A 7【解析】 :如图,由题意得:OC=2,AC=4,由勾股定理得:AO= =2 ,sinA= = 故答案为:A【分析】延长 AB 与 OC,两线相交于点 C,根据方格纸的特点得出 OC=2,AC=4,由勾股定理得 AO,再根据锐角三角函数的定义即可得出答案。4.【答案】B 【解析】 是等腰直角三角形的一个锐角,=45,sin=sin45= 故答案为:B【分析】根据等腰直角三
9、角形的性质及特殊锐角三角函数值得出答案。5.【答案】A 【解析】 :sinA= ,所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时,按键顺序为,故答案为:A【分析】根据正弦函数的定义,由 sinA=0.15,再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。6.【答案】B 【解析】 在 RtABC 中,C=90,cosA= ,又 AB=6,所以 AC=2故答案为:B【分析】根据三角函数的定义,在 RtABC 中,cosA= A C A B,即可得出答案。7.【答案】D 8【解析】 :过 A 作 ADBC,垂足为 D,在 RtABD 中,BAD=30 , AD=45m,BD=ADtan30=45=m,在 RtAC
10、D 中,CAD=60,AD=45m,CD=ADtan60=45=mBC=+=60m故答案为 :D【分析】过 A 作 ADBC,垂足为 D,在 RtABD 中,由 BD=ADtan30得出 BD,在 RtACD 中,由CD=ADtan60得出 CD,再根据 BC=BD+CD 得出答案。8.【答案】D 【解析】 ABC 中,A,B 均为锐角,且(tanB )(2sinA )=0,tanB =0 或 2sinA =0,即 tanB= 或 sinA= B=60或A=60ABC 有一个角是 60故答案为:D【分析】根据两个因式的积 0,则这两个因式至少有一个因式为 0 可得 tanB-=0 或 2sin
11、A-=0,解得tanB= ,或 sinA= ,因为ABC 中,A,B 均为锐角,由特殊角的锐角三角函数可得B=60或A=60所以ABC 有一个角是 609.【答案】C 9【解析】 连接 BD,四边形 ABCD 是矩形,AC=BD,AC、BD 互相平分,O 为 AC 中点,BD 也过 O 点,OB=OC,COB=60,OB=OC,OBC 是等边三角形,OB=BC=OC,OBC=60,在OBF 与CBF 中, ,OBFCBF(SSS),OBF 与CBF 关于直线 BF 对称,FBOC,OM=CM;正确,OBC=60,ABO=30,OBFCBF,OBM=CBM=30,ABO=OBF,ABCD,OCF
12、=OAE,OA=OC,易证AOECOF,OE=OF,OBEF,四边形 EBFD 是菱形,10正确,EOBFOBFCB,EOBCMB 不符合题意错误,OMB=BOF=90,OBF=30,MB= ,OF= ,OE=OF,MB:OE=3:2,正确;故答案为:C【分析】(1)连接 BD,由矩形的性质可得 AC=BD,AC、BD 互相平分,因为 O 为 AC 中点,所以 AC、BD 相较于 O,则 OB=OC,因为有一个角为 60 度的等腰三角形是等边三角形,所以OBC 是等边三角形,用边边边定理可得OBFCBF,所以OBF 与CBF 关于直线 BF 对称,由对称的性质可得 FBOC,OM=CM;(2)
13、由已知可证得EOBFOBFCB;(3)由(1)可得OBFCBF,所以OBM=CBM=-=30,所以ABO=OBF,根据平行线的性质可得OCF=OAE,用边角边可证得AOECOF,所以 OE=OF,OBEF,根据菱形的判定可得四边形EBFD 是菱形,(4)因为OMB=BOF=90,OBF=30,所以 tanOBF=,cos30=,而 OE=OF,所以 MB:OE=3:2。10.【答案】D 【解析】 :作直径 AD,连结 BD,如图AD 为直径,ABD=90在 RtABD 中,AD=10,AB=6,BD= =8,cosD= = = C=D,cosC= 故答案为:D【分析】作直径 AD,连结 BD,
14、根据直径所对的圆周角是直角得出ABD=90,在 RtABD 中根据勾股定11理得出 BD 的长,根据余弦函数的定义得出 cosD 的值,根据同弧所对的圆周角相等及等角的同名三角函数值相等得出结论。11.【答案】A 【解析】 :根据锐角三角函数的定义,得:tana= =1,tana1= = ,tana2= = ,tana5= = ,则 tanatana1+tana1tana2+tana4tana5=1 + + + + =1 + + + + =1 = 故答案为:A【分析】根据锐角三角函数的定义,依次算出 tana,tana1,tana2,tana5的值,依次代入tanatana1+tana1tan
15、a2+tana4tana5,并根据,进行化简计算即可。二、填空题12.【答案】【解析】 tan60cos30= = .故答案为: .【分析】根据特殊角的三角函数值,直接计算即可求解。13.【答案】30 【解析】 :A 是锐角,tanA= ,A=30故答案为:30【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得出答案。14.【答案】【解析】 :坡度 i=tan=tan60= 故答案为: 【分析】根据坡度就是坡角的正切值,再根据特殊锐角三角函数即可得出答案。15.【答案】( , ) 【解析】 作 ABx 轴于点 B,12AB= OB=2,则 tanAOB= ,AOB=60,AOy=30,将点 A 顺时针旋转
16、 165得到点 A后,AOC=165309045,OA=OA=2OB=4,AC=OC= ,即 A( , ),故答案为:( , ).【分析】作 ABx 轴于点 B,根据点 A 的坐标得出 AB,OB 的长,根据正切函数的定义得出AOB 的度数,进而得出AOy 的度数,将点 A 顺时针旋转 165得到点 A后,根据旋转的性质从而得出AOC 的度数,OA=OA=2OB=4,进而得出 AC=OC= ,得出 A的坐标。16.【答案】【解析】 如图,过点 B 作 BDAC 于 D,设 AH=BC=2x,AB=AC,AHBC,BH=CH= BC=x,根据勾股定理得,AC= = x,SABC= BCAH= A
17、CBD,即 2x2x= xBD,解得 BC= x,13所以,sinBAC= 故答案为: 【分析】过点 B 作 BDAC 于 D,设 AH=BC=2x,由等腰三角形三线合一可得 BH=CH= BC=x,在直角三角形 ACH 中,根据勾股定理得,AC=,因为 SABC= BCAH= ACBD,即2x2x= xBD,解得 BC=x,在直角三角形 ABD 中,sinBAC=.17.【答案】【解析】 :如图RtABC 中,C=90,AB=2,BC=,sinA=故答案为:【分析】利用锐角三角函数的定义,即可求解。18.【答案】【解析】 如图所示:作 AHBC,MGBC,连结 EM、MCAB=AC,BC=8
18、,AHBC,14CH=4AC=4AM,CM:AC=3:4AHMG, ,即 ,解得:CG=3BG=5DG=m5由翻折的性质可知 MD=BD=m在 RtMGD 中,依据勾股定理可知:MG= tanACB= 故答案为: 【分析】作 AHBC,MGBC,连结 EM、MC由已知条件易得 CM:AC=3:4因为 AHMG,根据平行线分线段成比例定理可得,即,解得 CG=3,所以 BG=BC-CG=5,所以 DG=BD-DG=m5,由折叠的性质可得 MD=BD=m,在直角三角形 MGD 中,由勾股定理可得 MG=,所以 tanACB=.19.【答案】15.3m 【解析】 :在 RtACD 中,CD=21m,
19、DAC=30,AC= = =21 m,在 RtBCD 中,EDB=45,DBC=45,BC=CD=21m,AB=ACBC=21 2115.3(m),河的宽度 AB 约是 15.3m【分析】本题利用锐角三角函数解决实际问题,已知 CD=21m,DAC=,用角的正切可以求出 AC的值,因为BCD 是等腰直角三角形,所以 AB=AC-21.三、解答题1520.【答案】 :原式=2 + = 【解析】【分析】根据特殊锐角三角函数值,及绝对值的意义,先化简,再根据实数的混合运算计算出结果。21.【答案】解:作 CFAB 于 F,则四边形 HBDC 为矩形,BD=CF,BF=CD.由题意得,ACF=30,C
20、ED=30,设 CD=x 米,则 AF=(30x)米,在 RtAFC 中,FC= ,则 BD=CF= ,ED= -10,在 RtCDE 中,ED= ,则 -10= ,解得,x=15 ,答:立柱 CD 的高为(15 )米 【解析】【分析】首先由仰角和俯角的定义,是水平线与视线方向的夹角,则可作 CFAB 于 F,此时CF/水平线,则四边形 HBDC 为矩形,BD=CF,BF=CD;求 CD,即设 CD=x,由仰角和俯角可得到ACF=30,CED=30,用 x 表示出 ED 两种代数式,构造方程解答即可.22.【答案】解:在 中, , . .16在 中, , . .同理 . .解得 .因此,建筑物
21、 的高度约为 【解析】【分析】在 Rt CED 中,根据正切函数的定义得出 DE =,在 Rt CFD 中根据正切函数的定义得出 DF=,由线段的和差表示出 EF 的长,同理再表示出 EF 的长,从而得出方程,求解得出 AB 的长。23.【答案】(1)解: 过点 D 作 DMAB,垂足为 M,过点 C 作 CNAB,垂足为 N.因背水坡 AD 的坡度 i 为 1:0.5,tanDAB=2,设 AM=x,则 DM=2x.又四边形 DMNC 是矩形,DM=NC=2x.在 RtBNC 中,tanABC=tan37= ,BN= ,由 x+3+ ,得 x=3,DM=6.即坝高为 6m.(2)解:过点 F
22、 作 FHAB,垂足为 H.17设 DF=y,则 AE=2y.EH=3+2y-y=3+y,BH=14+2y-(3+y)=11+y,由 FHBE,EFBF,得EFHFBH. ,即 .,解得 y= 或 y= (舍).DF= .答:DF 的长为 米 【解析】【分析】(1)已知ABC37和背水坡 AD 的坡度 i,则过点 D 作 DMAB,垂足为 M,过点 C作 CNAB,垂足为 N,由 AB=AM+MN+BN,构造方程解答;(2)过点 F 作 FHAB,垂足为 H,由(1)可得FH=DM=6,又EFBF,可证得 EFHFBH,则 其中 HF=6,而 HB 与 EH 可设 FD=x,用含 x 的代数式分别求出 EH 和 HB,然后代入 即可.