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1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用3.1.2 导数的概念导数的概念主备人：王朝远、张洪华主备人：王朝远、张洪华 审核人：牟必继审核人：牟必继1 1、平均变化率、平均变化率 一般的，函数在区间上一般的，函数在区间上 的的平均变化率平均变化率为为 一一.复复习习回回顾顾：2.求函数的平均变化率的步骤:(1)先计算函数值的改变量先计算函数值的改变量y=f(x2)-f(x1);(2)再计算自变量的改变量再计算自变量的改变量(3)计算平均变化率计算平均变化率 2、平均变化率、平均变化率其几何意义是其几何意义是:表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。h
2、to求求2时的瞬时速度？时的瞬时速度？2我们先考察我们先考察2附近的情况。任附近的情况。任取一个时刻取一个时刻2，是时间是时间改变量，可以是正值，也可以是负改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为值，但不为0.当当0时，在时，在2之前；之前；当当0时，在时，在2之后。之后。0时时20时时2二二.新课学习新课学习在高台跳水运在高台跳水运动动中，中，运动员运动员相相对对于水面的高度于水面的高度h(单单位：米位：米)与起与起跳后的跳后的时间时间t（单单位：位：s）存在函数关系）存在函数关系h(t)=-4.9 t2+6.5t+10.在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速
3、度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.t0时,在2,2+t 这段时间内当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当当t趋近于趋近于0时时,平均平均速度有什么变化趋势速度有什么变化趋势?瞬时速度瞬时速度:在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过在
4、局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。思考：思考：如何求瞬时速度？如何求瞬时速度？lim是什么意思？是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。在其下面的条件下求右面的极限值。运动员在某一时刻运动员在某一时刻0的瞬时速度如何表示的瞬时速度如何表示?、函数的平均变化率怎么表示？、函数的平均变化率怎么表示？思考：思考：导数的概念导数的概念:注意注意:1.:1.平均变化率与导数的关系平均变化率与导数的关系:平均变化率平均变化率导数导数求极限求极限导数的作用：导数的作用：在例在例2中，高度中，高度h关于时
5、间关于时间t的导数是运动员的的导数是运动员的 瞬时速度；瞬时速度；在例在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r 关于体积关于体积v的导数是气球的的导数是气球的瞬瞬时时膨膨胀胀率率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率小结：小结：由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数的基本步骤是：处的导数的基本步骤是：注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量自变量 的增量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择哪种形式选择哪种形式,
6、y也也 必须选择与之相对应的形式必须选择与之相对应的形式.即三步走：一差、二比、三极限即三步走：一差、二比、三极限三三.例例题讲题讲解解 例例2.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要需要对原油进行冷却和加热对原油进行冷却和加热.如果第如果第 x h时时,原油的温度原油的温度(单位单位:)为为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第计算第2h和第和第6h,原油温度的瞬时变原油温度的瞬时变化率化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.解解:在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是和和根据导数的定义根据
7、导数的定义,所以所以,同理可得同理可得 f(6)=5 说明在第6h附近，原油温度大约以5/h的速度上升；f(2)=-3说明在第2h附近，原油温度大约以3/h的速度下降；小结：导数的意义小结：导数的意义:C-12四四.练习练习由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤是：小小 结结:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义。(2)求平均变化率(3)取极限,得导数(1)求函数的增量3.1.2 导数的概念导数的概念 （第二课时）（第二课时）主备人：王朝远、张洪华主备人：王朝远、张洪华 审核人：牟必继审核人：牟必继由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点
8、x0处的导数的基本步骤是处的导数的基本步骤是：注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量自变量 的增量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择哪种形式选择哪种形式,y也也 必须选择与之相对应的形式必须选择与之相对应的形式.即三步走：一差、二比、三极限即三步走：一差、二比、三极限复复习习引入引入:例例1.(1)求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.典例分析典例分析题题型一：求函数在某型一：求函数在某处处的的导导数数例例1.(2)求函数求函数f(x)=-x2+x在在x=-1附近的平均变附近的平均变化率，并求出
9、在该点处的导数化率，并求出在该点处的导数 三典例分析三典例分析题题型二：求函数在某型二：求函数在某处处的的导导数数例例1.(3)质点运动规律为质点运动规律为s=t2+3，求质点在，求质点在t=3的瞬时速度的瞬时速度.三典例分析三典例分析题题型二：求函数在某型二：求函数在某处处的的导导数数例例2:(1)求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数;(2)求函数求函数y=x+1/x在在x=2处的导数处的导数.练习练习:1.注意：这里的速度是指平均速度但运动员的平均注意：这里的速度是指平均速度但运动员的平均 速度不一定能反映速度不一定能反映物体在某一时刻的在某一时刻的运动情况。2.定义：物体在某一时刻的速度为定义：物体在某一时刻的速度为瞬时速度瞬时速度。自由落体运动中，物体在不同时刻的速度是不一样的。时间间隔 很小很小Thank you!