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1、第 1 讲 计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题 1繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母 2一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数所以需将带分数化为假分数 3某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观 4对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可 5本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅思维导引详解五年级 第 1 讲循环小数与分数 1计算：711471826213581333416【分析与解】原式=7
2、1237231746122414881281312332计算：【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995 0.5 具体过程如下：原式=5919(35.22)1993 0.41.6910()5271995 0.5199519(65.22)950=5191.321993 0.44 0.4 0.59()51995 0
3、.41995 0.5191.329=199320.41()19950.5=0.410.5=1143计算：1111111987【分析与解】原式=11198711986=198613973=198739734计算：已知=181111+12+1x+4，则 x 等于多少?【分析与解】方法一：1118x68114x112x7111+11148x62+214x1x+4交叉相乘有88x+66=96x+56，x=125方法二：有11131118821x4，所以18222133x4；所以13x42，那么x1.25 5求944,43,443,.,44.43个这 10 个数的和【分析与解】方法一：944+43+44
4、3.44.43个 =1044(441)(444 1).(44.4 1)个 =104444444.44.4 9个=1094(999999.999.9)99个 =1004(101)(1001)(10001).(1000.01)99个 =914111.1009=49382715919个.方法二：先计算这10 个数的个位数字和为39+4=31；再计算这10 个数的十位数字和为49=36，加上个位的进位的3，为3633 9；再计算这10 个数的百位数字和为48=32，加上十位的进位的3，为32335；再计算这10 个数的千位数字和为47=28，加上百位的进位的3，为28331；再计算这10 个数的万位数
5、字和为46=24，加上千位的进位的3，为24327；再计算这10 个数的十万位数字和为45=20，加上万位的进位的2，为2022 2；再计算这10 个数的百万位数字和为44=16，加上十万位的进位的2，为16218；再计算这10 个数的千万位数字和为43=12，加上百万位的进位的1，为12113；再计算这10 个数的亿位数字和为42=8，加上千万位的进位的1，为819；最后计算这10 个数的十亿位数字和为41=4，加上亿位上没有进位，即为4所以，这10 个数的和为4938271591 6.如图 1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6 条线段的长度之和是多少?【分析与解】因为
6、每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440 7.我们规定，符号“”表示选择两数中较大数的运算，例如：3 52.9=2.9 3.5=3.5 符号“”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5 2.9=2.9 3.5=2.9 请计算：23155(0.625)(0.4)333841235(0.3)(2.25)3104【分析与解】原式1550.6255155725384218384122562.253 8 规定（3）=234，（4）=345，(5)=456，(10)=91011，,如果111(16)(17)(
7、17)，那么方框内应填的数是多少?【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=16 17 181115 16 175.9从和式11111124681012中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1?【分析与解】因为1116124，所以12,14,16,112的和为 l，因此应去掉18与110.10 如图 1-2 排列在一个圆圈上10 个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如 1.892915929 那么在所有这种数中。最大的一个是多少?【分析与解】有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918,较大，于是最大的为9.2918 9 2915
8、11请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是谁的约数”.【分析与解】有11461015，11110156，111351410评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢?注意到11caabcbabc，当acb时，有11ca1abcbabcac当 a、b、c 两两互质时，显然满足题意显然当 a、b、c 为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设 a 为 2，那么有2cb，显然 b、c 为一对孪生质数即可得出一般公式：1112(c2c(c2)2 c），c 与 c+2 均为质数即可.12计算：111(11.(1)223
9、 310 10）（）【分析与解】原式=(21)(21)(31)(31)(101)(101).223310 10=1 3243 546 576879 8 109 112233 44.10 10=123 344 55.99 101122 3344.9 9 10 10=1 2 10 1122 10 10=1120.13已知11 661267136814691570a=10011 651266136714681569.问 a 的整数部分是多少？【分析与解】11661267136814691570a=10011651266136714681569=11(651)12(661)13(671)14(681)
10、1569110011 651266136714681569（）=11 12131415110011 651266136714681569（）=111213141510010011 65+1266136714681569.因为11121314151001165+1266136714681569111213141510010011121314+156565（）所以a10035100+1016565.同时111213141510011651266136714681569111213141510010011121314+156969（）所以 a100311001016969.综上有3110169a35
11、10165所以 a 的整数部分为10114问135799.2468100与110相比，哪个更大，为什么?【分析与解】方法一：令135799.2468100A，2468100.3579101B，有13579924681001.24681003579101101AB.而 B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是BA，有 AA4B1101（）1111001010，所以有A A111010，那么 A110即135799.2468100与110相比，110更大方法二：设13579799.246898100A，则21133559999.224466100100A=1 33 5577.9797999
12、9 12244668.969898 100100，显然1 322、3544、5766、,、97999898、99100都是小于1 的，所以有A21100，于是 A110.15下面是两个1989 位整数相乘：1989119891111.11 111.11个个问：乘积的各位数字之和是多少?【分析与解】在算式中乘以9，再除以 9，则结果不变因为19891111.11个能被 9 整除，所以将一个19891111.11个乘以 9，另一个除以9，使原算式变成：198991988999.99 123456790.012345679个共位数=1989019881000.00 1123456790.012345
13、679个共位数（）=1988198901988123456790.012345679000.00 123456790.012345679共位数个共位数=19881980123456790.012345679123456789876543209.987654320987654321共位数共位数得 到 的 结 果 中 有19809=220个“123456790”和“987654320”及 一 个“12345678”和 一 个“987654321”，所以各位数之和为：1234567922098765432220（）（）+1234567898765432117901（）（）评注：111111111 9
14、=12345679；M k9999.9个的数字和为9 k(其中 M k9999.9个)可以利用上面性质较快的获得结果第 2 讲 计算综合（二）本讲主要是补充 计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算 1 n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3；2 从 1开始连续n 个自然数的平方和的计算公a 式：222211231216nnnn 3 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)1 已知 a=11,112211331119999100b试比较 a、b 的大小.【分析与解】11,1122113311119898abAB其中 A=99,B=99+1.100因
15、为 A98+1B，11119797,9696,111198989797119898ABAB1122,1133114411119898AB所以有 a b 2.试求11112111311143114120052005的和？【分析与解】记1,131412005x则题目所要求的等式可写为：11,1211xx而11111.122211xxxxx所以原式的和为1评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想2 试求 1+2+3+4+,4+100 的值?【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)项数 2=(1+100)1002=5050方法二：倒序相加，1+2+3+4+5+,97+98+99+10
16、0 100+99+98+97+96+,4+3+2+1,上下两个数相加都是101，并且有100 组，所以两倍原式的和为101100，那么原式的和为10l 100 2=5050方法三：整数裂项(重点)，原式=(12+22+32+42+,+1002)2=1 22(31)3(42)4(53)100(10199)2=(122 31 23423453 410010199 100)2=100 101 2=5050.3 试求 l 2+23+34+45+56+,+99100【分析与解】方法一：整数裂项原式=(123+233+343+453+563+,+991003)3=123+23(4-1)+34(5-2)+4
17、5(6-3)+56(7-4)+,+99 100(101-98)3(1232341 2334 523445634556745699 100 1019899 100)399 100101 333 101 1003333 100333300.方程二：利用平方差公式12+22+32+42+,+n2=2(1)(21).6nnnn原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+,+992+99 =12+22+32+42+52+,+992+1+2+3+4+5+,+99 =99 10019999 10062 =328350+4950 =3333005计算下列式子的值：0.10.3+0.20.4+0.3
18、 0.5+0.40.6+,+9.79.9+9.810.0【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算即先计算13+24+35+46+,+9799+98100。再除以100方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+,+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+,+9799+98100)100=(l 2+1)+(2 3+2)+(3 4+3)+(4 5+4)+,+(97 98+97)+(9899+98)100=(1 2+23+34+45+,+9798
19、+9899)+(1+2+3+4+,+97+98)100=(139899100+129899)100=3234+48.51=3282.51 方法二：可以使用平方差公式进行计算 0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+,+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+,+9799+98l 00)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+,+992-1)100=(11+22+32+42+52+,+992-99)100=(1699100199-99)100=16.5199-0.99=16.5200-16.5-0.99 =3282.51 评注：首先，我们要清楚
20、数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的下面简单介绍一下整数裂项12+23+34+,+(n-1)n=131 23+233+343+,+(n-1)n3=13123+23(4-1)+34(5-2)+,+(n-1)nn+1-(n-2)=12323 12343423451(1)(2)(1)(1)3nnnnnn=1(1)(1)3nnn6.计算下列式子的值：22222211111124()()234520211121210【分析与解】虽然很容易看出111111,2 323 4545可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到
21、公式12+22+32+,+n2=16n(n+1)(2n+1)，于是我们又有222216.123(1)(21)nnnn减号前面括号里的式子有10 项，减号后面括号里的式子也恰好有10 项，是不是“一个对一个”呢?22222211111124()()234520211121210=11124()234 520211116()1 2323 510 11 12=11124()234 5202111124()24346 5202221=11111124()()()2 3243454652021202221=11124()24462022=1116()1 2231011=16(1)11=60117计算下列
22、式子的值：22222211111111111111(1)()()23451980122345198012345198012111111111111()()()(1)45198012561980121980122345198012【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然 12+1=2;222222222111(1)()(1)4;2221111111(1)()()(1)6;2323323111111111111(1)()()()(1)8;234234344234所以原式=1980122=396024 习题计算 1718+1819+1920+,+2930的值提示：可有两
23、种方法，整数裂项，利用1 到 n 的平方和的公式.答案：(293031-161718)3=291031-16176=7358.第 3 讲 多位数的运算多位数的运算，涉及利用99999k个10k-1，提出公因数，递推等方法求解问题一、99999k个10k-1 的运用在多位数运算中，我们往往运用99999k个10k-1 来转化问题；如：200433333个59049我们把200433333个转化为20049999个93，于 是原 式 为200433333个59049=（20049999个 9 3）59049=20049999个959049=（200410000个 0-1）19683=1968320
24、0410000个0-19683 而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；200491968299999999个+1 如：2004919999199991968299999999119683196829998031611968299980317个个个，于是为199991968299980317个简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数原式=200433333个23320083333个 3=200433333个2320089999个9=2003199998个9（200810000个0-1）=2003199998个9200810000个0-2003199998个9=200392008920039
25、200392003020039200301999979999999991199998199997999800001 1199997999800002个个个个个个个,于是为2003920030199997999800002个个.2计算11112004个122221002个2=AA，求 A【分析与解】此题的显著特征是式子都含有1111n个1，从而找出突破口.11112004个122221002个2=11111002个100001002个011111002个 1 =11111002个1（100001002个0-1）=11111002个1（99991002个9）=11111002个1（11111002
26、个133）=A2所以，A33331002个 3.3计算66662004个666662003个625 的乘积数字和是多少?【分析与解】我们还是利用9999k 个9=10000 1k个 0来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成9999k个 9，于是我们就创造条件使用：66662004个6666672003个625=23（20049999个9）23（20049999个9）+1 25=23（10000 12004个0）23（100002004个0）+1 25=13132 100002004个 0-2 2（100002004个0）+125=2594 100004008个0-2 100002004个0
27、-2=100999994008个 9-50920049999个9=10040081111个 1-50 20041111个1=400812004511110055550个个(求差过程详见评注)=12004511110555502004个个所以原式的乘积为12004511110555502004个个那么原式乘积的数字和为12004+52004=12024 评注：对于400812004511110055550个个的计算，我们再详细的说一说400812004511110055550个个=200512003120050200451111000011110055550个个个个=20041200312005
28、9200451111099991 11110055550个个个个=2004120031200441111044449 111101个个个=2004120045111105555个个4计算199821998222222222个个的积?【分析与解】我们先还是同上例来凑成k99999个；199821998222222222个个19982199892999922229个个1998219980210000122229个个1998419980110000144449个个19984199841998014444000044449个个个1997419975144443555569个个(求差过程详见评注)我们知
29、道944444个能被 9 整除，商为：049382716又知 1997 个 4，9 个数一组，共221 组，还剩下8 个 4，则这样数字和为84=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2 个 5，数字和为45，可以被9 整除84444355个4能被 9 整除，商为04938271595；我们知道55559个5能被 9 整除，商为：061728395；这样 9 个数一组，共221 组，剩下的1995 个 5 还剩下 6 个 5，而 6 个 5 和 1 个、6，数字和 36，可以被 9 整除555566个5能被 9 整除，商为0617284于是，最终的商为：2200493827162210
30、6172839549382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284个个评注：对于199841998044440000个个-199844444个计算，我们再详细的说一说199841998044440000个个-199844444个199741998444439999个个 9+1-199844444个199741998444435555个个 5+1 1997419974444355556个个5.二、提出公因式有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等5.计算：（1998+19
31、981998+199819981998+,19981998个199819981998）（1999+19991999+199919991999,19981999个199919991999）1999【分析与解】19981998个199819981998199819981001个100110011001原式 1998（1+10001+100010001+,19981001个100110011001）1999（1+10001+100010001+,19981001个100110011001）19991998199919991998.6试求 1993123999999 乘积的数字和为多少?【分析与解】我
32、们可以先求出1993123 的乘积，再计算与(1000000 1)的乘积，但是 1993123还是有点繁琐设 1993123=M，则(1000123)123000M(2000 123=)246000，所以M为 6 位数，并且末位不是 0；令 M abcdef则 M 999999M（1000000-1）1000000M-M 000000abcdef-abcdef1 999999abcdeff+1abcdef1999999abcdeffabcdef+1 19999991abcdeffabcdef那 么 这 个 数 的 数 字 和 为：a+b+c+d+e+(f 1)+(9 a)+(9 b)+(9 c
33、)+(9 d)+(9 e)+(9 f+1)=96=54所以原式的计算结果的数字和为54评注：M k99999个的数字和为9k(其中 M的位数为x，且 xk)7 试求 999999999999999,99999256个99999512个999991024个乘积的数字和为多少?【分析与解】通过上题的计算，由上题评注：设 999999999999999,99999256个99999512个999991024个M，于是 M 999991024个类似的情况，于是，确定好M的位数即可；注意到 999999999999999,99999256个99999512个M，则 M10 100100013100000
34、000,256010000个010000512个010000k个其中 k=1+2+4+8+16+,+512=1024l=1023；即 M0100001023个，即 M最多为 1023 位数，所以满足的使用条件，那么M与999991024个乘积的数字和为10249=10240 1024=9216原式的乘积数字和为9216三、递推法的运用有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法 8 我 们 定 义 完 全 平 方 数A2=AA，即 一 个 数 乘 以 自 身 得 到 的 数 为 完 全 平 方 数；已 知：1234567654321 49 是一个完全平方数
35、，求它是谁的平方?【分析与解】我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121112；123211112；123432111112,于是，我们归纳为1234,n,4321=（1111n个1）2 所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321 49=1111111272=77777772所以，题中原式乘积为7777777 的平方评注：以上归纳的公式1234,n,4321（1111n个1）2，只有在n1 时，7 克的砝码取得较少，而3、5 克的砝码却取得较多，不是最少的取砝码情形所以共需2+1+17=20 个砝码，有3 克
36、、5 克和 7 克的砝码各2、1、17 个 10 5 种商品的价格如表81，其中的单位是元现用60 元钱恰好买了10 件商品，那么有多少种不同的选购方式?【分析与解】设 B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件，则有2.9 104.77.210.614.9bcdebcde=60184377120bcde=310，显然e只能取 0，1，2有184377bcd=310，其中 d 可取 0，1，2，3，4 (1)当 d=0 时，有1843bc=310，将系数，常数对6 取模得：c4(mod 6)，于是c最小取 4，那么有18b=310-434=138，b 不为自然数所
37、以d=0 时。不满足；(2)有1843bc=233，将系数，常数对6 取模得：c 5(mod 6),于是最小,那么有 18b=233-43 5=18,；(3)有1843bc=156，将系数，常数对6 取模得：c O(mod 6)，于是c最小取 0，那么有18b=156，b 不为自然数，所以d=2 时，不满足；(4)有1843bc=79，将系数、常数对6 取模得：c 1(mod 6)，于是最小那么有 18b=7943=36(5)当 d=4时，有1843bc=2，显然不满足有184377bcd=190，其中 d 可以取 0、1、2(1)有1843bc=190，将系数、常数对6 取模有：c 4(mo
38、d 6)，于是最小那么有 18b=190-43 4=18,(2)当 d=1时，有1843bc=113，将系数、常数对6 取模有：c 5(mod 6)，于是c最小取 5，即 18b+215=113，显然 d=1 时，不满足；(3)有1843bc=36,显然有时有184377bcd=70，d只能取 0，有1843bc=70，将系数、常数对6 取模有：c 4(rood 6)，于是c最小取 4，那么有18b+172=70，显然不满足最后可得到如下表的满足情况：共有 4 种不同的选购方法 11 有 43 位同学，他们身上带的钱从8 分到 5 角，钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只
39、有两种：3 分一张和5 分一张每11 人都尽量多买5 分一张的画片问他们所买的 3 分画片的总数是多少张?【分析与解】钱数除以5 余 0，1，2，3，4 的人，分别买0，2，4，1，3 张 3 分的画片因此，可将钱数 8 分至 5 角 2 分这 45 种分为 9 组，每连续5 个在一组，每组买3 分画片 0+2+4+1+3=10 张，9 组共买 109=90 张，去掉5 角 1 分钱中买的2 张 3 分画片，5 角 2 分中买的4 张 3 分画片，43 个人买的3分画片的总数是90-2-4=84 张 12 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2 的偶数都可以表示成两个质数之和”试将168 表示成两个两
40、位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1【分析与解】个位数字是1 的两位质数有11，31，41，61，71其中 168-11=157，168-31=137，168-41=127，168-61=107，都不是两位数，只有168-71=97 是两位数，而且是质数，所以168=71+97 是惟一解13(1)将 50 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?(2)将 60 分拆成 10 个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?【分析与解】(1)首先确定这10 个质数或其中的几个质数可以相等，不然10 个互不相等的质数和最小为 2+3+5
41、+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50所以，其中一定可以有某几个质数相等欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2，且最多可有9 个 2，那么最大质数不超过5029=32，而不超过32 的最大质数为31又有82502222331个，所以满足条件的最大质数为31(2)最大的质数必大于5，否则 10 个质数的之和将不大于50所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7607=8,4，8760=7+7+7+7+4个，而 4=2+2，恰好有8760=7+7+7+7+2+2个即 8 个 7 与 2个 2 的和为 60，显然其中最大的质数最小为7 1
42、4 有 30 个贰分硬币和8 个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1 分到 1 元之间的币值有多少种?【分析与解】注意到所有38 枚硬币的总币值恰好是100 分(即 1元)，于是除了50 分和 100 分外，其他 98 种币值就可以两两配对了，即 (1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)；,；(49，51)；每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50 分和 100 分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1 分，2 分，3 分，,，48 分和 49 分这 49 种情况 1分和 3 分的币值显然不能构成 2分，4分，6 分，,，46 分，48 分等
43、2；4 种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成 5分，7 分，9 分，,，47 分，49 分等 23 种奇数币值的只须分别在4 分，6 分,8 分，,46 分、48 分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37 分币值的，由于36 分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37 分综合以上分析，不能用30 个贰分和8 个伍分硬币构成的1 分到 1 元之间的币值只有四种，即1 分，3分，97 分，99 分 15 小明买红、蓝两支笔，共用了17 元两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小强打算用35 元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他
44、无论怎么买，都不能把35 元恰好用完那么红笔的单价是多少元?【分析与解】如下表先枚举出所有可能的单价如表1再依次考虑：首先，不能出现35 的约数否则只买这种笔就可以刚好用完35 元，所以含有7，5，1 的组合不可能然后，也不能出现3517=18 的约数否则先各买一支需17 元，那么再买这种笔就可以花去18 元，一共花 35 元所以含有9，6，3，2 的组合也不可能所以，只有13+4 的组合可能，经检验13x+4y=35 这个不定方程确实无自然数解所以红笔的单价为13元1庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知每7 个大和尚每天共吃41 个馒头，每29 个小和尚每天共吃 11 个馒头.平均每个和尚
45、每天恰好吃1 个馒头，问：庙里至少有多少个和尚2小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了15 天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15 天内它们共叫61 声问：波斯猫至少叫了多少声?3 张邱建算经百鸡问题：今有百钱，鸡翁直钱五，鸡母直钱三，鸡雏三直一,百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?第 9 讲 整数分拆 1一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数 2一般的有，把自然数m分成 n 个自然数的和，
46、使其乘积最大，则先把m进行对 n 的带余除法，表示成 m=np+r，则分成 r 个(p+1)，(n r)个 P 3把自然数S(S1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大 4把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+,+n 形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1 5若自然数N有 k 个大于 1 的奇约数，则N共有 k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法即当有 m个奇约数表示的乘积，则有奇约数2m1 个奇约数 6共轭分拆我们通
47、过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是 10 的另一种分拆方式我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆 1 写出 13=1+3+4+5 的共轭分拆【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为 4+3+3+2+1=13，即为 13=1+3+4+5的共轭分拆 2 电视台要播出一部30 集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可
48、能地少选择从 1 开始若干连续整数的和与30 最接近(小于 30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7 天，还剩下2 集，由于已经有2 集这种情况，就是把2 集分配到 7 天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加即把30 表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或 30=1+2+3+4+5+7+8 即最多可以播出7 天 3若干只同样的盒子排成一列，小聪把 42 个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子问：一共有多少只盒
49、子?【分析与解】设原来小球数最少的盒子里装有a 只小球，现在增加了b 只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a 个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数现在变成：将42 分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数?因为 42=67，故可以看成7 个 6 的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是 6 个 6，从而 42=3+4+5+6+7+8+9，一
50、共有 7 个加数；又因为 42=143，故可将42：13+14+15，一共有3 个加数；又因为 42=212，故可将42=9+10+11+12，一共有4 个加数所以原问题有三个解：一共有7 只盒子、4 只盒子或3 只盒子 4机器人从自然数1 开始由小到大按如下规则进行染色：凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23可表示成两个不同合数15 和 8 之和，23 要染红色；1 不能表示为两个不同合数之和，1 染黄色)问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000 个数是多少?请说明理由【分析与解】显然 1 要染黄色，2=1+1 也要染黄色，3=1+2，4=