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1、【精品推荐】球面几何【精品推荐】球面几何-选修修3-3-第第三三讲-球面上的基本球面上的基本图形解析形解析新课导入新课导入这次课学习球面上的基本图形这次课学习球面上的基本图形极和赤道极和赤道球面二角形球面二角形球面三角形球面三角形 感知球面上的基本图形感知球面上的基本图形 认识各种基本图形的特点认识各种基本图形的特点 掌握球面三角形的性质掌握球面三角形的性质知识与能力知识与能力教学目标教学目标 通过观察学习球面三角形的定义过程通过观察学习球面三角形的定义过程 进一步了解球面三角形在实际生活中的应用进一步了解球面三角形在实际生活中的应用过程与方法过程与方法 注意让学生从以前所学的知识中体会新的知
2、识注意让学生从以前所学的知识中体会新的知识 了解新旧知识的相识点和不同点了解新旧知识的相识点和不同点 培养合作交流意识培养合作交流意识 情感态度与价值观情感态度与价值观 球面三角形的概念球面三角形的概念 球面三角形与平面三角形的异同点球面三角形与平面三角形的异同点 会解简单的几何题会解简单的几何题教学重难点教学重难点一、极与赤道一、极与赤道 大家熟知，地球上有南极、北极、大家熟知，地球上有南极、北极、赤道我们在球面几何中同样引入赤道我们在球面几何中同样引入“极极”、“赤道赤道”的概念的概念O图图3-23-2N 图图3-23-2中，设中，设N为地球上的北极点，为地球上的北极点，O为球心，半径为球
3、心，半径ON垂直于赤道垂直于赤道 所在的平所在的平面，即过面，即过O且垂直于地球半径且垂直于地球半径ON的平面截的平面截地球球面所得的大圆是地球的地球球面所得的大圆是地球的赤道赤道 在球面上任取一点在球面上任取一点A，垂直于半径，垂直于半径OA的平面截球面得到大圆的平面截球面得到大圆LA，此时把，此时把A叫极叫极点（简称极），大圆点（简称极），大圆LA为以点为以点A为极点的为极点的赤道圆（简称赤道）赤道圆（简称赤道）O图图3-33-3NA 对于球面上任意一点，均可以得到对于球面上任意一点，均可以得到与它对应的一个赤道与它对应的一个赤道;对于球面上的赤道，对于球面上的赤道，可以得到与它对应的两个
4、极点可以得到与它对应的两个极点 结论结论探究探究 由概念看出，极与赤道有着对由概念看出，极与赤道有着对应关系，那么两者之间除此之外，应关系，那么两者之间除此之外，是否还有其他紧密的联系？是否还有其他紧密的联系？想一想想一想 分析：如果球的半径为分析：如果球的半径为R，那么极点，那么极点A与赤道上任一点与赤道上任一点B的距离为的距离为 ，（即，（即 圆的周长），如下图所示：圆的周长），如下图所示：OA图图3-43-4B由上面分析可知：由上面分析可知：1、球面上与点、球面上与点A的距离为的距离为 的点必在赤的点必在赤道道LA上上2、球面上任一点、球面上任一点A都对应它的一个赤道都对应它的一个赤道L
5、A，那么该点到赤道的距离均为，那么该点到赤道的距离均为 二、球面二角形二、球面二角形AOBC图3-5OBCA图3-6 由图由图3-53-5知，球面角知，球面角BAC的两边的两边AB、AC延长后交于延长后交于A，所组成的图形，所组成的图形ABAC成成为为球面二角形球面二角形又称（月形）又称（月形）把把 、称为球面二角形的称为球面二角形的边边，球面角球面角 是球面二角形的是球面二角形的夹角夹角 例例1 1 如图如图3-63-6，已知球面角，已知球面角 ，求证：月形求证：月形ABAC的面积等于球面面积的的面积等于球面面积的 倍倍 证明：证明：将月形将月形ABAC中的一条边中的一条边ACA在在球面上由
6、右向左旋转到边球面上由右向左旋转到边ACA的位置，则边的位置，则边ACA扫过整个球面，边扫过整个球面，边ACA旋转了一周，旋转了一周，故球面可以看作是球面角为故球面可以看作是球面角为 的月形的月形 若球面角若球面角 ，那么月形，那么月形ABAC的面积等于球面面积的的面积等于球面面积的 倍倍 所以，所以，月形月形ABAC面积面积=三、球面三角形三、球面三角形、球面三角形、球面三角形O图3-图3-前者是平面上的三角形，它是三条前者是平面上的三角形，它是三条线段首位顺次相接构成的封闭图形线段首位顺次相接构成的封闭图形 完全类似，可以把球面上的三条完全类似，可以把球面上的三条“直线直线”（三条大圆的圆
7、弧）首位顺次相（三条大圆的圆弧）首位顺次相接的封闭图形是接的封闭图形是球面三角形球面三角形（如图（如图-）思考如何度量球面如何度量球面ABC的边和内角？的边和内角？图图3-9AC BO 如图，连接球心如图，连接球心O与与A、B、C三点，由三点，由球面角的定义及度量可知，球面球面角的定义及度量可知，球面ABC的三的三个内角个内角A、B、C可分别由二面角可分别由二面角B-OA-C、A-OB-C、B-OC-A度量度量 如果设如果设 （均为弧度），那么球面均为弧度），那么球面ABC的三边的三边AB，BC，CA分别为分别为：其中其中r为球的半径若为球的半径若r=1,则则AB=，BC=，CA=2、三面角、
8、三面角 无论是测边长还是内角，都要连接无论是测边长还是内角，都要连接球心与球面三角形的顶点（图球心与球面三角形的顶点（图3-93-9），如），如果延长上图中的三条线段果延长上图中的三条线段OA、OB、OC使其成为射线，这三条射线构成三个平使其成为射线，这三条射线构成三个平面，把这样的图形叫做面，把这样的图形叫做三面角三面角（图（图3-3-1010），记为），记为O-ABCAC BO图图3-10 O点为三面角的顶点，点为三面角的顶点，OA、OB、OC称称为它的棱，为它的棱，AOB，BOC，COA称称为它为它的面角的面角 相邻两面构成的二面角是三面角的二相邻两面构成的二面角是三面角的二面角，一个三
9、面角有三个二面角面角，一个三面角有三个二面角 综上，球面综上，球面ABC的三个内角对应于三的三个内角对应于三面角面角O-ABC的三个二面角，三条边对应三的三个二面角，三条边对应三面角面角O-ABC的三个面角的三个面角 球面球面ABC 三面角三面角O-ABC内角内角二面角二面角边边面角面角 下面对应关系下面对应关系 我们可以利用三面角我们可以利用三面角的知识研究球面三角形的知识研究球面三角形 在球面上找到在球面上找到A、B、C关于球心关于球心O的的对称点对称点A、B、C,以对称点为顶点构成的以对称点为顶点构成的球面三角形球面三角形ABC，成为球面三角形，成为球面三角形ABC的的对顶三角形对顶三角
10、形（图（图3-11）3、对顶三角形、对顶三角形AC BO图图3-11两个对顶的球面三角两个对顶的球面三角形关于球心对称形关于球心对称4、球极三角形、球极三角形 对于任意球面对于任意球面ABC，假设与，假设与BC边所边所在大圆对应的极点为在大圆对应的极点为A、A，与边，与边AC所所在大圆对应的极点为在大圆对应的极点为B、B，与边，与边AB所所在大圆对应的极点为在大圆对应的极点为C、COABC图图3-123-12 上图中点上图中点A与与A，B与与B、C与与C，在，在同一个半球面内，称球面同一个半球面内，称球面ABC为球面为球面ABC的的极对称三角形极对称三角形，简称，简称球极三角形球极三角形.思考
11、思考 如果球面如果球面ABC是球面是球面ABC的的极对称三角形，那么球面极对称三角形，那么球面ABC的极的极对称三角形是什么？对称三角形是什么？球面球面ABC的极对称三角形是的极对称三角形是球面球面ABC总结：总结：球面球面ABC与它的球极与它的球极ABC互为极对称三角形互为极对称三角形动动脑动动脑 球面三角形与球极三角形之间还有球面三角形与球极三角形之间还有其他关系吗？其他关系吗？假定球面为单位球面，有下面结论：若假定球面为单位球面，有下面结论：若球面球面ABC的极对称三角形是的极对称三角形是ABC，且，且它们的内角（单位：弧度）与边长分别为它们的内角（单位：弧度）与边长分别为A、B、C，a，b，c和和A、B、C，a，b，c那么那么 课堂小结课堂小结1.球面三角形球面三角形2.三面角三面角3.对顶三角形对顶三角形4.球极三角形球极三角形谢谢大家！结结 语语