为线性插值基函数.ppt

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1、第第 2 2 章章 插插 值值 法法12.1 2.1 引引 言言 设函数 在区间 上有定义，且已知在点 上的值 ，函数 ，（1.1）成立，就称 为 的插值函数插值函数，点 称为插插值节点值节点，包含节点的区间 称为插值区间插值区间，求插值函数若存在一简单使的方法称为插值法插值法.2（1.2）若 是次数不超过 的代数多项式，其中 为实数，就称 为插值多项式插值多项式，本章只讨论多项式插值与分段插值.若 为分段的多项式，就称为分段插值分段插值.若 为三角多项式，就称为三角插值三角插值.即相应的插值法称为多项式插值多项式插值.3 从几何上看，插值法就是就曲线 ，使其通过给定的 个点 ，并用它近似已知

2、曲线 .图2-1见图2-1.4 本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式 的存在惟一性、收敛性及误差估计等.5 2.2.1 2.2.1 线性插值与抛物插值线性插值与抛物插值 对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.先讨论 的简单情形.问题问题：给定区间 及端点函数值 ，要求线性插值多项式 ，2.2 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值使它满足6 其几何意义就是通过两点 的直线.图2-2如图2-2.7由 的几何意义可得到表达式（点斜式），（两点式），（2.1）由两点式看出，是由两个线性函数（2.2）的线性组合得到，其系数分别为 及 ，即（

3、2.3）8显然，及 也是线性插值多项式，在节点 及称 及 为线性插值基函数线性插值基函数，上满足条件图形见图2-3.9图2-310下面讨论 的情形.假定插值节点为 ，要求二次插值多项式 几何上 是通过三点 的抛物线.可以用基函数的方法求 的表达式，此时基函数（2.4）使它满足是二次函数，且在节点上满足条件11 接下来讨论满足（2.4）的插值基函数的求法，以求 为例，由插值条件，它应有两个零点 及 ，可由插值条件 定出其中 为待定系数，于是可表示为12同理 二次插值基函数 ，在区间 上的图形见图2-4.13图2-414 利用 ，（2.5）显然，将 ,，代入(2.5),立即得到二次插值多项式它满足

4、条件得15 2.2.2 2.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过 个节点 的 次插值多项式 .（2.6）根据插值的定义 应满足先定义 次插值基函数.为构造 ，16 定义定义1 1 若 次多项式 在 个节点 （2.7）就称这 个 次多项式 为节点 上的 次插值基函数次插值基函数.上满足条件17显然它满足条件（2.7）.于是，满足条件（2.6）的插值多项式 可表示为（2.9）（2.8）与前面的推导类似，次插值基函数为 18由 的定义，知形如（2.9）的插值多项式 称为拉格朗拉格朗日插值多项式插值多项式，而(2.3)与(2.5)是 和 的特殊情形

5、.容易求得（2.10）若引入记号 19于是公式（2.9）可改写成（2.11）注意注意:次插值多项式 通常是次数为 的多项式，特殊情况下次数可能小于 .关于插值多项式存在唯一性有以下定理.20它可用来检验函数组 的正确性.故只能 .有 个零点 .假定还有 使 成立.于是有 对 成立，在次数不超过 的多项式集合 中，满足条件(2.6)的插值多项式 是存在唯一的.公式(2.11)所表示的 已证明了插值多项式的存在性，这与 次多项式只有 个零点的代数基本定理矛盾，定理定理1 1证明证明下面用反证法证明唯一性.它表明多项式21若取 ，则（2.13）根据存在唯一性定理，（2.12）可得若令22 2.2.3

6、 2.2.3 插值余项与误差估计插值余项与误差估计 若在 上用 近似 ，设 在 上连续，在 内存在，节点 是满足条件(2.6)的插值多项式，则对任何 ，插值余项（2.14）这里 且依赖于 ，是（2.10）所定义的.则其截断误差为也称为插值多项式的余项余项.定理定理2 223 由给定条件知 在节点 上为零，即 ，其中 是与 有关的待定函数.（2.15）现把 看成 上的一个固定点，作函数 根据插值条件及余项定义，可知 在点 及处均为零，故 在 上有 个零点，证明证明于是24根据罗尔定理，在 的两个零点间至少有一个零点，故 在 内至少有 个零点.对 再应用罗尔定理，可知 在 内至少有 个零点.依此类

7、推，在 内至少有一个零点，记为 ，使25于是 将它代入（2.15），就得到余项表达式（2.14）.余项表达式只有在 的高阶导数存在时才能应用.但 在 内的具体位置通常不可能给出，如果可以求出 那么插值多项式 逼近 的截断误差限是（2.16）且依赖于26当 时，线性插值余项为（2.17）当 时，抛物插值余项为（2.18）27由题意,取 用线性插值计算，的值并估计截断误差.例例1 1已知用线性插值及抛物插值计算解解取由公式（2.1）2829 由（2.17）,其截断误差其中 于是 30 用抛物插值计算，由公式（2.5）得 31 由（2.18）,截断误差限其中 于是 这个结果与6位有效数字的正弦函数表

8、完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了.32332.3 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式 2.3.1 2.3.1 均差及其性质均差及其性质 利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数 均要随之变化，整个公式也将发生变化.34（3.1）其中 为待定系数，确定.为了克服这一缺点，可把插值多项式表示为如下便于计算的形式 可由 个插值条件35 当 时，当 时，依此递推可得到 .当 时，推得推得由 ，由36 称 为函数 关于点 的一阶均差一阶均差.称为 的二阶均差二阶均差.定义定义2 237（3.2）一般地，称为

9、的 阶均差阶均差（均差也称为差商）.38 均差有如下的基本性质基本性质：（3.3）这个性质可用归纳法证明.1 阶均差可表为函数值 的线性组合，这性质也表明均差与节点的排列次序无关，称为均差的对称性.即39 3 若 在 上存在 阶导数，且节点（3.5）这公式可直接用罗尔定理证明.（3.4）2 由性质1及（3.2）可得 即则 阶均差与导数关系如下：40 均差计算可列均差表如下（表2-1）.41 2.3.2 2.3.2 牛顿插值公式牛顿插值公式 根据均差定义，把 看成 上一点，可得42只要把后一式代入前一式，就得到 其中（3.6）43（3.7）是由（2.10）定义的.显然，由（3.6）确定的多项式

10、满足插值条件，且次数不超过 ，称 为牛顿（牛顿（NewtonNewton）均差插值多项式均差插值多项式.系数 就是均差表2-1中加横线的各阶均差，它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.其系数为 它就是形如（3.1）的多项式，44 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点给出的情形或 导数不存在时也是适用的.（3.7）为插值余项，由插值多项式唯一性知，它与拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的.事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点.牛顿插值多项式的优点还在于它的递进性，当增加插值节点时，只要在原来插值多项式的基础上增加一项即可.45 首先根据给定函数表造出均差表.给出 的函数表（见表2

11、-2），求4次牛顿插值多项式，并由此计算 的近似值.例例2 246 从均差表看到4阶均差近似常数，5阶均差近似为0.故取4次插值多项式 做近似即可.于是 按牛顿插值公式，将数据代入47截断误差 这说明截断误差很小，可忽略不计.482.4 2.4 差分与等距节点插值差分与等距节点插值 实际应用时经常遇到等距节点的情形，这时插值公式可以进一步简化，计算也简单得多.2.4.1 2.4.1 差分及其性质差分及其性质 设函数 在等距节点 上的值 为已知，这里 为常数，称为步长步长.为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.49记号（4.1）（4.2）（4.3）分别称为 在 处以 为步长的向前差分向前

12、差分，向后差分向后差分 符号 ，分别称为向前差分算子向前差分算子，向后差分算子向后差分算子定义定义3 3及中心差分中心差分.及中心差分算子中心差分算子.50 利用一阶差分可定义二阶差分为 一般地可定义 阶差分阶差分为 中心差分 用到了 及 这两个值，但它们并不是函数表上的值.如果用函数表上的值，一阶中心差分应写成51这样，二阶中心差分为 除了已引入的差分算子外，常用算子符号还有不变算不变算子子 及移位算子移位算子 ，于是，由定义如下：可得52同理可得 53 差分基本性质.性质性质1 1其中 为二项式展开系数.例如各阶差分均可用函数值表示.（4.4）（4.5）54 性质性质2 2 例如，可用向前

13、差分表示 ，所以（4.6）可用各阶差分表示函数值.因为55 性质性质3 3 例如，对向前差分，均差与差分有密切关系.由定义56同理，对向后差分有（4.8）利用（4.7）及均差与导数的关系又可得到（4.9）其中 ，（4.7）一般地有 这就是差分与导数的关系.57 计算差分可列差分表（见表2-3），表中 为向前差分，为向后差分.58 2.4.2 2.4.2 等距节点插值公式等距节点插值公式 将牛顿均差插值多项式（3.6）中各阶均差用相应差分代替，就可得到各种形式的等距节点插值公式.如果节点 ，要计算 附近点 的函数 的值，这里只推导常用的前插与后插公式.于是可令59（4.10）将此式及均差与差分的

14、关系代入牛顿插值公式，则得（4.11）称为牛顿前插公式牛顿前插公式，由拉格朗日插值余项公式得60 如果要表示 附近的函数值 ，也可使用牛顿插值公式（3.6），但为了降低误差，插值点应按 的次序排列，作变换 ，并利用公式均差与向后差分关系公式（4.8），这时得61称其为牛顿后插公式牛顿后插公式，（4.13）其中（4.12）其余项62 通常求开头部分插值点附近函数值时使用牛顿前插公式，求插值节点末尾附近函数值时使用牛顿后插公式.如果用相同节点进行插值，则向前向后两种公式只是形式上差别，其计算结果是相同的.63为使用牛顿插值公式，先构造差分表（表2-4）.给出 在 处的函数值，试用4次等距节点插值公式计算 及例例3 3的近似值并估计误差.解解根据题意，插值条件为 由于 接近 ，所以应用牛顿向前插值公式计算 的近似值.64(注意：表中带下划线的数据为 点的各阶向前差分，双下划线为 点的各阶向后差分.)65取则用表2-4上半部的各阶向前差分，得 66由余项公式（4.11）得误差估计其中 67于是 计算 应使用牛顿向后插值公式，用差分表2-4中下半部的各阶向后差分，得 这里68其中 由余项公式（4.13）得误差估计69