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1、第五章第五章第五章第五章 基于状态窨模型的基于状态窨模型的基于状态窨模型的基于状态窨模型的 控制系统设计控制系统设计控制系统设计控制系统设计5.1 5.1 5.1 5.1 概述概述概述概述5.2 5.2 5.2 5.2 极点配置极点配置极点配置极点配置 5.3 5.3 5.3 5.3 线性二次型最优控制线性二次型最优控制线性二次型最优控制线性二次型最优控制 5.4 5.4 5.4 5.4 解耦控制解耦控制解耦控制解耦控制5.5 5.5 5.5 5.5 状态观测器设计状态观测器设计状态观测器设计状态观测器设计5.6 5.6 5.6 5.6 包含状态观测器的状态包含状态观测器的状态包含状态观测器的
2、状态包含状态观测器的状态 反馈控制系统反馈控制系统反馈控制系统反馈控制系统 5.1 5.1 概述概述考虑线性、定常、连续控制系统，其状态空间描述为：考虑线性、定常、连续控制系统，其状态空间描述为：+BCAxyu 系系统统设设计计问问题题就就是是寻寻找找一一个个控控制制作作用用u(t)，使使得得在在其其作作用用下下系系统统运运动动的的行行为为满满足足预预先先所所给给出出的的期期望望性性能能指指标标。设设计计问问题题中中的的性性能能指指标标可可分分为为非非优优化化型型性性能能指指标标和和优优化化型型性性能指标两种类型。能指标两种类型。o非非优优化化型型指指标标是是一一类类不不等等式式型型的的指指标
3、标，即即只只要要性性能能指指标标值值达达到到或或好好于于期期望望性性能能指指标就算实现了设计目标。标就算实现了设计目标。v以一组期望的闭环极点作为性能指标，相应的设计问题称为极点配置问题；以一组期望的闭环极点作为性能指标，相应的设计问题称为极点配置问题；v以使一个多输入以使一个多输入多输出系统实现多输出系统实现“一个输入只控制一个输出一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的设计作为性能指标，相应的设计问题称为解耦控制问题；问题称为解耦控制问题；o优化型指标则是一类极值型的指标，设计目标是要使性能指标在所有可能值中取得优化型指标则是一类极值型的指标，设计目标是要使性能指标在所有可能值中取得极
4、小（或极大）值；极小（或极大）值；v性能指标常取为一个相对于状态性能指标常取为一个相对于状态x(t)和控制和控制u(t)的二次型积分性能指标，其形式为：的二次型积分性能指标，其形式为：v设计的任务是确定一个控制设计的任务是确定一个控制u*(t)，使得相应的性能指标，使得相应的性能指标Ju*(t)取得极小值。取得极小值。从从线线性性系系统统理理论论可可知知，许许多多设设计计问问题题所所得得到到的的控控制制规规律律常常具具有有状状态态反反馈馈的的形形式式。但但是是由由于于状状态态变变量量为为系系统统的的内内部部变变量量，通通常常并并不不是是每每一一个个状状态态变变量量都都是是可可以以直直接接量量测
5、测的的。这这一一矛矛盾盾的的解解决决途途径径是是：利利用用可可量量测测变变量量构构造造出出不不能能量量测的状态，相应的理论问题称为状态重构问题，即状态观测器问题。测的状态，相应的理论问题称为状态重构问题，即状态观测器问题。v以以使使系系统统的的输输出出y(t)无无静静差差地地跟跟踪踪一一个个外外部部信信号号yr(t)作作为为性性能能指指标标，相相应应的的设设计计问问题题称称为为跟跟踪踪（或伺服）问题；（或伺服）问题；v以以使使系系统统的的状状态态x(t)或或输输出出y(t)）在在外外部部扰扰动动或或其其他他因因素素影影响响下下保保持持其其设设定定值值作作为为性性能能指指标标，相应的设计问题称为
6、调节问题。相应的设计问题称为调节问题。5.25.2极点配置极点配置 在状态反馈律在状态反馈律 作用下的闭环系统为：作用下的闭环系统为：-+GvuB+ACxyK状态反馈极点配置：通过状态反馈矩阵状态反馈极点配置：通过状态反馈矩阵K的选取，使闭环系统的极点，即的选取，使闭环系统的极点，即的特征值的特征值 恰好处于所希望的一组给定闭环极点的位置上。恰好处于所希望的一组给定闭环极点的位置上。线性定常系统可以用状态反馈任意配置极点的充分必要条件是：该系统必须是完全线性定常系统可以用状态反馈任意配置极点的充分必要条件是：该系统必须是完全能控的。所以，在实现极点的任意配置之前，必须判别受控系统的能控性。能控
7、的。所以，在实现极点的任意配置之前，必须判别受控系统的能控性。单输入系统的极点配置单输入系统的极点配置 Bass-Gura算法：算法：设受控系统的闭环特征多项式分别为：设受控系统的闭环特征多项式分别为：则状态反馈阵则状态反馈阵K为：为：函数函数bass_pp()调用格式为调用格式为:K=bass_pp(A,b,p)其中其中:(A,b)为状态方程模型为状态方程模型,p为包含期望闭环极点位置的列向量为包含期望闭环极点位置的列向量 返回变量返回变量K为状态反馈行向量为状态反馈行向量,Ackermann算法：算法：状态反馈阵为状态反馈阵为 控制系统工具箱中控制系统工具箱中acker()函数的调用格式为
8、：函数的调用格式为：K=acker(A,b,p)acker()函数可以求解多重极点配置的问题，但不能求解多输入系统的问题。函数可以求解多重极点配置的问题，但不能求解多输入系统的问题。多输入系统的极点配置多输入系统的极点配置 疋田算法：疋田算法：设设 ，表示闭环系统的极点及其相对应的特征向量。，表示闭环系统的极点及其相对应的特征向量。假定假定 与与A阵的特征值相异，且阵的特征值相异，且有有 即即则则令令 ，于是，于是 ，对于给定，对于给定 ，可以求出，可以求出一般说来一般说来 可逆，否则重新选择可逆，否则重新选择 。疋田算法的具体步骤：疋田算法的具体步骤：首先，适当选择首先，适当选择 ，从而计算
9、特征向量，从而计算特征向量再确定状态反馈阵再确定状态反馈阵说明了多输入系统极点配置问题中说明了多输入系统极点配置问题中的选择有较大的任意性。的选择有较大的任意性。确定状态反馈阵确定状态反馈阵K K的非唯一性。的非唯一性。pitian()pitian()函数的调用格式：函数的调用格式：K=pitian(A,B,p)的选取方法是：选取的选取方法是：选取 中每前中每前r r列构成列构成r r阶单位阵，直至到第阶单位阵，直至到第n n列列 若假定若假定 与与A的特征值有相同的，或的特征值有相同的，或 中有重根时，中有重根时，则则可可以以对对特特征征值值相相同同的的一一个个或或几几个个加加上上一一定定的
10、的微微小小偏偏量量，使使之之满满足足上上面面第第一一种种情形的条件。然后，再重新进行极点配置。如果效果不够理想，那么还可重新选择情形的条件。然后，再重新进行极点配置。如果效果不够理想，那么还可重新选择阵来进行配置。阵来进行配置。place()函数调用格式为：函数调用格式为：K=place(A,B,p)K,prec,message=place(A,B,p)控制系统工具箱中控制系统工具箱中place()函数是基于鲁棒极点配置的算法，用来求取状态反馈函数是基于鲁棒极点配置的算法，用来求取状态反馈阵阵K，使得多输入系统具有指定的闭环极点，使得多输入系统具有指定的闭环极点P，即，即 。prec为为闭闭环
11、环系系统统的的实实际际极极点点与与期期望望极极点点P的的接接近近程程度度，prec中中的的每每个个量量的的值值为为匹匹配配的的位位数数。如如果果闭闭环环系系统统的的实实际际极极点点偏偏离离期期望望极极点点10%以以上上，那那么么message将将给给出出警警告告信信息息。函数函数place()不适用于含有多重期望极点的配置问题。不适用于含有多重期望极点的配置问题。例例5-1：5.2.3 5.2.3 用极点配置设计调节系统用极点配置设计调节系统 例例5-2：已知一个倒立摆系统的数学模型为：已知一个倒立摆系统的数学模型为：其其中中，状状态态变变量量为为 ，输输出出变变量量为为 ，摆摆的的质质量量
12、，小车的质量，小车的质量 ，摆的长度，摆的长度 。设计要求：对于任意给定的角度设计要求：对于任意给定的角度 和（或和（或 ）角速度的初始条件，设计一个使倒立）角速度的初始条件，设计一个使倒立摆保持在垂直位置的控制系统。同时要求在每一控制过程结束时，小车返回到参考位摆保持在垂直位置的控制系统。同时要求在每一控制过程结束时，小车返回到参考位置置x=0。而指标要求为：闭环主导极点的阻尼。而指标要求为：闭环主导极点的阻尼 ，调整时间秒，调整时间秒 。解：解：1、将给定、将给定 的的值代入的的值代入上上式，得到：式，得到：2、状态反馈阵、状态反馈阵K的求取：的求取：检验该系统是否状态完全能控。检验该系统
13、是否状态完全能控。系统是完全能控的系统是完全能控的 根据性能指标选择所期望的闭环极点位置。根据性能指标选择所期望的闭环极点位置。3 3、求闭环系统对初始条件的响应：、求闭环系统对初始条件的响应：假设初始条件为假设初始条件为 ，而闭环系统的状态空间描述为，而闭环系统的状态空间描述为 ，摆将返回到参考位置，其结果是令人满意的。摆将返回到参考位置，其结果是令人满意的。5.2.4 5.2.4 用极点配置设计伺服系统用极点配置设计伺服系统 含有积分器的含有积分器的I型伺服系统设计型伺服系统设计-+vuk1-+y=x1K2Kny=cx假定：假定：r=m=1；前馈通道含有一个积分器；参考输入；前馈通道含有一
14、个积分器；参考输入v是阶跃信号是阶跃信号状态反馈控制系统：状态反馈控制系统：该闭环系统的动态特性由该闭环系统的动态特性由 来描述。来描述。设设计计I型型伺伺服服系系统统，使使得得闭闭环环极极点点配配置置到到所所期期望望的的位位置置上上。所所设设计计的的将将是是一一个个渐渐近稳定系统，近稳定系统，将趋于常值，将趋于常值，将趋于零。将趋于零。在稳态时在稳态时 I型伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件型伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件e e(0)(0)，设计一个渐近稳定，设计一个渐近稳定的调节系统，使得的调节系统，使得e(e(t)t)趋于零。趋于零。如果受控系统是状态完全能控的，
15、则通过指定的所期望的特征值如果受控系统是状态完全能控的，则通过指定的所期望的特征值对对 阵采用极点配置的方法来确定阵采用极点配置的方法来确定K K 阵。阵。x(t)x(t)和和u(t)u(t)的稳态值求法的稳态值求法:在稳态时，有在稳态时，有 所期望的特征值均在所期望的特征值均在s复平面的左半部，所以复平面的左半部，所以 阵可逆。从而，阵可逆。从而，同理同理:pp_sifuI()函数的调用格式为：函数的调用格式为：K,x_ss,y_ss,u_ss=pp_sifuI(A,b,c,p,v)其中：其中：v为为参考参考阶跃输阶跃输入信号的幅入信号的幅值值。而返回的。而返回的变变量量K为为反反馈馈增益增
16、益阵阵，x_ss,y_ss,u_ss分分别为稳态值别为稳态值 例例5-3：设系统的传递函数为：设系统的传递函数为：设计一个设计一个I型伺服系统使得闭环极点为型伺服系统使得闭环极点为 ，设参考输入，设参考输入 。不含有积分器的不含有积分器的I型伺服系统设计型伺服系统设计 如果系统是如果系统是0型系统，则型系统，则I型伺服系统设计的基本原则是在误差比较器和系统间的型伺服系统设计的基本原则是在误差比较器和系统间的前馈通道中插入一个积分器前馈通道中插入一个积分器-+u-+CyKvKIbAx-假定：假定：r=m=1r=m=1；前馈通道不含积分器；受控系统是完全能控的，且其传递函数在；前馈通道不含积分器；
17、受控系统是完全能控的，且其传递函数在原点处没有零点原点处没有零点。且。且状态反馈控制方案：状态反馈控制方案：设计一个渐近稳定系统，使得设计一个渐近稳定系统，使得 分别趋于常值。因此，在稳态时分别趋于常值。因此，在稳态时当稳态时当稳态时 由定义：由定义：设计设计I型伺服系统的基本思想：设计一个稳定的型伺服系统的基本思想：设计一个稳定的(n+1)阶调节系统，对于给定的任阶调节系统，对于给定的任意初始条件意初始条件e(0)e(0)，将使，将使e(t)e(t)趋于零。趋于零。的稳态值的求取：的稳态值的求取：由于在稳态时，由于在稳态时，pp_sifu0()函数的调用格式为：函数的调用格式为：K,kI,x
18、,y,t,x_ss,y_ss,u_ss,zeta_ss=pp_sifu0(A,b,c,p,v,t)t t为时间向量，为时间向量，K KI I为积分增益常数，为积分增益常数，x,y分别为所设计系统的状态、输出响应向量，分别为所设计系统的状态、输出响应向量，zeta_ss为稳态值为稳态值 例例5-4：考虑例考虑例5-2所示的倒立摆系统，所示的倒立摆系统，设计要求：希望尽可能地保持倒立摆垂直，并控制小车的位置。设计要求：希望尽可能地保持倒立摆垂直，并控制小车的位置。指标要求：在小车的阶跃响应中，约有指标要求：在小车的阶跃响应中，约有45秒的调整时间和秒的调整时间和15%16%的最大超调量。的最大超调
19、量。解解：为为控控制制小小车车的的位位置置，需需建建造造一一个个I型型伺伺服服系系统统。由由于于安安装装在在小小车车上上的的倒倒立立摆摆系系统统没没有有积积分分器器，因因此此将将位位置置信信号号x反反馈馈到到输输入入端端，并并且且在在前前馈馈通通道道中中插插入入一一个个积积分分器，并将小车的位置作为系统的输出，即器，并将小车的位置作为系统的输出，即 。1、根据指标要求确定闭环主导极点：、根据指标要求确定闭环主导极点：选择期望的闭环极点为：选择期望的闭环极点为：2、确定倒立摆伺服系统的设计参数、确定倒立摆伺服系统的设计参数:在任意的设计问题中，如果响应速度和阻尼不十分满意，则必须修改所期望的闭环
20、极在任意的设计问题中，如果响应速度和阻尼不十分满意，则必须修改所期望的闭环极点，并确定一个新的矩阵点，并确定一个新的矩阵 。必须反复进行计算机仿真，直到获得满意的结果为止。必须反复进行计算机仿真，直到获得满意的结果为止。5.3 5.3 线性二次型最优控制线性二次型最优控制考虑受控系统，其性能指标为：考虑受控系统，其性能指标为：线性二次型最优控制问题，简称为线性二次型最优控制问题，简称为LQLQ（Linear QuadraticLinear Quadratic）问题。就是寻找一个控制）问题。就是寻找一个控制u u*(t t)，使得系统沿着由指定初态，使得系统沿着由指定初态x x0 0出发的相应轨
21、线出发的相应轨线x x*(t t)，其性能指标，其性能指标J J取得极小值。取得极小值。有限时间有限时间LQLQ问题问题:终端时刻终端时刻t tf f是固定的是固定的,且为有限值且为有限值 无限时间无限时间LQLQ问题问题:t tf f=，调节问题调节问题v状态调节问题状态调节问题设计最优控制设计最优控制u u*(t t)，使在其作用下把系统由初始状态，使在其作用下把系统由初始状态x x0 0驱动到零平衡状态驱动到零平衡状态x xe e=，同，同时性能指标时性能指标J J取得极小值。取得极小值。v输出调节问题输出调节问题 跟踪问题跟踪问题要求在使系统的输出要求在使系统的输出y y(t t)跟踪
22、已知的或未知的参考信号跟踪已知的或未知的参考信号y yr r(t t)的同时，使某个相应的二的同时，使某个相应的二次型性能指标次型性能指标J J为极小。为极小。无限时间无限时间LQLQ状态调节问题状态调节问题 对于受控系统对于受控系统,其无限时间其无限时间LQLQ状态调节问题中的性能指标为：状态调节问题中的性能指标为：为能控的为能控的为能观测为能观测 +BAxuR-1BTP 对于无限时间对于无限时间LQLQ状态调节问题，状态调节问题，u u*(t t)为为其最优控制的充分必要条件是其具有形式：其最优控制的充分必要条件是其具有形式：是唯一的常数阵。是唯一的常数阵。最优轨线最优轨线x x*(t t
23、)为为 的解，最优性能指标为的解，最优性能指标为:为下述为下述RiccatiRiccati矩阵代数方程的正定对称解阵：矩阵代数方程的正定对称解阵：设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的。设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的。关于无限时间关于无限时间LQ状态调节问题的鲁棒性有以下结论：状态调节问题的鲁棒性有以下结论：对于无限时间定常对于无限时间定常LQ状态调节问题的最优调节系统，取加权阵状态调节问题的最优调节系统，取加权阵 则则系系统统的的每每一一个个反反馈馈控控制制回回路路均均具具有有：（1）至至少少的的相相角角裕裕度度 ；（2）从从0.5到无穷大的幅值裕度。到无穷大的幅值裕度。控制系统工具箱函
24、数控制系统工具箱函数lqr()的调用格式为：的调用格式为：K,P,e=lqr(A,B,Q,R)或或K,P,e=lqr(A,B,Q,R,N)其其中中：K,P,e=lqr(A,B,Q,R,N)设设计计线线性性定定常常、连连续续时时间间系系统统的的最最优优反反馈馈增增益益矩矩阵阵K，使使性能指标性能指标达到极小。达到极小。返回返回Riccati矩阵代数方程矩阵代数方程 的解的解P及闭环系统的特征值及闭环系统的特征值e。，当，当N缺省时，默认取缺省时，默认取 N=0控制系统工具箱还提供了使用控制系统工具箱还提供了使用Schur法的线性二次型调节问题设计的函数法的线性二次型调节问题设计的函数lqr2()
25、例例5-5：考虑例考虑例5-2所示的倒立摆系统，按不含积分器的所示的倒立摆系统，按不含积分器的I型伺服系统设计的方法，型伺服系统设计的方法，倒立摆系统就变成了一个闭环系统，其误差方程为：倒立摆系统就变成了一个闭环系统，其误差方程为：要求：试确定反馈增益阵要求：试确定反馈增益阵 ，使得性能指标，使得性能指标取得极小。式中选取：取得极小。式中选取：对于受控系统对于受控系统,其无限时间其无限时间LQ输出调节问题中的性能指标为：输出调节问题中的性能指标为：完全能控完全能控完全能观测完全能观测完全能观测完全能观测+BAxuR-1BTPCyx(0)对于无限时间对于无限时间LQLQ输出调节问题，输出调节问题
26、，u u*(t t)为其最优控制的条件是其具有形式：为其最优控制的条件是其具有形式：是唯一的常数阵。是唯一的常数阵。最优轨线最优轨线x x*(t t)为为 的解，最优性能指标为的解，最优性能指标为:无限时间无限时间LQLQ输出调节问题输出调节问题 为下述为下述RiccatiRiccati矩阵代数方程的正定对称解阵：矩阵代数方程的正定对称解阵：设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的。设计所得到的闭环控制系统是渐近稳定的。控制系统工具箱函数控制系统工具箱函数lqry()的调用格式为：的调用格式为：K,P,e=lqry(sys,Q,R)或或K,P,e=lqry(sys,Q,R,N)其其中中：K,P,e
27、=lqry(sys,Q,R,N)设设计计线线性性定定常常、连连续续时时间间系系统统的的最最优优反反馈馈增增益益矩矩阵阵K，使使性能指标性能指标达到极小。达到极小。的解的解P及闭环系统的特征值及闭环系统的特征值e。返回返回Riccati矩阵代数方程矩阵代数方程，当，当N缺省时，默认取缺省时，默认取 N=0例例5-6：设受控系统的状态空间表达式为：设受控系统的状态空间表达式为：而性能指标为：而性能指标为：试求使系统的性能指标试求使系统的性能指标J为极小值时的最优反馈增益矩阵为极小值时的最优反馈增益矩阵K。5.3.3 5.3.3 最优跟踪问题最优跟踪问题yrx+AgPCy(PB R-1BTAT)1C
28、TQBR-1BT+lqr_c()函数的调用格式为：函数的调用格式为：P,g,K1,K2=lqr_c(A,B,C,Q,R,yr)其中其中A，B，C为受控系统的状态空间描述，为受控系统的状态空间描述，Q，R为加权阵，为加权阵，yr为参考输出向量为参考输出向量5.4 5.4 解耦控制解耦控制 -+LvuB+ACxyK decoupling()函函数数实实现现动动态态解解耦耦控控制制算算法法，decoupling_s()函函数数实实现现静静态态解解耦耦控控制算法，其调用格式为：制算法，其调用格式为：G,K,L=decoupling(A,B,C),vv,K,L=decoupling_s(A,B,C,p,
29、dd)5.5 5.5 状态观测器设计状态观测器设计5.5.1 全维状态观测器设计全维状态观测器设计uBACy+A-LCBLxu+例例5-10：同例同例5-2的状态空间模型的状态空间模型,并将并将两个极点配置到两个极点配置到s=-1,s=-2。降维状态观测器设计降维状态观测器设计 +-+BQ2uyjiaweiguanceqi()函数实现上述降维状态观测器的设计，其调用格式为：函数实现上述降维状态观测器的设计，其调用格式为：L,Az,By,Bu,Cz,Dy=jiangweiguanceqi(A,B,C,R,p)5.6 5.6 包含状态观测器的包含状态观测器的状态反馈控制系统状态反馈控制系统 -+K
30、yv受控系统受控系统状态观测器状态观测器u包含状态观测器的状态反馈控制系统的设计分两步走。包含状态观测器的状态反馈控制系统的设计分两步走。第第一一步步：按按照照系系统统性性能能指指标标要要求求（如如：极极点点配配置置、线线性性二二次次型型最最优优控控制制、解解耦耦控控制制等要求），有选择地采用前面几节所讨论的各种方法加以设计，从而满足其系统要求；等要求），有选择地采用前面几节所讨论的各种方法加以设计，从而满足其系统要求；第第二二步步：在在不不考考虑虑第第一一步步设设计计的的存存在在的的情情况况下下，独独立立地地设设计计状状态态观观测测器器，使使之之满满足足其所期望的极点位置要求。其所期望的极点
31、位置要求。在第二步中，可以采用在第二步中，可以采用5-5节所介绍的方法加以设计与实现状态观测器。节所介绍的方法加以设计与实现状态观测器。5.6.1 5.6.1 基于全维状态观测器的控制器基于全维状态观测器的控制器 5.6.2 5.6.2 基于全维状态观测器的调节器基于全维状态观测器的调节器 -+yr=0Gc(S)G(S)u控制系统工具箱中的函数控制系统工具箱中的函数reg()，用来设计基于全维状态观测器的调节器，其调用格式为：，用来设计基于全维状态观测器的调节器，其调用格式为：Gc=reg(G,k,l)其中其中G为受控系统的状态空间表示，为受控系统的状态空间表示，k,l分别表示状态反馈的行向量分别表示状态反馈的行向量k和全维状态观测器和全维状态观测器的列向量的列向量l。Gc为基于全维状态观测器的调节器的状态空间表示。为基于全维状态观测器的调节器的状态空间表示。