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1、1一、问题的提出二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质第一节 定积分的概念与性质2abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、问题的提出3abxyoabxyo想法：想法：用多个矩形面积的和近似取代曲边梯形面积！显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积梯形面积（三个小矩形）（三个小矩形）（六个小矩形）（六个小矩形）4求曲边梯形面积的步骤：求曲边梯形面积的步骤：5实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）想法：想法：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到
2、路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求极限得路程的精确值61 1、分割、分割3 3、求和、求和4 4、取极限、取极限7上述两个问题的共性:1、解决问题的方法步骤相同:8二、定积分的定义定义定义9被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和10说明：说明：11定理定理 1 1定理定理 2 2 存在定理存在定理12曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义abxyoyxoab1314例例 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解1516解：原式解：原式例例 将和式极限
3、：将和式极限：表示成定积分表示成定积分.17对定积分的对定积分的补充规定补充规定:在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小四、定积分的性质（此性质可以推广到有限多个函数的情况）（此性质可以推广到有限多个函数的情况）性质性质1 11819例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）于是，于是，推广推广：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,下式总成立下式总成立.2021解解令令于是于是22证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 623解解24解解2526证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式27积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：28解解 由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使2930313233小结小结1.定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限 2.定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限3435思考题思考题36思考题解答思考题解答例例