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1、学案学案4 平面向量应用举例平面向量应用举例 向量的向量的应用应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何会用向量方法解决某些简单的平面几何问题问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题他一些实际问题.在前几年的高考命题中在前几年的高考命题中,主要考查用向量知识解决主要考查用向量知识解决夹角和距离问题夹角和距离问题,随着新课标的推行和普及随着新课标的推行和普及,在高考命题在高考命题中中,本学案内容将会越来越受重视本学案内容将会越来越受重视,用向量知识解决物理用向量知识解决物理问题问题,进行学科之间的交叉和渗透也是将来的一种命题进行学科之间的交
2、叉和渗透也是将来的一种命题趋势趋势.1.向量在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件平行（共线）的充要条件 ab .(2)证明垂直问题证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件常用向量垂直的充要条件ab .(3)求夹角问题求夹角问题 .(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模模|a|=或或|AB|=|AB|=.(5)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系的关系 设直线设直线l的倾斜角为的倾斜角为，斜率为，斜率为k，
3、向量，向量a=(a1,a2)平行于平行于l，则，则k=;如果已知直线的斜率如果已知直线的斜率k=，则向量，则向量(a1,a2)与向量与向量(1,k)一定都与一定都与l .利用夹角公式利用夹角公式 平行平行 与与a=(a1,a2)平行且过平行且过P(x0,y0)的直线方程为的直线方程为 ;过点过点P(x0,y0)且与向量且与向量a=(a1,a2)垂直的直线方程为垂直的直线方程为 .(6)两条直线的夹角两条直线的夹角 已知直线已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则则n1=(A1,B1)与与l1垂直，垂直，n2=(A2,B2)与与l2垂直，则垂直，则l1和和l2
4、的夹角便是的夹角便是n1与与n2的夹角（或其补角）的夹角（或其补角）.设设l1与与l2的夹角是的夹角是，则有，则有cos=.a2x-a1y+a1y0-a2x0=0 a1x+a2y-a2y0-a1x0=0|cos|2.向量在物理中的应用(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用.(2)向量在速度的分解与合成中的应用向量在速度的分解与合成中的应用.考点考点考点考点1 1 以向量为载体的综合问题以向量为载体的综合问题以向量为载体的综合问题以向量为载体的综合问题【评析】【评析】【评析】【评析】本题主要以向量作为载体，实质上本题主要以向量作为载体，实质上本题主
5、要以向量作为载体，实质上本题主要以向量作为载体，实质上是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的是考查三角中的求值问题，注意倍角公式的运用运用运用运用.【解析】【解析】【解析】【解析】已知向量已知向量m=(2sinx,cosx),n=(cosx,2cosx),定义定义函数函数f(x)=loga(mn-1)(a0,且且a1).(1)求函数求函数f(x)的最小正周期；的最小正周期；(2)确定函数确定函数f(x)的单调递增区间的单调递增区间.考点考点考点考点2 2 向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应用向量在三角函数中的应
6、用向量在三角函数中的应用 【分析】【分析】【分析】【分析】通过向量的数量积运算得到一个复合函通过向量的数量积运算得到一个复合函数数f(x)=loga 2sin(2x+),根据复合函数的单调性进根据复合函数的单调性进行解决行解决.【解析】【解析】【解析】【解析】(1)因为因为mn=2 sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,所以所以f(x)=loga 2sin(2x+)，故，故T=.(2)令令g(x)=2sin(2x+),则则g(x)单调递增的正值区间是单调递增的正值区间是(k-,k+，kZ,g(x)单调递减的正值区间是单调递减的正值区间是k+,k+)
7、,kZ.当当0a1时，函数时，函数f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(k-,k+，kZ.【评析】【评析】【评析】【评析】这类问题主要是向量与三角知识点的综合这类问题主要是向量与三角知识点的综合.解决问题的主要方法是解决问题的主要方法是:通过向量的运算把问题转化通过向量的运算把问题转化为三角问题为三角问题,再利用三角函数的知识解决再利用三角函数的知识解决.已知向量已知向量a=(sin,1),b=(1,cos),-.(1)若若ab,求求;(2)求求|a+b|的最大值的最大值.(1)ab ab=0 sin+cos=0 =-.(2)|a+b|当当sin(+)=1时，时，|a+b|有最大值有最大值
8、,此时此时=,最大值最大值为为 .在直角坐标系在直角坐标系xOy中，以中，以O为圆心的圆与直线为圆心的圆与直线x-y=4相切相切.（1）求圆）求圆O的方程；的方程；（2）圆）圆O与与x轴相交于轴相交于A,B两点，圆内的动点两点，圆内的动点P使使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列，求成等比数列，求PAPB的取值范围的取值范围.考点考点考点考点3 3 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用 【分析】【分析】（1）利用圆心到直线的距离求出）利用圆心到直线的距离求出r.(2)设点利用坐标求取值范围设点利用坐标求取值范围.【解析】【解析】（1）依题设
9、，圆）依题设，圆O的半径的半径r等于原点等于原点O到直线到直线x-y=4 的距离，即的距离，即r=2，得圆，得圆O的方程为的方程为x2+y2=4.(2)不妨设不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1x2.由由x2=4，得，得A(-2,0),B(2,0).设设P(x,y),由由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列，成等比数列，得得 ，即即x2-y2=2.PAPB=(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).由于点由于点P在圆在圆O内，故内，故 x2+y24 x2-y2=2,由此得由此得y21.所以所以PAPB的取值范围为的取值范围为-2,0).【评析】【评析】【评析】
10、【评析】向量与解析几何的综合是高考中的热点向量与解析几何的综合是高考中的热点,主要主要题型有题型有:向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何问题的结合；何问题的结合；将向量作为描述问题或解决问题的工将向量作为描述问题或解决问题的工具；具；以向量的坐标运算为手段，考查直线与圆锥曲线以向量的坐标运算为手段，考查直线与圆锥曲线相交、轨迹等问题相交、轨迹等问题.【解析】【解析】1.用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点
11、，应用向量的运算、性质、法则，推出所要求证的结论向量的运算、性质、法则，推出所要求证的结论.2.要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件及要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件及几何性质的应用几何性质的应用.1.1.向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性显示出了它的
12、优越性显示出了它的优越性显示出了它的优越性.在处理解析几何问题时，需要将在处理解析几何问题时，需要将在处理解析几何问题时，需要将在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决出方程，从而使问题解决出方程，从而使问题解决出方程，从而使问题解决.2.2.在用向量解决物理中的问题时，要注意读懂题在用向量解决物理中的问题时，要注意读懂题在用向量解决物理中的问题时，要注意读懂题在用向量解决物理中的问题时，要注意读懂题意，将实际问题转化为数学问题；在给出答案时也要意，将实际问题转化为数学问题；在给出答案时也要意，将实际问题转化为数学问题；在给出答案时也要意，将实际问题转化为数学问题；在给出答案时也要考虑所给出的结果要满足实际意义考虑所给出的结果要满足实际意义考虑所给出的结果要满足实际意义考虑所给出的结果要满足实际意义.名师伴你行