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1、第四章 多元函数微积分第一节第一节 多元函数微分多元函数微分第二节第二节 多元函数积分多元函数积分第一节 多元函数微分一、多元函数的定义一、多元函数的定义二、二元函数的极限与连续二、二元函数的极限与连续三、偏导数及全微分三、偏导数及全微分四、多元函数的极值四、多元函数的极值一、多元函数的定义1.预备知识预备知识1 1）邻域）邻域点集点集称为点称为点 P P0 0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,在空间中在空间中,(球邻域球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,也可写成也可写成点点 P P0 0 的去心邻域记为的去心邻域记为平面上的方邻域为平面上的方邻域为。可
2、以互相包含可以互相包含.在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域因为方邻域与圆邻域2 2）区域）区域设有点集设有点集 E E 及一点及一点 P P:若存在点若存在点 P P 的某邻域的某邻域 U(P)U(P)E E,若存在点若存在点 P P 的某邻域的某邻域 U(P)U(P)E=E=,则称则称 P P 为为 E E 的内点；的内点；则称则称 P P 为为 E E 的外点的外点;则称则称 P P 为为 E E 的边界点的边界点.的外点的外点,显然显然,E E 的内点必属于的内点必属于 E E,E E 的外点必不属于的外点必不属于 E E,E E 的的边界点
3、可能属于边界点可能属于 E,E,也可能不属于也可能不属于 E E.若对点若对点 P P 的任一邻域的任一邻域 U(P)U(P)既含既含 E E中的内点也含中的内点也含 E E E E的边界点的全体称为的边界点的全体称为E E的边界的边界 若集若集 D D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D D 的折线相连的折线相连,则称则称 D D 是连通的，即是连通的，即 D D 为连通集为连通集 若点集若点集 E E 的点都是内点，则称的点都是内点，则称 E E 为开集；为开集；若点集若点集 E E E E ,则称则称 E E 为闭集；为闭集；开区域连同它的边界一起称为闭区域开区域连
4、同它的边界一起称为闭区域.连通的开集称为开区域连通的开集称为开区域,简称区域简称区域;若存在某一正数若存在某一正数 r r,使使E E U（o，r），其中，其中o o是原点坐标，则是原点坐标，则称称E E为有界点集；否则称为无界点集为有界点集；否则称为无界点集例如，在平面上例如，在平面上开区域开区域闭区域闭区域2.多元函数定义多元函数定义 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式多变量之间依赖关系举例：定义定义 设非空点集设非空点集点集点集 D D 称为函数的定义域称为函数的定义域;数集数集称为函数的值域称为函数的值域.特别地特别地,当当 n=2n=2 时
5、时,有二元函数有二元函数当当 n=3n=3 时时,有三元函数有三元函数映射映射称为定义称为定义在在 D 上上的的 n n 元函数元函数,记作记作二、二元函数的极限与连续1.二元函数的极限二元函数的极限 则称则称 A 为函数为函数 z=f(x,y)当当 时的极时的极限限，设函数设函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义(点点 P0 可以除外可以除外)，如果当如果当点点 P(x,y)无限地接近于点无限地接近于点 P0(x0,y0)时，时，记为定义定义 1恒有恒有 为了区别于一元函数的极限，二元函数的极限为了区别于一元函数的极限，二元函数的极限也叫做二重
6、极限也叫做二重极限例例当当(x,y)沿沿 y 轴趋向于原点轴趋向于原点，解解考察函数考察函数但是，当点但是，当点(x,y)沿着直线沿着直线 y=k x(k 0)趋向于趋向于点点(0,0)时时，即当即当 y=k x，而当点而当点(x,y)沿沿 y 轴趋向于原点，轴趋向于原点，有有随着随着 k 的取值不同的取值不同，时，时，设函数设函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)的一个邻域内有定义，的一个邻域内有定义，2.二元函数的连续性二元函数的连续性 且等且等于它在点于它在点 P0 处的函数值，处的函数值，如果当点如果当点 P(x,y)趋向于点趋向于点P0(x0,y0)时，时，函数函数 z=
7、f(x,y)的的极限存在，极限存在，定义定义则称函数则称函数 z=f(x,y)在点在点 P0(x0,y0)处连续处连续.若函数若函数 f f(x x,y y)在开区域（或闭区域）在开区域（或闭区域）D D内的内的每一点连续，称函数每一点连续，称函数 f f(x x,y y)在在D D内连续，或者称内连续，或者称f f(x x,y y)是是D D内的连续函数内的连续函数 若函数若函数f f(x x,y y)在点在点 P P0 0(x x0 0,y y0 0)处不连续，则处不连续，则称称P P0 0为函数为函数f f(x x,y y)的间断点的间断点三、偏导数及全微分1.偏导数偏导数 定义定义在点
8、在点存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数的偏导数，记为的偏导数，记为的某邻域内的某邻域内极限极限设函数设函数注意注意:同样可定义对同样可定义对 y y 的偏导数为的偏导数为若函数若函数 在域在域 内每一点内每一点 处对处对 x则该偏导数称为偏导函数则该偏导数称为偏导函数,也简称为也简称为偏导数偏导数 ,记为记为或或 y 偏导数存在偏导数存在 ,二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线是曲线在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线对对 y 轴的轴的2.高阶偏导数高阶偏导数设设 z=f(x,y)在域在域
9、D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数的二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶有下列四个二阶偏导数偏导数:其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。类似可以定其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。类似可以定义更高阶的偏导数义更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数偏导数例如，例如，关于关于 的三阶偏导数为的三阶偏导数为 关于关于 的的 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 的一阶偏导的一阶偏导数为数为3.全微分全微分 定义定义 如果函数如果
10、函数 z=f (x,y)在定义域在定义域 D 的内点的内点P P(x,y)可表示成可表示成其中其中 A,B 不依赖于不依赖于 x,y,仅与仅与 x,y 有关，有关，则称函则称函数数称为函数称为函数在点在点(x,y)的全微分的全微分,记作记作若函数在域若函数在域 D 内各点都可微内各点都可微,f(x,y)在点在点P P(x,y)可微，可微，处的全增量处的全增量则称此函数在则称此函数在D D 内可微内可微.定理定理1 1(必要条件必要条件)若函数若函数 z=f(x,y)在点在点(x,y)可微可微,则则该该函数在该点偏导数函数在该点偏导数同样可证同样可证证证:由全增量公式由全增量公式必存在必存在,且
11、有且有得到对得到对 x 的偏增量的偏增量因此有因此有 反例反例:函数函数易知易知 但但因此因此,函数在点函数在点(0,0)不可微不可微.注意注意:定理定理1 1 的逆定理不成立的逆定理不成立.即即:偏导数存在函数偏导数存在函数 不一定可微不一定可微 !定理定理2(2(充分条件充分条件)证证：若函数若函数的偏导数的偏导数则函数在该点可微分则函数在该点可微分.所以函数所以函数在点在点可微可微.注意到注意到,故有故有4.多元复合函数的求导公式多元复合函数的求导公式1 1）多元复合函数的求导法则）多元复合函数的求导法则处偏导连续处偏导连续,则复合函数则复合函数 定理定理1 1 若函数若函数在点在点 t
12、 可导可导,且有链式法则且有链式法则推广推广:设下面所涉及的函数都可微设下面所涉及的函数都可微.（1 1）中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形.例如例如,（2 2）中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.例如例如,2 2）全微分形式的不变性）全微分形式的不变性设函数设函数 具有连续偏导数具有连续偏导数的全微分为的全微分为可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,其全微分表达其全微分表达,则复合函数则复合函数形式都一样形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性这性质叫做全微分形式不变性.两端两端对对 x 求导，求导，5.隐函数的求导公式隐函数的求导公式设方
13、程设方程 F(x,y)=0 确定了函数确定了函数 y=y(x)，得得则则得到一元得到一元 隐函数的求导公式隐函数的求导公式.两边分别对两边分别对 x，y 求求导，导，设方程设方程 F(x,y,z)=0 确定了隐函数确定了隐函数 z=z(x,y),若若 Fx，Fy，Fz 连续，连续，得得这就是二元隐函数的求导公式这就是二元隐函数的求导公式.所以所以四、多元函数的极值1.二元函数的极值二元函数的极值 设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx的某邻域的某邻域内有定义，对于该邻域内异于内有定义，对于该邻域内异于 的点的点),(yx若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf 则称函数
14、在则称函数在),(00yx有有极极小值小值；极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点),(00yx证证 不妨设不妨设定理定理1（极值存在的必要条件）（极值存在的必要条件）设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：0),(00=yxfx，0),(00=yxfy.),(yxfz=在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意都有都有),(yxf),(0
15、0yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx=处有极大值处有极大值,必有必有 0),(00=yxfx;故当故当0yy=，0 xx 时，时，有有 -BAC时具有极值，时具有极值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02-BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02=-BAC时可能有极值时可能有极值,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论求函数求函数),(yxfz=极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值
16、A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC-的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.2.二元函数的最大、最小值二元函数的最大、最小值求最值的一般方法：求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点、偏导数不存在的点处的内的所有驻点、偏导数不存在的点处的函数值及在函数值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，可以利用函数的极值来求函数与一元函数相类似，可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值的最大值和最小值.解解设水箱的长为设水箱的长为宽为宽为则
17、其高应为则其高应为则水箱所用材料的面积则水箱所用材料的面积求偏导数得求偏导数得例例 某工厂要用铁板做成一个体积为某工厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。料最省。解这方程组，得解这方程组，得 根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，根据题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域并在开区域内取得。又函数在内取得。又函数在内只有唯一的驻点内只有唯一的驻点因此当因此当时，时，取得最小值。取得最小值。即当水箱的长为即当水箱的长为宽为宽为高高为为时，水箱所用的材料最省。时，水
18、箱所用的材料最省。3.条件极值条件极值设二元函数设二元函数 z=f(x,y)和和 (x,y)在所考虑的区域在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，内有连续的一阶偏导数，且且 不同不同时为零，时为零，可用下面步骤来求：可用下面步骤来求：(1)构造辅助函数构造辅助函数称为称为拉格朗日函数拉格朗日函数，l l 称为拉格朗日乘数；称为拉格朗日乘数；(2)解联立方程组解联立方程组 求函数求函数 在约束条件在约束条件 下下的极值，的极值，在实际问题中，往往就是在实际问题中，往往就是所求的极值点所求的极值点.即即得可能的极值点得可能的极值点(x,y)，此法称拉格朗日乘数法此法称拉格朗日乘数法.解解设长方体的三棱长为设长方体的三棱长为则问题就是在条件下则问题就是在条件下求函数求函数的最大值。作拉格朗日函数的最大值。作拉格朗日函数求其对求其对 的偏导数，并使之为零，解方程组的偏导数，并使之为零，解方程组例例 求表面积为求表面积为而体积为最大的长方体的体积。而体积为最大的长方体的体积。得到得到这是唯一可能的极值点。因此表面积为这是唯一可能的极值点。因此表面积为 的长方体中，的长方体中，以棱长为以棱长为 的正方体的体积为最大，最大体积的正方体的体积为最大，最大体积