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1、-北京市朝阳区017-20学年度第一学期期末质量检测 数学试卷(理工类)28.(考试时间 1分钟 满分 15分）本试卷分为选择题（共 40 分)和非选择题（共 11分)两部分 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题:本大题共 8 小题，每小题 5 分,共0 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合|(2)0Ax x x，|ln0Bxx，则AB是|12xx B.|02xx C.|0 x x .|2x x 2 已知i为虚数单位,设复数z满足i3z ，则z 3 B 4 C.10 D10.在平面直角坐标系中,以下各点位于不等式(21)(3)0 xyxy表示的平面区域内的是
2、.(0 0)，B.(2 0)，C(01)，D.(0 2)，“2sin2”是“cos2=0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5.某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,则该四棱锥的体积为 A.4 B.43 C.4 23 D.4 2 6.已知圆22(2)9xy的圆心为C 直线l过点(2,0)M 且与x轴不重合，l交圆C于正视图 侧视图 俯视图-,A B两点，点A在点M,B之间.过M作直线AC的平行线交直线BC于点P,则点P的轨迹是 A.椭圆的一部分 .双曲线的一部分 C 抛物线的一部分 .圆的一部分 7.已知函数()f x
3、x xa的图象与直线1y 的公共点不少于两个，则实数a的取值范围是 A.2a B.2a .20a .2a .如图 1，矩形ABCD中,3AD.点E在AB边上，CEDE且1AE 如图 2,ADE沿直线DE向上折起成1ADE.记二面角1ADEA的平面角为,当00 180，时，存在某个位置，使1CEDA;存在某个位置，使1DEAC;任意两个位置，直线DE和直线1AC所成的角都不相等 以上三个结论中正确的序号是 .C.D.第二部分(非选择题 共 11分）二、填空题:本大题共 6 小题，每小题分，共分把答案填在答题卡上.9 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为
4、.10.执行如图所示的程序框图，输出S的值为 .ABCD中,E F分别为边,BC CD中点，若 AFxAByAE 图 1 BAEDC开始 i=1，S=2 结束 i=i+1 i4?输出 S 是 否 S=iS EBCDAA1图 2-(,x yR）,则+=x y_ 1.已知数列 na满足11nnnaaa(2n）,1ap,2aq（,p qR）.设1nniiSa，则10a ;2018S (用含,p q的式子表示)伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一 位 同 学 受 到 启 发,借 助 以 下 两 个 相 同 的 矩 形 图 形，按 以 下 步 骤 给 出 了 不
5、等式:22222()()()acbdabcd的一种“图形证明”.证明思路:()左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积;（2）左图中阴影区域的面积为acbd，右图中,设BAD，右图阴影区域的面积可表示为_（用含a b c d,，的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等,即可导出不等式22222()()()acbdabcd.当且仅当,a b c d满足条件_时,等号成立.如图,一位同学从1P处观测塔顶B及旗杆顶A,得仰角分别为和90 后退l（单位 m）至点2P处再观测塔顶B,仰角变为原来的一半,设塔CB和旗杆BA都垂直于地面,且C，1P，2P三点在同一条水平线上，则塔CB的高为 m；旗杆BA的高为
6、 m(用含有l和的式子表示）三、解答题：本大题共小题，共0 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 15(本小题满分 13 分)已知函数21()sincossin2f xxxx.AP2P1BCbbdacdacdacbDCBA-（）求()f x的单调递增区间；（）在ABC中,a b c为角,A B C的对边，且满足cos2cossinbAbAaB，且02A,求()f B的取值范围 6(本小题满分 13 分）为了治理大气污染，某市 217 年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”,“国,轻型汽油车限行”,“整治散乱污染企业”等.下表是该市01年和7 年 12 月份的空气质量指数(I)（
7、AQ指数越小,空气质量越好)统计表.表 1：206 年 12 月 A指数表：单位（3g/m)日期 1 3 4 6 7 8 9 0 11 AQI 47 123 232 291 78 132 37 67 20 日期 2 13 4 15 1 17 1 20 21 22 AI 270 78 4 1 135 229 70 26 40 29 51 日期 23 24 25 2 27 2 29 3 1 AQ 47 15 1 64 5 85 75 2 329 表 2:207 年2 月 AQI 指数表:单位（3g/m）日期 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 AI 1 8 79 2 44 4 27 4 5
8、6 43 28 日期 2 13 14 17 18 19 20 1 2 AQI 2 49 4 62 40 6 48 5 44 4 日期 25 2 2 8 29 30 1 AQI 50 50 41 101 140 2 17 55 根据表中数据回答下列问题:(）求出07 年 12 月的空气质量指数的极差；-（)根据环境空气质量指数(AQ)技术规定(试行)规定:当空气质量指数为50 时,空气质量级别为一级从 2017 年2 月 1日到 12 月 1这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望;(）你认为该市217年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由
9、1(本小题满分 14 分)如图,在三棱柱111ABCABC中，90ACB，D是线段AC的中点,且1AD 平面ABC.（)求证：平面1ABC 平面11AACC；（）求证:1/BC平面1ABD；()若11ABAC，2ACBC，求 二 面 角 1AABC的余弦值.(本小题满分3 分）已知函数()cosf xxxa,aR（）求曲线()yf x在点2x处的切线的斜率；（)判断方程()0fx（()fx为()f x的导数)在区间0,1内的根的个数，说明理由；（）若函数()sincosF xxxxax在区间(0,1)内有且只有一个极值点,求a的取值范围.A C B B1 C1 A1 D-9(本小题满分4 分)
10、已知抛物线:C24xy的焦点为F,过抛物线C上的动点P（除顶点O外）作C的切线l交x轴于点T.过点O作直线l的垂线OM(垂足为M)与直线PF交于点N.（)求焦点F的坐标；()求证:FTMN；（）求线段FN的长 (本小题满分 13 分)已 知 集 合12,.,nPa aa，其 中ia R1,2in n()M P表 示+ijaa1)ijn（中所有不同值的个数.()若集合1,3,5 7,9P，求()M P；(）若集合11,4,16,.,4nP,求证:+ijaa的值两两不同,并求()M P；（）求()M P的最小值.(用含n的代数式表示)-北京市朝阳区0121学年度第一学期期末质量检测 高三年级数学试
11、卷答案（理工类）20181 一、选择题(4分)题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A A B B 二、填空题(30 分）题号 0 11 答案 yx 48 12 题号 2 1 14 答案 p pq 2222sinabcd adbc sinl cos2sinl 三、解答题（80 分)15（本小题满分 13 分)解:(）由题知111()sin2(1cos2)222f xxx 11=sin2cos222xx 2=sin(2)24x.由222242kxk（k）,解得 88kxk .-所以()f x单调递增区间为3,88kk（k)6 分()依题意,由正弦定理，sincos2sincossi
12、nsinBABAAB.因为在三角形中sin0B,所以cos2cossinAAA.即(cossin)(cossin1)0AAAA 当cossinAA时，4A;当cossin1AA时,2A.由于02A,所以4A.则3+4B C.则304B.又2444B,所以1sin(2)14B 由2()sin(2)24f BB,则()f B的取值范围是2222，.13 分 1.（本小题满分 13 分）解:()2017 年2 月空气质量指数的极差为 194.3 分（）可取 1,1232353(1)10C CPC；2132356(2)10C CPC；3032351(3)10C CPC 的分布列为 1 2 P 310
13、610 110 所以3611231.8101010E 分-（)这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年2 月空气质量指数为优的概率等来进行说明.13 分 1.（本小题满分 14 分)（）证明:因为90ACB,所以BCAC.根据题意,1AD平面ABC，BC 平面ABC，所以1ADBC.因为1ADACD，所以BC 平面11AACC 又因为BC 平面1ABC，所以平面1ABC 平面11AACC.分（)证明：连接1AB，设11ABABE,连接DE 根据棱柱的性质可知,E为1AB的中点,因为D是AC的中点，所以1/DEBC 又因为DE 平面1ABD，1BC 平面1ABD,所以1/BC平
14、面1ABD 8 分(）如图，取AB的中点F，则/DFBC，因为BCAC,所以DFAC,又因为1AD平面ABC,所以1,DF DC DA两两垂直.以D为原点，分别以1,DF DC DA为,x y z 轴建立空间坐标系（如图).由(）可知,BC 平面11AACC，所以1BCAC.又因为11ABAC，1BCABB,A C B B1 C1 A1 D E y x z A C B B1 C1 A1 D F-所以1AC 平面1ABC,所以11ACAC,所以四边形11AACC为菱形.由已知2ACBC，则0,1,0A,0,1,0C，2,1,0B，10,0,3A 设平面1AAB的一个法向量为,x y zn,因为1
15、0,1,3AA,2,2,0AB,所以10,0,AAABnn，即30,220.yzxy 设1z,则3,3,1n.再设平面1ABC的一个法向量为111,x y zm,因为10,1,3CA，2,0,0CB,所以10,0,CACBmm，即11130,20.yzx 设11z,则0,3,1m.故3 17cos,772 m nm nmn.由图知，二面角1AABC的平面角为锐角，所以二面角1AABC的余弦值为77.14 分 18（本小题满分3 分）解:（）()cossinfxxxx.()22kf .3 分（）设()()g xfx，()sin(sincos)2sincosg xxxxxxxx 当(0,1)x时，
16、()0g x，则函数()g x为减函数.又因为(0)10g，(1)cos1sin10g，所以有且只有一个0(0,1)x,使0()0g x成立.所以函数()g x在区间0,1内有且只有一个零点.即方程()0fx在区间0,1内有且只有一个实数-根.分(）若函数()sincosF xxxxax在区间0,1内有且只有一个极值点,由于()()F xf x,即()cosf xxxa在区间0,1内有且只有一个零点1x,且()f x在1x两侧异号.因为当(0,1)x时,函数()g x为减函数，所以在00,x上,0()()0g xg x，即()0fx成立,函数()f x为增函数;在0(,1)x上，0()()0g
17、 xg x，即()0fx成立,函数()f x为减函数,则函数()f x在0 xx处取得极大值0()f x.当0()0f x时，虽然函数()f x在区间0,1内有且只有一个零点0 x，但()f x在0 x 两侧同号,不满足()F x在区间0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1fa，(0)fa,显然(1)(0)ff.若函数()f x在区间0,1内有且只有一个零点1x，且()f x在1x两侧异号,则只需满足:(0)0,(1)0,ff即0,cos10,aa 解得cos10a.13 分 1(本小题满分 14 分)解：（）(0,1)F 2分（)设00(,)P xy.由24xy,得214yx,
18、则过点P的切线l的斜率为0012x xkyx 则过点P的切线l方程为2001124yx xx令0y，得012Txx，即01(,0)2Tx.又点P为抛物线上除顶点O外的动点，00 x,则02TFkx.而由已知得MNl,则-02MNkx.又00 x,即FT与MN不重合，即FTMN.6 分（）由（)问,直 线MN的 方 程 为02yxx，00 x.直 线PF的 方 程 为0011yyxx,00 x 设MN和PF交 点N的 坐 标 为(,)NNN xy则0002.(1)11.(2)NNNNyxxyyxx 由(1）式得，02NNxxy(由于N不与原点重合,故0Ny）.代入（2),化简得02NNyyy0N
19、y.又2004xy，化简得,22(1)1NNxy(0Nx).即点N在以F为圆心，1 为半径的圆上.(原点与0,2除外）即1FN.14 分 20（本小题满分 13 分)解：（)()=7M P；3分(）形如和式+ijaa1)ijn（共有2(1)2nn nC项,所以(1)()2n nM P.对于集合11,4,16,.,4n中的和式+ijaa，+pqaa1,1)ijnpqn（:当jq时,ip时,+ijpqaaaa；当jq时，不妨设jq,则121+24jijjjqpqaaaaaaa.所以+ijaa1)ijn（的值两两不同.-且(1)()=2n nM P.8分()不妨设123.naaaa，可得 1213121+.+.+nnnnaaaaaaaaaa.+ijaa1)ijn（中至少有23n个不同的数 即()23M Pn 设12,.,na aa成等差数列，11,()+=,()ij nnijijaaijnaaaaijn ,则对于每个和式+ijaa1)ijn（，其值等于1+paa（2pn）或+qnaa(11)qn中的一个.去掉重复的一个1naa,所以对于这样的集合P，()23M Pn.则()M P的最小值为23n.3 分