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1、 1 2022 届 二 联 理 数 参 考 答 案 一、选择题 CDABD CADBB AC 二、填空题 13.6 14.41 15.41 16.941 17.解：（1）由正弦定理得 2sinAsinB=33sinsin,2BA（3 分）0A，3A或23；（5 分）（2）137sin3243SbcAbc，283bc，（7 分）由余弦定理得，2222362cos()33abcbcbcbc8.bc（11分）故ABC的周长 l=a+b+c=14.(12 分)18.由图知，P(25 x30)=0.01 5=0.05，故 x=100 0.05=5；（2 分）P(30 x35)=1-(0.05+0.35+
2、0.3+0.1)=1-0.8=0.2 故 y=100 0.2=20，（4 分）其0.20.045频率组距（6 分）（2）各层之间的比为 5 20353010=1 4 7 6 2，且共抽取20人，年龄在 35，40）内层抽取的人数为 7 人.（8 分）X 可取 0，1，2，2111313762220207891(0),(1)190190CC CP XP XCC，2722021(2),190CP XC故 X 的分布列为 （10分）X 0 1 2 P 78190 91190 21190 故912113312190190190Ex （12分）19.（1）证明：连结 OM，在PBD中，OM PB，OM平
3、面ACM，PB平面ACM，故 PB 平面ACM；（4 分）（2）取 DO 的中点 N，连结 MN，AN，则 MN PO，PO 平面 ABCD，MN 平面ABCD，故 MAN=为所求的直线 AM 与平面 ABCD 所成的角.1122MNPO，在RtADO中，22151(),22DO 1524ANDO，在RtAMN中，22513()(),424AM 2sin3MNAM，（8 分）取 AO 的中点 R，连结 NR，MR，NR AD，NR OA，MN 平面 ABCD，由三垂线定理知 MR AO，故MRN为二面角M AC B 的补角，即为-.11,22NRMN2cos()cos2，（11分）2sinco
4、s.3 （12分）20.解：（1）由题知2222(8)28caaa，由22825aeaa得 a4-25a2+100=0，故a2=5或20（舍），故椭圆 E 的方程为22153xy；（4 分）（2）设 P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，则 c2=2a2-8，联立2222222 2(8)(8)xyaxa yaa 得 8x2-422ax+a4=0，即22(2 2)0 xa，故2024xa，2022 24ya，（7 分）直线 PF2的方程为00()yyxcxc，令 x=0，则00cyyxc，即点 Q 的坐标为00(0,)cyxc，故011000(,),(,)cyFQcFPxc yxc
5、，（9 分）故4222222200011000012(28)(2 2)()84()0caaacyc xcyFQ FPc xcxcxcxc（11分）故1FQ与1FP的夹角为定值2.（12分）21.（1）g(x)=2x-ex，()g x=2-ex=0ln2x，当 x0；当 xln2 时，()g x1 时，f(x)的零点个数，当 x 0 时，f(x)为单减函数，（5 分）1110fa；f(0)=-10 时，由 f(x)=0 得 22ln2lnlnlnxxxaxxaax，令22ln2(1ln)(),()xxh xh xxx则.由()h x=0得，x=e，当 0 x0；当 xe 时，()h x0 时，f
6、(x)无零点，故 x R 时，f(x)有一个零点；若2lnae即2eae时，当 x0 时，f(x)有一个零点，故 x R 时，f(x)有 2 个零点；若20lnae即21eae时，当 x0 时，f(x)有 2 个零点，故 x R 时，f(x)有 3 个零点.（9分）（）再考虑 0a1 的情形，若 0a1，则11a，同上可知，当21eea即0a2ee时，f(x)有一个零点；当21eea即a=2ee时，f(x)有 2 个零点；当211eea即2eea1时，f(x)有 3 个零点.（11分）综合上述，当2eae或0a2ee时，f(x)有一个零点；当a=2ee或a=2ee时，f(x)有 2 个零点；当
7、1a2ee或2eea1时，f(x)有 3 个零点.（12分）22.解：（1）由坐标变换公式13xxyy 得3,xx yy代入x2+y2=1中得2291xy，故曲线 C 的参数方程为1cos3sinxy；（5 分）（2）由题知，11(,0)3P，P2(0，1)，P1 P2线段中点11(,)62M，1 23PPk，故P1 P2线段中垂线的方程为111()236yx（8 分）即 3x-9y-4=0，即极坐标方程为3 cos9 sin40.（10分）23.解：（1）,fxxaxbcbacbac 当且仅当xb时等号成立，又 0,0,abababfx的最大值为,abc又已知 f x的最大值为10，所以10.abc（4 分）（2）由（1）知10,abc由柯西不等式得22222222112321122 13 1616,22aabcbcabc 即22218123,43abc（7 分）当且仅当123411abc即11811,333abc时等号成立。（10分）