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1、第一篇第一篇 理论力学理论力学第第6章章 质点和质点系动力学质点和质点系动力学第第6章章质点和质点系动力学质点和质点系动力学v在静力学中，我们只从力的角度来研究物体的平衡问题，在静力学中，我们只从力的角度来研究物体的平衡问题，以及如何对力进行合成与分解等问题；在运动学中，我以及如何对力进行合成与分解等问题；在运动学中，我们只从几何角度来研究物体运动的轨迹、速度和加速度们只从几何角度来研究物体运动的轨迹、速度和加速度等运动的几何性质，并不考虑物体运动状态的改变与作等运动的几何性质，并不考虑物体运动状态的改变与作用在物体上力的关系。这两个方面只是机械运动的一个用在物体上力的关系。这两个方面只是机械
2、运动的一个侧面，并不能全面地反映机械运动的状况。而物体运动侧面，并不能全面地反映机械运动的状况。而物体运动状态的改变与作用在物体上的力是密不可分的统一整体。状态的改变与作用在物体上的力是密不可分的统一整体。例如，汽车在牵引力的作用下，由静到动作加速运动，例如，汽车在牵引力的作用下，由静到动作加速运动，当牵引力消失时，由动到静而停止。动力学是研究物体当牵引力消失时，由动到静而停止。动力学是研究物体机械运动与所受力之间关系的科学，它是理论力学的核机械运动与所受力之间关系的科学，它是理论力学的核心内容，是解决物体机械运动问题的理论基础。心内容，是解决物体机械运动问题的理论基础。v根据工程实际问题，动
3、力学的研究对象分为质点和质点根据工程实际问题，动力学的研究对象分为质点和质点系。当物体的大小和形状可以忽略不计，只考虑物体的系。当物体的大小和形状可以忽略不计，只考虑物体的质量时称为质点，例如，研究轮船的速度和轨迹时，其质量时称为质点，例如，研究轮船的速度和轨迹时，其大小和形状对所研究的问题没什么影响，则将轮船的质大小和形状对所研究的问题没什么影响，则将轮船的质量看成集中在质心上的质点。当物体的大小和形状不可量看成集中在质心上的质点。当物体的大小和形状不可以忽略时，物体抽象为质点系。质点系是由许多个质点以忽略时，物体抽象为质点系。质点系是由许多个质点相互联系组成的有机整体。例如，当研究有旋转的
4、动力相互联系组成的有机整体。例如，当研究有旋转的动力学问题时，一般是不能忽略其大小和形状的。学问题时，一般是不能忽略其大小和形状的。v动力学在工程中得到广泛的应用，在建筑结构中对结构动力学在工程中得到广泛的应用，在建筑结构中对结构物的抗震分析，在机械结构中对转动装置的动力学分析，物的抗震分析，在机械结构中对转动装置的动力学分析，在航天工程中分析飞行器的运行以及轨道的计算等问题，在航天工程中分析飞行器的运行以及轨道的计算等问题，都离不开动力学的基本理论。都离不开动力学的基本理论。v动力学的主要内容有：质点动力学、质点系动力学动力学的主要内容有：质点动力学、质点系动力学(包括包括动量定理，动量矩定
5、理、动能定理动量定理，动量矩定理、动能定理)。v动力学的求解是通过以牛顿定律为基础而建立起来的动动力学的求解是通过以牛顿定律为基础而建立起来的动力学微分方程来实现的。动力学问题的求解，一般分为力学微分方程来实现的。动力学问题的求解，一般分为两类。两类。v(1)已知物体的运动，求作用在物体上的力。已知物体的运动，求作用在物体上的力。v(2)已知作用在物体上的力，求物体的运动。已知作用在物体上的力，求物体的运动。6.1质点动力学质点动力学v本节以牛顿定律为基础建立质点动力学的运动微本节以牛顿定律为基础建立质点动力学的运动微分方程，并求解质点动力学的两类问题。质点动分方程，并求解质点动力学的两类问题
6、。质点动力学的运动微分方程是研究复杂物体系统的基础。力学的运动微分方程是研究复杂物体系统的基础。v动力学的基本定律是由牛顿三定律组成，其表述如下。动力学的基本定律是由牛顿三定律组成，其表述如下。v(1)第一定律：不受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动。第一定律：不受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动。v这里的物体应理解为：这里的物体应理解为：没有转动或其转动可以不计的平移物体；没有转动或其转动可以不计的平移物体；大小和形状可以不计的质点。大小和形状可以不计的质点。v第一定律给出了物体的基本属性，即物体保持静止或匀速直线运动第一定律给出了物体的基本属性，即物体保持静止或匀速直线运动的属性，称
7、为惯性，因此，第一定律也称为惯性定律。的属性，称为惯性，因此，第一定律也称为惯性定律。v由于运动是绝对的，但描述物体的运动却又是相对的，所以必须在由于运动是绝对的，但描述物体的运动却又是相对的，所以必须在一定的参考坐标系下研究机械运动。参考坐标系应建立在使牛顿定一定的参考坐标系下研究机械运动。参考坐标系应建立在使牛顿定律成立的物体上，这样的坐标系称为惯性坐标系。一般情况下，工律成立的物体上，这样的坐标系称为惯性坐标系。一般情况下，工程中建立在地面上的坐标系视为惯性坐标系。程中建立在地面上的坐标系视为惯性坐标系。v(2)第二定律：物体所获得的加速度的大小与物体所受的力成正比，第二定律：物体所获得
8、的加速度的大小与物体所受的力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与力同向。其数学表达式为：与物体的质量成反比，加速度的方向与力同向。其数学表达式为：(6-1)v第二定律建立了质点运动与所受力之间的关系，它是研究质点动力第二定律建立了质点运动与所受力之间的关系，它是研究质点动力学的基础，由此定理导出动力学普遍定理：动量定理、动量矩定理、学的基础，由此定理导出动力学普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理。动能定理。v在地球表面上，任何物体都受到重力在地球表面上，任何物体都受到重力P的作用，所获得的加速度称的作用，所获得的加速度称为重力加速度，用为重力加速度，用g表示，由式表示，由式(6-1)
9、有有或或(6-2)v重力加速度是根据国际计量委员会制定的标准计算的，一般取重力加速度是根据国际计量委员会制定的标准计算的，一般取 g=。v在国际单位制在国际单位制中，质量单位是千克中，质量单位是千克(kg)，长度单位是米，长度单位是米(m)，时，时间单位是秒间单位是秒(s)，则定义，则定义1牛顿的力牛顿的力，为，为v(3)第三定律：物体间的作用力与反作用力总是大小相第三定律：物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、沿着同一条直线，分别作用在这两个物等、方向相反、沿着同一条直线，分别作用在这两个物体上。体上。v牛顿第三定律我们在第一章中已经学习过，此定律不但牛顿第三定律我们在第一章中已经
10、学习过，此定律不但适用于静力学，而且适用于动力学。适用于静力学，而且适用于动力学。v应当指出，牛顿定律只适合于惯性坐标系。与之相反的应当指出，牛顿定律只适合于惯性坐标系。与之相反的非惯性坐标系是不适合牛顿定律成立的坐标系，例如建非惯性坐标系是不适合牛顿定律成立的坐标系，例如建立在有相对运动物体上的坐标系一般为非惯性坐标系，立在有相对运动物体上的坐标系一般为非惯性坐标系，在此坐标系中研究物体的运动，应重新建立物体的运动在此坐标系中研究物体的运动，应重新建立物体的运动与作用在物体上力之间的微分关系。与作用在物体上力之间的微分关系。6.1.2质点运动微分方程质点运动微分方程v（1）质点运动微分方程质
11、点运动微分方程v在惯性坐标系下，由第二定律得质点运动微分方程的矢量表达式为在惯性坐标系下，由第二定律得质点运动微分方程的矢量表达式为(6-3)v()直角坐标形式的质点运动微分方程。直角坐标形式的质点运动微分方程。v将矢径将矢径r和力和力向直角坐标轴向直角坐标轴、上投影，如图上投影，如图6.1所示，得所示，得直角坐标形式的质点运动微分方程为：直角坐标形式的质点运动微分方程为：(6-4)v()自然轴系形式的质点运动微分方程自然轴系形式的质点运动微分方程v将矢径将矢径r和力和力向自然轴系向自然轴系、上投影，如图上投影，如图6.2所示，得自然所示，得自然轴系形式的质点运动微分方程轴系形式的质点运动微分
12、方程图图6.1在直角坐标系中表示矢径、速度、加速度和力在直角坐标系中表示矢径、速度、加速度和力图图6.2在自然轴系中表示加速度和力在自然轴系中表示加速度和力yzMOzFvarxxyOMnabF(6-5)v其中，切向加速度其中，切向加速度，法向加速度，法向加速度，次法向，次法向加速度加速度。v（2）质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题v由上面质点运动微分方程可求解质点动力学的两类基本问题：由上面质点运动微分方程可求解质点动力学的两类基本问题：v()已知质点的运动，求作用于质点上的力，称为质点动力学第一已知质点的运动，求作用于质点上的力，称为质点动力学第一类问题。在求解过程中对运动方程
13、求导即可。类问题。在求解过程中对运动方程求导即可。v()已知作用于质点上的力，求质点的运动，称为质点动力学第二已知作用于质点上的力，求质点的运动，称为质点动力学第二类问题。在求解过程中需解微分方程，即求积分的过程。类问题。在求解过程中需解微分方程，即求积分的过程。v在此两类基本问题基础上，有时也存在两类问题的联合求解。在此两类基本问题基础上，有时也存在两类问题的联合求解。v【例例6.1】质点的质量质点的质量m=0.1kg，按，按的规律作直的规律作直线运动，线运动，以米以米(m)计，时间计，时间t以秒以秒(s)计，试求该质点所受的力，计，试求该质点所受的力，并求其极值。并求其极值。v解：当质点作
14、直线运动时其运动微分方程为解：当质点作直线运动时其运动微分方程为v则作用在该质点上的力为则作用在该质点上的力为(a)v对式对式(a)求导：求导：v得时间为得时间为(b)v将式将式(b)代入式代入式(a)得作用在该质点上的最小的力为得作用在该质点上的最小的力为v上面的例子为质点动力学第一类问题，在求解这类问题时应做到以上面的例子为质点动力学第一类问题，在求解这类问题时应做到以下几点。下几点。v(1)根据题意选择适当的质点运动微分方程形式。根据题意选择适当的质点运动微分方程形式。v(2)正确地对质点进行力和运动分析。正确地对质点进行力和运动分析。v(3)利用质点运动微分方程求质点所受的力。利用质点
15、运动微分方程求质点所受的力。v【例例6.2】质点的质量质点的质量m，在力，在力的作用下，沿的作用下，沿x轴作直轴作直线运动，式中线运动，式中、k为常数，当运动开始时即为常数，当运动开始时即，试，试求质点的运动规律。求质点的运动规律。v解：根据题意，采用直角坐标形式的质点运动微分方程。即解：根据题意，采用直角坐标形式的质点运动微分方程。即v因因，则有，则有v采用分离变量法积分，得采用分离变量法积分，得v又因又因，再积分得质点的运动方程为，再积分得质点的运动方程为v即即v【例例6.3】一圆锥摆，如图一圆锥摆，如图6.3所示，质量为所示，质量为m=0.1kg的小球系的小球系于长为于长为l=0.3m的
16、绳上，绳的另一端系在固定点的绳上，绳的另一端系在固定点O上，并与铅垂线上，并与铅垂线成成角，若小球在水平面内做匀速圆周运动，试求小球的角，若小球在水平面内做匀速圆周运动，试求小球的速度和绳子的拉力。速度和绳子的拉力。v解：以小球为质点，小球受重力解：以小球为质点，小球受重力及绳子的拉力及绳子的拉力，其运动如图，其运动如图9.3所示，采用自然法求解。其运动微分方程为所示，采用自然法求解。其运动微分方程为其切向运动微分方程为其切向运动微分方程为v法向运动微分方程为法向运动微分方程为图图6.3(a)v次法向运动微分方程为次法向运动微分方程为(b)v由于次法向加速度由于次法向加速度，则由式，则由式(b
17、)绳子得拉力为绳子得拉力为v因圆的半径因圆的半径，将上面绳子的拉力代入式，将上面绳子的拉力代入式(a)得小球的速度得小球的速度为为6.2动量定理动量定理v在上一节中学习的是质点动力学问题，以及建立质点动在上一节中学习的是质点动力学问题，以及建立质点动力学微分方程进行求解的方法。从这一节开始讨论质点力学微分方程进行求解的方法。从这一节开始讨论质点系动力学问题。它是以质点动力学微分方程为基础，建系动力学问题。它是以质点动力学微分方程为基础，建立复杂物体系统的动力学理论立复杂物体系统的动力学理论动力学普遍定理动力学普遍定理(动动量定理、动量矩定理、动能定理量定理、动量矩定理、动能定理)。不再从单一的
18、质点。不再从单一的质点出发建立质点动力学微分方程，而是从质点系整体的角出发建立质点动力学微分方程，而是从质点系整体的角度来研究质点系的运动量度来研究质点系的运动量(动量、动量矩、动能动量、动量矩、动能)与作用与作用在质点系上的力、力矩和功之间的关系，从而解决质点在质点系上的力、力矩和功之间的关系，从而解决质点系动力学的两类问题。系动力学的两类问题。6.2.1动量定理动量定理v（1）质点和质点系的动量质点和质点系的动量v在工程实际中，物体之间往往进行机械运动量的交换，在工程实际中，物体之间往往进行机械运动量的交换，机械运动量不仅与物体的运动有关，还与物体的质量有机械运动量不仅与物体的运动有关，还
19、与物体的质量有关。例如速度虽小但质量很大的桩锤能使桩柱下沉；质关。例如速度虽小但质量很大的桩锤能使桩柱下沉；质量虽小但速度很大的子弹能穿透物体，它们的共同特点量虽小但速度很大的子弹能穿透物体，它们的共同特点是质量与速度的乘积很大，即动量很大，在发生碰撞时，是质量与速度的乘积很大，即动量很大，在发生碰撞时，将机械运动量传递给被交换的物体，从而使自己的机械将机械运动量传递给被交换的物体，从而使自己的机械运动量运动量(动量动量)减少。减少。v质点的动量：质点的质量与速度的乘积，记作质点的动量：质点的质量与速度的乘积，记作mv，质，质点的动量是矢量，单位为点的动量是矢量，单位为kgm/s。v质点系的动
20、量：质点系中所有各质点动量的矢量和，即质点系的动量：质点系中所有各质点动量的矢量和，即(6-6)v由附录由附录A中质点系质量中心的概念，质点系动量的另一中质点系质量中心的概念，质点系动量的另一种表示为种表示为(6-7)其中，其中，为质点系的质量。即质点系动量等于质点为质点系的质量。即质点系动量等于质点系质量与质心速度的乘积。系质量与质心速度的乘积。v由式由式(6-7)可以很方便地计算几何形状规则的均质刚体可以很方便地计算几何形状规则的均质刚体系的动量，即系的动量，即(6-8)v（2）质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理v（）质点的动量定理）质点的动量定理v由式由式(6-1)得得(6-9
21、)式式(6-9)的微分形式为的微分形式为 (6-10)v质点动量定理的微分形式：质点动量的增量等于作用在质点上力的质点动量定理的微分形式：质点动量的增量等于作用在质点上力的元冲量。式元冲量。式(6-10)的积分形式为的积分形式为(6-11)v其中，其中，为为时间内力时间内力的元冲量，的元冲量，为为t时间内力时间内力的的冲量，冲量的单位为冲量，冲量的单位为Ns，它是矢量，冲量表示力，它是矢量，冲量表示力对物体作用的对物体作用的时间积累。时间积累。v质点动量定理的积分形式：质点运动时末动量与初动量的差等于作质点动量定理的积分形式：质点运动时末动量与初动量的差等于作用在质点上的力在此时间间隔内的冲量
22、，常称为冲量定理。用在质点上的力在此时间间隔内的冲量，常称为冲量定理。v表示动量与冲量的矢量关系如图表示动量与冲量的矢量关系如图6.4所示。所示。图图6.4动量与冲量的矢量关系动量与冲量的矢量关系v特殊情形，当作用在质点上的力等于零，即特殊情形，当作用在质点上的力等于零，即时，则质点作惯时，则质点作惯性运动。当作用在质点上的力在某一轴上投影等于零时，例如性运动。当作用在质点上的力在某一轴上投影等于零时，例如则质点沿该轴则质点沿该轴(x轴轴)作惯性运动。作惯性运动。v（）质点系的动量定理）质点系的动量定理v设质点系由设质点系由n个质点组成，对每一个质点由式个质点组成，对每一个质点由式(6-9)有
23、有v其中，其中，为质点系以外的物体给该质点的作用力，称为外力；为质点系以外的物体给该质点的作用力，称为外力；为为质点系以内其他质点给该质点的作用力，称为内力，将上述方程进质点系以内其他质点给该质点的作用力，称为内力，将上述方程进行左右连加，其中，内力的合力等于零，即行左右连加，其中，内力的合力等于零，即，从而有，从而有(6-12)v质点系的动量定理：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系质点系的动量定理：质点系的动量对时间的导数等于作用在质点系上外力的矢量和上外力的矢量和(或称外力的主矢或称外力的主矢)。式。式(6-12)的微分形式为的微分形式为(6-13)v质点系动量定理的微分形式：质点系
24、动量的增量等于作用在质点系质点系动量定理的微分形式：质点系动量的增量等于作用在质点系上外力元冲量的矢量和。式上外力元冲量的矢量和。式(6-13)的积分形式为的积分形式为(6-14)v质点系动量定理的积分形式：质点系运动时末动量与初动量的差等质点系动量定理的积分形式：质点系运动时末动量与初动量的差等于作用在质点系上外力在此时间间隔内冲量的矢量和，常称为冲量于作用在质点系上外力在此时间间隔内冲量的矢量和，常称为冲量定理。定理。v由式由式(6-12)得质点系动量定理的投影形式：得质点系动量定理的投影形式：直角坐标系：直角坐标系：自然轴系：自然轴系：v（3）质点系动量守恒定律）质点系动量守恒定律v当作
25、用在质点系上外力的主矢等于零，即当作用在质点系上外力的主矢等于零，即时，质点系动时，质点系动量量为恒矢量，则质点系动量守恒；当作用在质点系上外力的主矢为恒矢量，则质点系动量守恒；当作用在质点系上外力的主矢在某一轴上投影等于零时，例如在某一轴上投影等于零时，例如，质点系沿该轴，质点系沿该轴x的动量的动量为恒量，则质点系沿该轴为恒量，则质点系沿该轴x的动量守恒。的动量守恒。v【例例6.4】两个重物两个重物和和的质量分别为的质量分别为和和，系在两个质，系在两个质量不计的绳子上，如图量不计的绳子上，如图6.5所示。两个绳子分所示。两个绳子分别缠绕在半径为别缠绕在半径为和和的鼓轮上，鼓轮的质量的鼓轮上，
26、鼓轮的质量为为，其质心为轮心，其质心为轮心O处。若轮以角加速度处。若轮以角加速度绕轮心绕轮心O逆时针转动，试求轮心逆时针转动，试求轮心O处的约束力。处的约束力。图图6.5v解：根据题意，质点系选鼓轮和两个重物为研究对象，系统的受力解：根据题意，质点系选鼓轮和两个重物为研究对象，系统的受力分析如图分析如图6.5所示。质点系动量在坐标轴上的投影为所示。质点系动量在坐标轴上的投影为(a)v作用在质点系上的外力在坐标轴上的投影为作用在质点系上的外力在坐标轴上的投影为(b)v将式将式(a)、(b)代入质点系的动量定理公式（代入质点系的动量定理公式（10-10）中，得）中，得v又由于又由于，则轮心，则轮心
27、O处的约束力为处的约束力为v【例例6.5】机车质量为机车质量为，以速度，以速度与静止在平直轨道上的车厢与静止在平直轨道上的车厢对接，车厢的质量为对接，车厢的质量为，对接时摩擦不计，试求对接后列车的速度，对接时摩擦不计，试求对接后列车的速度以及机车动量的损失。以及机车动量的损失。v解：以机车和车厢构成的质点系为研究对象，由于对接时摩擦不计，解：以机车和车厢构成的质点系为研究对象，由于对接时摩擦不计，质点系水平方向不受力，则质点系的动量在水平方向上守恒。质点系水平方向不受力，则质点系的动量在水平方向上守恒。v则对接后列车的速度为则对接后列车的速度为v机车动量的损失为机车动量的损失为v由此可见机车动
28、量的损失等于车厢所得的动量。由此可见机车动量的损失等于车厢所得的动量。6.2.2质心运动定理质心运动定理v（1）质心运动定理）质心运动定理v由质点系动量定理，将质点系动量式由质点系动量定理，将质点系动量式(6-7)代入式代入式(6-12)中得中得v或者写成或者写成(6-15)v其中，其中，为质点系质心的加速度，上式给出了质点系质心的运动规为质点系质心的加速度，上式给出了质点系质心的运动规律。即质心运动定理：质点系质量与质心加速度的乘积等于作用在律。即质心运动定理：质点系质量与质心加速度的乘积等于作用在质点系上外力的矢量和质点系上外力的矢量和(或称外力的主矢或称外力的主矢)。v由式由式(6-15
29、)得质点系质心运动定理的投影形式：得质点系质心运动定理的投影形式：v直角坐标系：直角坐标系：自然轴系：自然轴系：v由质心运动定理式由质心运动定理式(6-15)可以看出质点系质心的运动可以看出质点系质心的运动与一个质点的运动规律一样，这个质点的质量就是质点与一个质点的运动规律一样，这个质点的质量就是质点系的质量，这个质点所受的力就是作用在质点系上的外系的质量，这个质点所受的力就是作用在质点系上的外力。因此在求解质心运动时，与求质点运动问题完全一力。因此在求解质心运动时，与求质点运动问题完全一致。致。v由质点系动量定理和质心运动定理知，质点系动量的变由质点系动量定理和质心运动定理知，质点系动量的变
30、化和质点系质心的运动均与内力无关，与外力有关，外化和质点系质心的运动均与内力无关，与外力有关，外力是改变质点系动量和质点系质心运动的根本原因。例力是改变质点系动量和质点系质心运动的根本原因。例如在光滑的冰面上，人和汽车都很难行走，原因是冰面如在光滑的冰面上，人和汽车都很难行走，原因是冰面的摩擦力较小，克服它往往需要在冰面上洒一些沙子，的摩擦力较小，克服它往往需要在冰面上洒一些沙子，以增大摩擦力。以增大摩擦力。v（2）质心运动守恒定律）质心运动守恒定律v当作用在质点系上外力的主矢等于零，即当作用在质点系上外力的主矢等于零，即时，时，质点系质心的速度质点系质心的速度=恒矢量，则质点系质心作惯性运恒
31、矢量，则质点系质心作惯性运动；当作用在质点系上外力的主矢在某一轴上投影等于动；当作用在质点系上外力的主矢在某一轴上投影等于零时，例如零时，例如，质点系的质心沿该轴，质点系的质心沿该轴x的速度的速度=恒量，则质点系质心沿该轴恒量，则质点系质心沿该轴x作惯性运动，若初始作惯性运动，若初始系统静止，即质心的速度系统静止，即质心的速度=0，则质点系质心的，则质点系质心的坐坐标保持不变。标保持不变。v【例例6.6】质量为质量为的均质曲柄的均质曲柄OA，长为，长为l，以等角速度，以等角速度绕绕O轴轴转动，并带动滑块转动，并带动滑块A在竖直的滑道在竖直的滑道AB内滑动，滑块内滑动，滑块A的质量为的质量为；而
32、滑杆；而滑杆BD在水平滑道内运动，滑杆的质量为在水平滑道内运动，滑杆的质量为，其质心在点，其质心在点C处，如图处，如图6.6所示。开始时曲柄所示。开始时曲柄OA为水平向右，各处的摩查擦不计。为水平向右，各处的摩查擦不计。试求：试求：系统质心运动规律；系统质心运动规律；作用在作用在O轴处的最大水平约束力。轴处的最大水平约束力。图图6.6v解：解：v（）求系统质心运动规律）求系统质心运动规律v如图如图6.6所示，建立直角坐标系所示，建立直角坐标系，系统质心坐标，系统质心坐标(a)v（）求作用在）求作用在O轴处的最大水平约束力轴处的最大水平约束力v由质心运动定理对式由质心运动定理对式(a)求导质心的
33、加速度为求导质心的加速度为v则作用在则作用在O轴处水平约束力为轴处水平约束力为v最大水平约束力为最大水平约束力为v若求铅直方向约束力，由若求铅直方向约束力，由求出，但只能求出铅直方向求出，但只能求出铅直方向的合约束力。的合约束力。6.3动量矩定理动量矩定理v本节学习描述转动物体的物理量本节学习描述转动物体的物理量动量矩，与动量矩，与作用在物体上力矩之间的关系称动量矩定理。作用在物体上力矩之间的关系称动量矩定理。6.3.1动量矩定理动量矩定理v（1）质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩v（）质点的动量矩）质点的动量矩v如图如图6.7所示，设质点在图示瞬时所示，设质点在图示瞬时A点的动量为点的
34、动量为，矢径为，矢径为r，与，与力力F对点对点O之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点O的动量矩为的动量矩为(6-16)图图6.7质点对固定点的动量矩质点对固定点的动量矩图图6.8质点对固定轴的动量矩质点对固定轴的动量矩xyzBAOhrMO(mv)OmvFzBABAmvxyzMO(mv)OMZ(mv)mvOv质点对固定点质点对固定点O的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图6.7所示，大小为固定点所示，大小为固定点O与动量与动量AB所围成的三角形面积的所围成的三角形面积的2倍，倍，即即v其中，其中，h为固定点为固定点
35、O到到AB线段的垂直距离，称为动量臂。单位为线段的垂直距离，称为动量臂。单位为kgm2/s。v质点的动量对固定轴质点的动量对固定轴z的矩等于质点的动量的矩等于质点的动量在在Oxy平面上的投影平面上的投影对固定点对固定点O的矩，如图的矩，如图6.8所示，同时质点对固定轴所示，同时质点对固定轴z的矩的矩也等于质点对固定点也等于质点对固定点O的动量矩在固定轴的动量矩在固定轴z上的投影。即上的投影。即(6-17)v（）质点系的动量矩）质点系的动量矩v质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩等于质点系内各质点对固定点的动量矩等于质点系内各质点对固定点O的动量的动量矩的矢量和，即矩的矢量和，即(6-18)v
36、质点系对固定轴质点系对固定轴z的矩等于质点系内各质点对同一轴的矩等于质点系内各质点对同一轴z动量矩的代数动量矩的代数和，即和，即(6-19)v平移刚体动量矩：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动平移刚体动量矩：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计算。量矩计算。v刚体作定轴转动时动量矩：设定轴转动的刚体如图刚体作定轴转动时动量矩：设定轴转动的刚体如图6.9所示，其上所示，其上任一质点任一质点i的质量为的质量为mi，到转轴的垂直距离为，到转轴的垂直距离为，某瞬时的角速度，某瞬时的角速度为为，刚体对转轴，刚体对转轴z的动量矩由式的动量矩由式(6-19)得得图图6.9定轴转动刚体定轴
37、转动刚体rimivixyzv即即(6-20)其中，其中，为刚体对转轴为刚体对转轴z的转动惯量。定轴转动刚体对的转动惯量。定轴转动刚体对转轴转轴z的动量矩等于刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴z的转动惯量与角速度的乘积。的转动惯量与角速度的乘积。v（2）质点和质点系的动量矩定理质点和质点系的动量矩定理v（）质点的动量矩定理）质点的动量矩定理v如图如图6.7所示，设质点对固定点所示，设质点对固定点O的动量矩为的动量矩为，力，力F对同对同一点一点O的力矩为的力矩为，将式，将式(6-16)对时间求导得对时间求导得v即即(6-21)v质点的动量矩定理：质点对某一固定点的动量矩对时间的导数等于质点的动量矩定
38、理：质点对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对同一点的矩。作用在质点上的力对同一点的矩。v将式将式(6-21)向直角坐标轴投影得向直角坐标轴投影得(6-22)v特殊情形，当质点受向心力特殊情形，当质点受向心力F的作用时，如图的作用时，如图6.10所示，力矩所示，力矩，则质点对固定点，则质点对固定点O的动量矩的动量矩=恒矢量，质点恒矢量，质点的动量矩守恒。例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对的动量矩守恒。例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作用，引力对恒星的矩恒星的矩，行星的动量矩，行星的动量矩=恒矢量，此恒矢量恒矢量，此恒矢量的方向是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量
39、的大小是不的方向是不变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即变的，即=恒量，行星的速度恒量，行星的速度v与恒星到速度矢量的距离与恒星到速度矢量的距离h成反成反比。比。v【例例6.7】如图如图6.11所示单摆，由质量为所示单摆，由质量为m的小球和绳索构成。的小球和绳索构成。单摆悬吊于点单摆悬吊于点O，绳长为，绳长为，当单摆作微振幅摆动时，试求单摆的，当单摆作微振幅摆动时，试求单摆的运动规律。运动规律。图图6.10行星绕着恒星运动图行星绕着恒星运动图图图6.11hFmvOOFmvmgv解：根据题意，以小球为研究对象，小球受力为铅垂重力解：根据题意，以小球为研究对象，小球受力为铅垂重
40、力和绳和绳索拉力索拉力F。单摆在铅垂平面内绕点。单摆在铅垂平面内绕点O作微振幅摆动，设摆与铅垂线作微振幅摆动，设摆与铅垂线的夹角为的夹角为，规定，规定为逆时针时为正，如图为逆时针时为正，如图6.11所示。则质点对所示。则质点对点点O的动量矩为的动量矩为v作用在小球上的力对点作用在小球上的力对点O的矩为的矩为v由质点的动量矩定理得由质点的动量矩定理得(a)v由于由于，则，则，又由于单摆作微振幅摆动，则，又由于单摆作微振幅摆动，则v从而由式从而由式(a)得单摆运动微分方程为得单摆运动微分方程为(b)v解式解式(b)得单摆的运动规律为得单摆的运动规律为v其中，其中，称为单摆的角频率，单摆的周期为称为
41、单摆的角频率，单摆的周期为v称为单摆的振幅，称为单摆的振幅，称为单摆的初相位，它们由运动的初始条件称为单摆的初相位，它们由运动的初始条件确定。确定。v()质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理v设质点系由设质点系由n个质点组成，对每一个质点列式个质点组成，对每一个质点列式(6-21)有有v其中，其中，为外力矩，为外力矩，为内力矩，上式共列为内力矩，上式共列n个方程，个方程，将这些方程进行左右连加，并考虑内力矩之和为零，得将这些方程进行左右连加，并考虑内力矩之和为零，得(6-23)v质点系的动量矩定理：质点系对某一固定点的动量矩对时间的导数质点系的动量矩定理：质点系对某一固定点的动量矩对时间的导数
42、等于作用在质点系上的外力对同一点矩的矢量和等于作用在质点系上的外力对同一点矩的矢量和(或称外力的主矩或称外力的主矩)。v将式将式(6-23)向直角坐标系投影得向直角坐标系投影得(6-24)v特殊情形，当作用在质点系上外力对某点的矩等于零时，例如特殊情形，当作用在质点系上外力对某点的矩等于零时，例如，质点系动量矩，质点系动量矩恒矢量，则质点系对该点的动恒矢量，则质点系对该点的动量矩守恒；当作用在质点系上的外力对某一轴的矩等于零时，质点量矩守恒；当作用在质点系上的外力对某一轴的矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒，例如系对该轴的动量矩守恒，例如，质点系对，质点系对x轴的动量轴的动量矩矩为恒量，则质
43、点系对为恒量，则质点系对x轴的动量矩守恒。轴的动量矩守恒。v【例例6.8】在矿井提升设备中，两个鼓轮固联在一起，总质量为在矿井提升设备中，两个鼓轮固联在一起，总质量为m，对转轴，对转轴O的转动惯量为的转动惯量为，在半径为，在半径为的鼓轮上悬挂一质量的鼓轮上悬挂一质量为为的重物的重物A，而在半径为，而在半径为的鼓轮上用绳牵引小车的鼓轮上用绳牵引小车B沿倾角沿倾角的的斜面向上运动，小车的质量为斜面向上运动，小车的质量为。在鼓轮上作用有一不变的力偶矩。在鼓轮上作用有一不变的力偶矩M，如图，如图6.12所示。不计绳索的质量和各处的摩擦，绳索与斜面所示。不计绳索的质量和各处的摩擦，绳索与斜面平行，试求小
44、车上升的加速度。平行，试求小车上升的加速度。图图6.12OFOyFOxFNBAMmgm1gm2gv解：选整体为质点系，作用在质点系上的力为三个物体的重力解：选整体为质点系，作用在质点系上的力为三个物体的重力、，在鼓轮上不变的力偶矩，在鼓轮上不变的力偶矩M，以及作用在轴，以及作用在轴O处和斜面的处和斜面的约束力为约束力为、。质点系对转轴。质点系对转轴O的动量矩为的动量矩为v其中：其中：，v则则v作用在质点系上的力对转轴作用在质点系上的力对转轴O的矩为的矩为v由质点系的动量矩定理由质点系的动量矩定理v得得v解得鼓轮的角加速度为解得鼓轮的角加速度为v小车上升的加速度为小车上升的加速度为v（3）质点系
45、相对质心的动量矩定理）质点系相对质心的动量矩定理v建立定坐标系建立定坐标系Oxyz，和以质心，和以质心C为坐标原点的动坐标系为坐标原点的动坐标系。设。设质点系质心质点系质心C的矢径为的矢径为，任一质点，任一质点的质量的质量，对两个坐标系的，对两个坐标系的矢径分别为矢径分别为、，三者的关系如图，三者的关系如图6.13所示。所示。图图6.13质心坐标系质心坐标系ixyzxyzirirCCOv质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩为的动量矩为(a)其中，其中，v质点系对质心质点系对质心C的动量矩为的动量矩为(b)v质点系相对定坐标系的动量为质点系相对定坐标系的动量为(c)v将式将式(b)和式和式(c
46、)代入式代入式(a)得质点系对固定点得质点系对固定点O的动量矩和质点系的动量矩和质点系对质心对质心C的动量矩间的关系为的动量矩间的关系为(6-25)v式式(6-25)对时间求导得对时间求导得(d)v作用在质点系上的外力对固定点作用在质点系上的外力对固定点O的力矩为的力矩为(e)v作用在质点系上的外力对质心作用在质点系上的外力对质心C的力矩为的力矩为(f)v将式将式(d)、(e)和和(f)代入质点系动量矩定理式代入质点系动量矩定理式(6-23)中，并考虑中，并考虑质点系动量定理，从而得质点系动量定理，从而得(6-26)v质点系相对质心的动量矩定理：质点系相对质心的动量矩对时间的质点系相对质心的动
47、量矩定理：质点系相对质心的动量矩对时间的导数等于作用在质点系上的外力对质心之矩的矢量和导数等于作用在质点系上的外力对质心之矩的矢量和(或称主矩或称主矩)。v应当指出：质点系动量矩定理只有对固定点或质心点取应当指出：质点系动量矩定理只有对固定点或质心点取矩时其方程的形式才是一致的，若对其他动点取矩，质矩时其方程的形式才是一致的，若对其他动点取矩，质点系动量矩定理将更加复杂；不论是质点系的动量矩定点系动量矩定理将更加复杂；不论是质点系的动量矩定理还是质点系相对于质心的动量矩定理，质点系动量矩理还是质点系相对于质心的动量矩定理，质点系动量矩的变化均与内力无关，与外力有关，外力是改变质点系的变化均与内
48、力无关，与外力有关，外力是改变质点系量矩的根本原因。量矩的根本原因。6.3.2刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程v如图如图6.14所示，设定轴转动刚体某瞬时的角速度为所示，设定轴转动刚体某瞬时的角速度为，作用在刚，作用在刚体上的主动力为体上的主动力为(i=1,，n)、约束力为、约束力为、，刚，刚体对转轴体对转轴z的动量矩由式的动量矩由式(6-20)图图6.14定轴转动刚体上的力定轴转动刚体上的力zF NAF nF1F2BAF AxF AzF Ayv代入式代入式(6-24)中的第三式中，得刚体定轴转动微分方程中的第三式中，得刚体定轴转动微分方程v或或或或(6-27)v其中，其中，为主动力对
49、转轴为主动力对转轴z的矩，因为转轴处的约束力对转的矩，因为转轴处的约束力对转轴的矩轴的矩。则刚体对转轴。则刚体对转轴z的转动惯量与角加速度的乘的转动惯量与角加速度的乘积等于作用在转动刚体上的主动力对转轴积等于作用在转动刚体上的主动力对转轴z的矩的代数和的矩的代数和(或主矩或主矩)。v刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程与质点运动微分方程与质点运动微分方程类似，转动惯量是转动刚体的惯性量度。当类似，转动惯量是转动刚体的惯性量度。当时，刚体转动对转轴时，刚体转动对转轴z的动量矩的动量矩恒量，动量矩守恒，例如花样滑冰恒量，动量矩守恒，例如花样滑冰运动员通过伸展和收缩手臂以及另一条腿，改变其转动惯
50、量，从而运动员通过伸展和收缩手臂以及另一条腿，改变其转动惯量，从而达到增大和减少旋转的角速度的效果；当达到增大和减少旋转的角速度的效果；当恒量，对于确恒量，对于确定的刚体和转轴而言，刚体作匀变速转动。定的刚体和转轴而言，刚体作匀变速转动。v利用刚体定轴转动微分方程求解动力学的两类问题。利用刚体定轴转动微分方程求解动力学的两类问题。v【例例6.9】如图如图6.15所示，飞轮以角速度所示，飞轮以角速度绕轴绕轴O转动，飞轮对转动，飞轮对轴轴O的转动惯量为的转动惯量为，当制动时其摩擦阻力矩为，当制动时其摩擦阻力矩为，其中，其中，为比例系数，试求飞轮经过多少时间后角速度减少为初角速度的一为比例系数，试求