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1、第二十四章 圆 第11课时24.2.224.2.2 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系（3 3）切线长定理）切线长定理学习目标学习目标（1分钟）分钟）1了解切线长的概念2熟练掌握切线长定理，理解三角形的内切圆和三角形的内心的概念自学指导（自学指导（1212分钟）分钟）仔细阅读课本99页至100页内容，完成练习：1.切线长：过圆外一点作圆的切线,_和_之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.2.如图,PM,PN是O的两条切线,切点分别是M,N.(1)OMP=_,ONP=_.(2)_,可证RtPOMRtPON(_),PM=_,OPM=_.切线长的定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长_,
2、这一点和圆心的连线平分_的夹角.几何语言表述：_ _，_.3.三角形的内切圆:与三角形各边都_的圆叫做三角形的_圆.一个三角形_个内切圆.4.内心:内切圆的圆心是三角形_的交点,叫做三角形的_.这这点点切点切点90909090OM=ON,OP=OPOM=ON,OP=OPPNPNOPNOPNHLHL相等相等这两条切线这两条切线PM,PNPM,PN是是OO的切线的切线,切点分别是切点分别是M,N.M,N.PM=PNPM=PNOPM=OPNOPM=OPN相切相切内切内切三条角平分三条角平分线线内心内心只有只有1 1 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间
3、的线段的长叫做段的长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长.切线切线与与切线长有什么切线长有什么区别与联系呢？区别与联系呢？.OP.AB切线和切线长是两个不同的概念：1.切线切线是一条与圆相切的直线；2.切线长切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点。是几何图形是几何图形是一个数量是一个数量画一画：画一画：切线长定理：切线长定理：1 1、如何过、如何过OO外一点外一点P P画出画出OO的切线？的切线？2 2、这样的切线能、这样的切线能画出画出几条？几条？如下左图，如下左图，借助三角板，我们可以画出借助三角板，我们可以画出PAPA是是OO的切线的切线。.OP.ABAOP两条两条B
4、BA AP PO OC CE ED D3.3.如图如图,PA,PB,PA,PB为为O O的切线，切点分别为的切线，切点分别为A A，B.B.你能从图你能从图 中得出哪些结论？中得出哪些结论？B BA AP PO OC CE ED D切线长定理中的基本图形切线长定理中的基本图形如图如图.PA,PBPA,PB为为O O的切线的切线,切点分别为切点分别为A A，B.B.此图形中含有此图形中含有:(1)两个等腰三角形：_.(2)一条特殊的角平分线:_.(3)三个垂直关系:_.(4)三对全等的三角形:_.(5)相等的劣弧:_.(6)写出图中与OAC相等的角,图中相等的线段：OAC=_._.PAB,OAB
5、PAB,OABOPOP平分平分APBAPB和和AOBAOBOAPA,OBPB,OPABOAPA,OBPB,OPABAOPBOPAOPBOP，AOCBOCAOCBOC，ACPBCPACPBCPOBC=APC=BPCOBC=APC=BPCOA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.o外接圆圆心外接圆圆心(外心外心)：三角三角形三边垂直平分线的交点。形三边垂直平分线的交点。外接圆的半径：外接圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个顶点的距离。角形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心内切圆圆心(内心内心)：三
6、角三角形三个内角平分线的交点。形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的垂直距离。角形任意一边的垂直距离。A AA AB BB BC CC C名称确定方法图形性质外心：三角形外接圆的圆心内心：三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB3.内心在三角形内部填一填：ABOABCO5.5.仔细阅读课本第100页的例题2.注意解题格式！注意解题格式！完成课本100页练习.2.解：如图，设ABC的内心为O，连接OA、OB、O
7、C.则SABC=SAOB+SBOC+SAOCABCABC的内切圆半径为的内切圆半径为r r，ABCABC的周长为的周长为l.则则S SABCABC=lr.r.AOCBDEFr r6.6.例题，例题，已知:如图,O是RtABC的内切圆,D,E,F为切点,C是直角,AC=6,BC=8.求O的半径r.解：连接OE,OF.则OE=OF.由勾股定理得,AB=10.O是RtABC的内切圆,CE=CF,AD=AF,BD=BE,设CE的长为x,则CF=x,BE=BD=8-x,AF=AD=6-x.AB=AD+BD=6-x+8-x=14-2x,即14-2x=10,解得x=2,即CF=CE=2.O是RtABC的内切
8、圆,E,F为切点,OFC=OEC=90,又C=90.四边形OECF为矩形,又OE=OF.四边形四边形OECFOECF为为正方形正方形.CF等于RtABC的内切圆的半径,即r=2.变式：变式：已知直角三角形直角边为a,b，斜边为c，求直角三角形内切圆的半径r.解：连接OE,OF.则OE=OF.O是RtABC的内切圆,CE=CF,AD=AF,BD=BE,设CE的长为x,则CF=x,BE=BD=a a-x,AF=AD=b b-x.AB=AD+BD=(a a-x)+(b b-x),即(a a-x)+(b b-x)=c c,O是RtABC的内切圆,E,F为切点,OFC=OEC=90,又C=90.四边形O
9、ECF为矩形,又OE=OF.四边形四边形OECFOECF为为正方形正方形.CF等于RtABC的内切圆的半径,c cb ba a解得x=,即CF=CE=.即即r=.r=.已知已知:如图如图,O,O是是RtABCRtABC的内切圆的内切圆,CC是直角是直角,AC=3,AC=3,BC=4.BC=4.则则OO的半径的半径r r=.1 1变式：变式：已知直角三角形直角边为a,b，斜边为c，求直角三角形内切圆的半径r.c cb ba aABC的内切圆半径为r，ABC的周长为l.则SABC=lr.l=a+b+cSRtABC=ab lr=ab(a+b+c)r=ab已知已知:如图如图,O,O是是RtABCRtA
10、BC的内的内切圆切圆,C,C是直角是直角,AC=3,BC=4.,AC=3,BC=4.则则OO的半径的半径r r=.1 17.例题，例题，一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，使截出的圆与三角形各边都相切呢？ABCABC这样截出的圆的面积是最大吗？已知：ABC.ABC.求作：和ABCABC的各边都相切的圆.M MN ND D作法：1.1.作B B和和C C的平分线BMBM和CNCN，交点为O.O.2.2.过点O O作ODODBC.BC.垂足为垂足为D.D.3.3.以O O为圆心，ODOD为半径作圆O.O.O O就是所求的圆就是所求的圆.解：如图，解：如图，自学检测（自学检测（1212
11、分钟）分钟）1.判断：(1)三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（）(2)三角形的外心到三角形各边的距离相等（）(3)等边三角形的内心和外心重合（）(4)三角形的内心一定在三角形的内部（）(5)菱形一定有内切圆（）(6)矩形一定有内切圆（)(7)经过一点一定有两条切线.()(8)切线的长度就是切线长.()(9)任何三角形都有内切圆.()(10)等边三角形的内心就是外心.()2.PA,PB分别切O于点A,B,AOP=70,则APB=_.3.如图,PA,PB分别切O于点A,B,点E是O上一点,且AEB=60,则P=_.4.如上题图,若PA,PB分别切O于点A,B,连接AB,若PAB=40,则PB
12、A=_.4040606040405 5.如图，在如图，在ABCABC中，点中，点O O是内心，是内心，若若ABC=50ABC=50，ACB=70ACB=70，求，求BOCBOC的度数；的度数；A AB BC CO O若若A=80A=80度，则度，则BOC=BOC=；若若BOC=110BOC=110度，则度，则A=A=；130 130 40 40 猜想猜想AA和和BOCBOC之间有什么数量关系？之间有什么数量关系？外心外心120 120 BOCBOC=90=900 0+AA 6.如图,PA,PB是O的切线,A,B为切点,AC是O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.(1)若1=20,求APB的度
13、数.(2)若1=30,求证:OP=OD.(3)在(2)中,若AD=30,请你求出O的半径.7.如图，AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G三点，且ABCD，BO6cm，CO8cm.求BC的长.8.8.一枚直径为一枚直径为d d的硬币沿直线滚动一圈的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过圆心经过的距离是多少的距离是多少?D4530ABC9.9.如图，点如图，点A A是一个半径为是一个半径为300m300m的圆形森林公园的中心，的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有在森林公园附近有B B，C C两村庄，现要在两村庄，现要在B B，C C两村庄之两村庄之间修一条长为间修一条长为1000m1000m的笔直公路
14、将两村连通的笔直公路将两村连通,现测得现测得ABC=45ABC=45,ACB=30,ACB=30问此公路是否会穿过该森问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明林公园？请通过计算进行说明不会穿过该森林公园不会穿过该森林公园.M MN NP PQ QA A10.如图,公路MN和PQ在P处交汇,且QPN=300,点A处有一所中学,AP=160米,假设拖拉机行使时,周围100米以内会受到噪音的影响,已知拖拉机的速度为18千米时,那么学校会受到影响吗?如果会,受到影响的时间多长?B BC C学校会受到影响学校会受到影响 受到影响的时间为受到影响的时间为24s.24s.11.如图，某乡镇在进入镇区
15、的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，ACBC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？ACB古镇区古镇区镇镇商商业业区区镇工业区镇工业区.MEDF12.如图，PA、PB是O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作O的切线，分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7，P=40.则 PDE的周长是 ；DOE=.1414OPABCED707013.直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,3cm,4cm,试问：（1 1）它的外接圆半径是 cmcm;内切圆半径是
16、 cm.cm.（2 2）若移动点O O的位置，使O O保持与ABCABC的边ACAC、BCBC都相切，求O O的半径r r的取值范围.ABCEDFO2.51解：如图所示，设与BCBC、ACAC相切的最大圆与BCBC、ACAC的切点分别为B B、D,D,连接OBOB、OD,OD,则四边形BODCBODC为正方形.ABODCOBBC3，半径r的取值范围为0r3.小结（小结（5 5分钟）分钟）一、概念、定理：一、概念、定理：1、过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.2、切线长的定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
17、3.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.一个三角形只有一个内切圆.内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点,叫做三角形的内心.二、方法、规律：二、方法、规律：1、在应用切线长定理时，常作出如图的辅助线，结合等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理等.2、已知三角形的内心时，连接顶点和内心就是角平分线.三、易错点：三、易错点：如右图，若AB=AC，AB与O相切于点B.那么，AC也是O的切线.注意：这是正确的，但不是定理，解答题时不能直接用！B BA AP PO OC CE ED D四、切线长定理中的基本图形如图四、切线长定理中的基本图形如图.PA,PBPA,PB为为O O的切线的切线,切点
18、分别为切点分别为A A，B.B.此图形中含有此图形中含有:(1)两个等腰三角形：_.(2)一条特殊的角平分线:_.(3)三个垂直关系:_.(4)三对全等的三角形:_.(5)相等的劣弧:_.(6)写出图中与OAC相等的角,图中相等的线段：OAC=_._.PAB,OABPAB,OABOPOP平分平分APBAPB和和AOBAOBOAPA,OBPB,OPABOAPA,OBPB,OPABAOPBOPAOPBOP，AOCBOCAOCBOC，ACPBCPACPBCPOBC=APC=BPCOBC=APC=BPCOA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.5.
19、Rt5.Rt的三边长与其内切圆半径间的关系的三边长与其内切圆半径间的关系c cb ba a6.6.斜斜的三边长及面积与其内切圆半径间的关系的三边长及面积与其内切圆半径间的关系AOCBDEFr r(1)切线和圆只有一个公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心；(6)从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。7 7、切线的、切线的六个六个性质性质OAPr公共点A0A=r0AAPB BPM,PNPM,PN是是OO的切线的切线,切点分别是切点分别是M,N.M,N.PM=PNPM=PN OPM=OPM=OPNOPN当堂训练（当堂训练（1010分钟）分钟）完成练习册的80页练习.