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1、平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数波动方程波动方程定量地描述前进中的波动定量地描述前进中的波动（也称行波也称行波），用数学用数学形式描述介质中各个质点的位移随时间而变化形式描述介质中各个质点的位移随时间而变化的规律的规律。这样的函数式称为行波的波动方程这样的函数式称为行波的波动方程。简谐波简谐波：在均匀的在均匀的、无吸收的介质中无吸收的介质中，波源作简谐波源作简谐振动时振动时，其振动状态在介质中传播过程中所形成的波其振动状态在介质中传播过程中所形成的波。一一 .平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数平面简谐波平面简谐波：波面为平面的简谐波波面为平面的简谐波。6-2 平面简谐波的波函数平面简谐波
2、的波函数 介质中任一质点介质中任一质点（坐标为坐标为 x）相对其平衡位置的位移相对其平衡位置的位移（坐标为坐标为 y）随时间随时间t 的变化关系的变化关系，称为波函数称为波函数。y（）x、ty各质点相对平各质点相对平衡位置的位移衡位置的位移波线上各质波线上各质点点平衡平衡位置位置各种不同各种不同的简谐波的简谐波复杂波复杂波合成合成分解分解合成合成复杂波复杂波xy0简谐波简谐波2xy0任何复杂的波都可以看成是由若干个频率不同简谐波叠任何复杂的波都可以看成是由若干个频率不同简谐波叠加而成到的加而成到的，所以研究简谐波仍具有特别重要的意义所以研究简谐波仍具有特别重要的意义。简谐波简谐波的波形图的波形
3、图简谐波简谐波1xy01.平面简谐波波动方程的推导平面简谐波波动方程的推导推导的方推导的方法有两种法有两种：时间推迟方法时间推迟方法相位比较方法相位比较方法xxuyoPA已知振源已知振源（波源波源）的振动方程为的振动方程为：注意注意：波动图的纵横坐标波动图的纵横坐标分别为分别为x、y。它们表示它们表示振动振动状态传到的地方状态传到的地方和和振动质振动质点离开平衡位置的距离点离开平衡位置的距离。在此时间在此时间t 是隐函数是隐函数，不在波形图上不在波形图上。1.时间推迟方法时间推迟方法j=t+cos()yA01.时间推迟方法时间推迟方法xxuyoPA已知振源已知振源（波源波源）的振动方程为的振动
4、方程为：振源的振动状态从振源的振动状态从0点以传播速度点以传播速度u传送到传送到P 点点，显然时间要显然时间要落后落后：uxtuxj=t+cos()Aj=t+cos()yA0tj=t+cos()yAP 介质中任一质点介质中任一质点（坐标为坐标为 x）相对其平衡位相对其平衡位置的位移置的位移（坐标为坐标为 y）随时间随时间t 的变化关系的变化关系。2.相位比较方法相位比较方法xxuyoPA已知振源已知振源（波源波源）的振动方程为的振动方程为：j=t+cos()yA0P点的相位比点的相位比 0点的相位点的相位落后落后:j=jP-j=jP-jlx2-公式可查处：公式可查处：教材教材P153=t+co
5、s()yAPjP=jP+jlx2-=jP+jx2-u=T-xu+jul=T2 T=2.相位比较方法相位比较方法xxuyoPAP点的相位比点的相位比 0点的相位点的相位落后落后:j=jP-j=t+cos()yAPjP=jP-jlx2-=jP+jlx2-=jP+jx2-u=T-xu+jul=T2 T=uxj=t+cos()A=t+cos()yAPjP 介质中任一质点介质中任一质点（坐标为坐标为 x）相对其平衡位相对其平衡位置的位移置的位移（坐标为坐标为 y）随时间随时间t 的变化关系的变化关系。波向波向x 轴轴正方向正方向传播也称传播也称右行波右行波当波向当波向x 轴轴正方向传播正方向传播而且已知
6、而且已知距离距离0点为点为xo的的Q点振动方程为点振动方程为：uxj=t+cos()Ay波波函函数数波波动动方方程程uxj=t+cos()Ay波向波向x 轴轴负方向负方向传播也称传播也称左行波左行波 物理意义物理意义：波线上任一点波线上任一点（距原点为距原点为 x）处处的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移的质点任一瞬间相对其平衡位置的位移。=t+cos()yAQjP=tcos(uxj+)Ayx0-波函数波函数:可理解为将可理解为将Q点点作为计时原点作为计时原点。uxj=t+cos()Ayul=T2 T=xj=t+cos()Ay2 Tl平面简谐波波动方程的平面简谐波波动方程的标准像标准像必必须须牢
7、牢记记做做题题对对照照uxj=t+cos()Ayxj=t+cos()Ay2 Tl=tcos(uxj+)Ayx0-角波数角波数:表示单位长度上波的相位变化表示单位长度上波的相位变化，在在数值上等于数值上等于2长度上的完整波数目长度上的完整波数目。另外几种形式另外几种形式波动方程的波动方程的xj=t+cos()Ay2 lkxj=t+cos()Ay2 k=l角波数角波数k 例题例题：平面简谐波的波函数为平面简谐波的波函数为：式中式中A、B、C 为正常数为正常数，求波长求波长、波速波速、波波在传播方向上相距为在传播方向上相距为d 的两点间的相位差的两点间的相位差。)cosCBtAy=（x解解：以上式对
8、照波动方程的以上式对照波动方程的标准像标准像振幅振幅A，角频率角频率B例题例题：平面简谐波的波函数为平面简谐波的波函数为：式中式中A、B、C 为正常数为正常数，求波长求波长、波速波速、波波在传播方向上相距为在传播方向上相距为d 的两点间的相位差的两点间的相位差。)cosCBtAy=（xuxj=t+cos()Ay)cosCBtAy=（x)cosCBA=（xtB周期周期T B22BCu波速波速初相位初相位j0BCu波长波长lTB2C2xy0EuABCDF波传播方向上相距为波传播方向上相距为d 的两点间的相位差的两点间的相位差:与波源相距为与波源相距为d 处的振动表达式为处的振动表达式为：例题例题：
9、有一列横波向右有一列横波向右传播传播，画出波形曲线上画出波形曲线上A、B、C、D、E、F 各各点的点的运动方向运动方向和四分之和四分之一周期后的波形曲线一周期后的波形曲线。2dljxC22Cd)cosCBtAy=（x)cosCBtA=（d(本题结束本题结束)判断各点运动判断各点运动方向的方向的技巧技巧上坡下行上坡下行下坡上行下坡上行特别要注意特别要注意：波的传播方向波的传播方向，这是关键这是关键。4T例题例题：图图（a）中所表示的中所表示的x 0 处质点振动的初相位处质点振动的初相位与图与图（b）所表示的振动的初相位分别为所表示的振动的初相位分别为：uxy0ty0t0时的波形图时的波形图（a）
10、质点的振动曲线图质点的振动曲线图（b）（C）（D）（E）（A）均为均为零零（B）均为均为均为均为与与2222与与22提示提示：分清波动图和振动图上各点运动的方向分清波动图和振动图上各点运动的方向。uxy0t0时的波形图时的波形图（a）ty0质点的振动曲线图质点的振动曲线图（b）判断波动图上各判断波动图上各点运动的方向点运动的方向：上坡下行上坡下行、下坡上行下坡上行 （a）是是波形图波形图，注意到它注意到它的传播方向的传播方向，x 0处质点振处质点振动是过平衡位置动是过平衡位置，向向y 轴负轴负方向运动的方向运动的（理由理由：上坡下行上坡下行、下坡上行下坡上行）t 稍稍0时的时的波形图是红色曲线
11、波形图是红色曲线由此画出旋转矢量图由此画出旋转矢量图。y02.ty0质点的振动曲线图质点的振动曲线图（b）（b）是是振动图振动图 ，t 0处处质点振动是过平衡位置质点振动是过平衡位置，向向y 轴正方向运动的轴正方向运动的。由此画出旋转矢量图由此画出旋转矢量图:y02.（C）（D）（E）（A）均为均为零零（B）均为均为均为均为与与2222与与22所以取所以取解题体会解题体会：做此类做此类题目题目，切不可盲目切不可盲目判断判断，要加以分析要加以分析!Q0abct=0yAxu-A例题例题：如图所示简谐如图所示简谐波以余弦函数表示波以余弦函数表示，求求：Q、a、b、c 各点各点振动振动相位相位。t=T
12、/4上坡下行上坡下行 下坡上行下坡上行按照按照的原则的原则0Ay0点=oj0Aya点=aj20Ayb点0=bj0AyC点=cj2求出初相位是求出初相位是解题的关键解题的关键。例题例题：如图所示如图所示，为为t=0时刻的简谐波形时刻的简谐波形，试求试求 （1）0点的振动方程点的振动方程（2）波动方程波动方程 （3）标出标出a、b 两点的运动方向两点的运动方向（4）x 0.2m 质点的振动方程质点的振动方程。（练习册练习册P16计算题计算题1版书版书）x(m)y(m)bu0.08 m/s0.0.040.040.20.4a.例题例题：一列沿一列沿x 正向传播的简谐波正向传播的简谐波，已知已知t1=0
13、和和t2=0.25s时的波形如图时的波形如图。试求试求：（1）振动方程振动方程 （2）波动方程波动方程 （3）作出波源振动曲线作出波源振动曲线。（练习册练习册P32计算题计算题3版书版书）x(m)y(m)0.45 mP0.ut2t10.02m.例题例题：一平面简谐波一平面简谐波，振幅振幅A5m,向向x 轴轴负方向负方向传播传播，波速为波速为u=120m/s,波长为波长为60m ,以原点处质点在以原点处质点在y=A/2处并处并向向y 轴正方向运动轴正方向运动作为计时零点作为计时零点。试写出波试写出波动方程动方程。解解：u=12060l=A=5u=lTT=lu=由由：21（s）1=T=2=2=4由
14、标准方程由标准方程：uxj=t+cos()Ay对照后除了对照后除了 ，其它的特征量都知道了其它的特征量都知道了，所以关键所以关键是要求出初相位是要求出初相位，这也是解波动题目的难点这也是解波动题目的难点。j根据题意根据题意：在在t=0时刻时刻质点在质点在y=A/2处并处并向向y 轴正方向运动轴正方向运动cosj=21(究竞取哪一个究竞取哪一个值作为初相位值作为初相位？)j=3+-分析法分析法：2j=t+cos()AA根据题意根据题意：在在t=0时刻时刻质点在质点在y=A/2处并处并向向 y 轴正方向运动轴正方向运动旋转矢量方法旋转矢量方法：y03u=12060l=A=5得波动方程得波动方程：1
15、20 x=tcos()y543（m）x(m)y(m)5u120.解解：上坡下行上坡下行下坡上行下坡上行0点在点在t 稍稍0 时时过平衡位置向过平衡位置向y 负方向运动负方向运动ul=1250600s=1()例题例题：有一列向有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波轴正方向传播的平面简谐波，它在它在t=0 时刻的波形如图所示其波速为时刻的波形如图所示其波速为：u=600m/s 。试写出波动方程试写出波动方程。=5mA24ml=从波形图中可知从波形图中可知：=2=50()rad.s1原点处质点的振动方程为原点处质点的振动方程为：波动方程为波动方程为：y02由旋转矢量法由旋转矢量法：ul=1250600
16、s=1()=5mA24ml=从波形图中可知从波形图中可知：0点在点在t 稍稍0 时时过平衡位置向过平衡位置向y 负方向运动负方向运动=t+cos()y5050 2m=tcos()y5502+x600(）(本题结束本题结束)x(m)y(m)12.0A2APu.Q例题例题：有一列向有一列向 x 轴正方向传播的平面简谐波它在轴正方向传播的平面简谐波它在解解：根据根据上坡下行上坡下行下坡上行下坡上行的的规律规律Q点向下运动点向下运动，P点往上运动点往上运动。t 0 时波形图为虚线状时波形图为虚线状t0时刻时刻 分析法分析法：t 0 时刻的波形如图所示时刻的波形如图所示，试求其波长试求其波长。A=tco
17、sA)(j+cosAj2=j0=cos-1224=j0-x(m)y(m)12.0A2APu.Q旋转矢量法判定旋转矢量法判定y04A4=j0=yP0同理同理：过平衡过平衡位置向位置向 y 正方向运动正方向运动 yo2A2=jP-由由ljx=2 l2=2（-）-412l=32 m(本题结束本题结束).xAu20 m/s.B5 m（练习册练习册P30填充题填充题9版书版书）例题例题：平面简谐波在某种媒介质中以平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿沿x 轴轴ty4cos3=（SI）（1）以以A点为坐标原点点为坐标原点，写出波动方程写出波动方程（2）若以距离若以距离A点点负方向负方向5m处的处的B点
18、为坐标点为坐标原点原点，再写出波动方程再写出波动方程。负方向负方向传播传播，已知已知：A点的振动方程为点的振动方程为：例题例题：平面简谐波在某种媒介质中以平面简谐波在某种媒介质中以u=20m/s沿沿x 轴轴正方向正方向传播传播，如如（a）所示所示。如果波线上如果波线上A点的振动曲线点的振动曲线如图如图（b）所示所示。求求：（1）A点的振动方程点的振动方程（2）分别以分别以A、B、0为原点的波动方程为原点的波动方程。u20 m/s0BA10m5m（a）x（b）t(s)y(m)o50.551.5（练习册练习册P14计算题计算题2）分析分析：解这类题目时要用波函数中的第三个标准方程解这类题目时要用波
19、函数中的第三个标准方程（标准像标准像）x)(cosjw+-=tAyu-xo（b）t(s)y(m)o50.551.5（1）A点点的振动方程的振动方程：从图（b）中可知中可知t=0时，质点在正时，质点在正的最大位移处并向的最大位移处并向y 轴的负方向运动轴的负方向运动j00从图（b）中可知中可知T=2.0(s)由w2 T（2）分别以分别以A、B、0为原点的波动方程为原点的波动方程:对照振动方程标准像对照振动方程标准像：cosy=tA（）j u20 m/s0BA10m5m（a）x=tcosy+50A（)=tcos5（m）A为原点的波动方程为原点的波动方程:=tcosyxuA)(j+由波函数的标准方程
20、由波函数的标准方程（标准像标准像）x=tcosy520A u20 m/s0BA10m5m（a）x因为是右行波因为是右行波，B点的振动相位比点的振动相位比A点的振动相位落后点的振动相位落后，而且相距而且相距5m B为原点的波动方程为原点的波动方程:x=tcosy520B+5x=tcos520+5x=tcos5204（2）分别以分别以A、B、0为原点的波动方程为原点的波动方程:初相位初相位j0B为原点的波动方程为原点的波动方程:0为原点的波动方程为原点的波动方程:因为是右行波因为是右行波，0点的振动相位超前点的振动相位超前A点的振动相位点的振动相位，而且相距而且相距10m 结结 论论(本题结束本题
21、结束)yBx=tcos5204x=tcos5204（)（m）x=tcosy520A10 x=tcos52010 x=tcos520+2x=tcos520+2（)（m）B点的振动相位点的振动相位比比A点的振动相点的振动相位落后位落后0点的振动相位点的振动相位比比A点的振动相点的振动相位超前位超前42 二、波动方程的物理意义波动方程的物理意义uxj=t+cos()Ay 1.=x1x(常数常数)即考察该点处的质点情况即考察该点处的质点情况。则位移则位移y只是时间只是时间t 的周期函数的周期函数。ux1j=t+cos()Ay 波函数表示距离原点为波函数表示距离原点为x1处处的质点在各个不同时刻的位的质
22、点在各个不同时刻的位移移 。显示了该质点在作周期显示了该质点在作周期为为T 的的简谐振动的情况的的简谐振动的情况。yt0 x1并给出该点与点并给出该点与点0振动的相位差振动的相位差。由由jx=2 ux=ly（）x、ty+T（波具有时间的周期性波具有时间的周期性）2.=t1t(常数常数)即考察该时刻各个质点离开平即考察该时刻各个质点离开平衡位置的位移情况衡位置的位移情况。即即此刻此刻的波形的波形。uxj=t+cos()Ayuxj=t1+cos()Ay犹比拍快照犹比拍快照yx0定时刻的各质点离开定时刻的各质点离开平衡位置的位移情况平衡位置的位移情况y（）xty+（波具有空间的周期性波具有空间的周期
23、性）l、经过一个周期的时间经过一个周期的时间，波向波向前传播了一个波长的距离前传播了一个波长的距离。两两质点相位差和它们的质点相位差和它们的波程差波程差之间的数学关系之间的数学关系jx=2 l3、事实上简谐波事实上简谐波：x 和和t 均在变化均在变化。波函数表示波形沿波函数表示波形沿传播方向的运动情况传播方向的运动情况（行波行波）即振动状态的传播情况即振动状态的传播情况。0yxxxut 时刻时刻t时刻时刻txj=t+cos()Ay2 Tlx=t()2 Tl(2 Tttxxl)波的传播是相位的传播波的传播是相位的传播是振动状态的传播是振动状态的传播。波速波速是相位或波形向前是相位或波形向前传播的
24、速度传播的速度。波函数描波函数描述了波的传播过程述了波的传播过程。xut三三、波动方程的一般形式波动方程的一般形式（了解了解）uxj=t+cos()Ay质点的振动速度质点的振动速度：ty=v uxj=t+sin()A质点的振动加速度质点的振动加速度：ty=a 22uxjt+cos()A=2（1）=xy 22uxjt+cos()A2u2（2）由式由式(1)、(2)得得：ty 22xy 22=u21可证明在可证明在无吸收无吸收的的各向同性各向同性的的均匀介质中均匀介质中质点的位移质点的位移平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程三维空间传播的三维空间传播的一切波动过程一切波动过程都满足下列方程都满
25、足下列方程：ty 22xy 22=u21=+1u222x 22y 22z 22t +例题例题：一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度u20m/s 沿直线传播沿直线传播，波线上点波线上点 A 的简谐运动方的简谐运动方程程：2y 3 10 cos（4t）m0ABCD5m9m8mxu（1）以以A 为坐标原点为坐标原点,写出波函数写出波函数（2）以以B 为坐标原点写出波函数为坐标原点写出波函数（3）写出传播方向上点写出传播方向上点C、点点D 的简谐运动方程的简谐运动方程（4）分别求出分别求出 BC，CD 两点间的相位差两点间的相位差。解解：（1）以以 A 为坐标原点为坐标原点，写出波函数写出波函数2y
26、3 10 cos（4t）m0ABCD5m9m8mxu解解：（1）以以 A 为坐标原点为坐标原点，写出波函数写出波函数从题给的振动方程可以看出从题给的振动方程可以看出：代入标准方程代入标准方程：角频率角频率4原点的初相位原点的初相位j0uxj=t+cos()Aymxtcos()23 10420=yAmxtcos()23 1045=yA或或：（2）以以B 为坐标原点写出波函数为坐标原点写出波函数0ABCD5m9m8mxuul=T2 T=2 T=2 4=21ul=T=2021=10由于是右行波由于是右行波B 点的相位点的相位超前超前A点点的的相位相位jx=2 l=xA2 lxB（）=2 10（50)
27、=由由A点波动方程的基础上点波动方程的基础上mxtcos()23 10420=yAmxtcos()23 1045=yA或或：由于是右行波由于是右行波B 点的相位点的相位超前超前A点点的的相位相位jx=2 l=xA2 lxB（）=2 10（50)=以以B 为坐标原点的波函数为为坐标原点的波函数为：mxtcos()23 10420=yBmxtcos()23 1045=yA或或：（3）写出传播方向上点写出传播方向上点C、点点D 的简谐振动方程的简谐振动方程0ABCD5m9m8mxu2y 3 10 cos（4t）m点点 A 的简谐运动方的简谐运动方程程：由于点由于点C 的相位比点的相位比点A 超前超前
28、2y 3 10cos（4 t）C+AC20m2 3 10cos（4 t）+513由于点由于点D 的相位落后于点的相位落后于点A，所以有所以有：（3）写出传播方向上点写出传播方向上点C、点点D 的简谐振动方程的简谐振动方程0ABCD5m9m8mxu由于点由于点D 的相位的相位落后于落后于点点A，所以有所以有：2y 3 10cos（4 t）D-AD20m2 3 10cos（4 t）-59（4）分别求出分别求出 BC，CD 两点间的相位差两点间的相位差。jx=2 ljBC=1.6jCD=4.4BC=8CD=22代入后得代入后得：l=10例题例题：平面简谐波沿平面简谐波沿x 轴正方向轴正方向传播传播，
29、已知振幅为已知振幅为1.0m、周期为周期为2.0s、波长为波长为2.0m。在在t=0 时时坐标原点处的质坐标原点处的质点位于平衡位置沿点位于平衡位置沿y 轴的正方向运动轴的正方向运动。求求（1）波动方程波动方程（2）t1.0s时各质点的位移分布时各质点的位移分布，并画出该并画出该时刻的波形图时刻的波形图（3）x0.5m处质点的振动规律处质点的振动规律，并画出并画出该质点的位移与时间的关系曲线该质点的位移与时间的关系曲线。解解：（1）波动方程波动方程x（m）y0uA2.0根据题意可以由旋转矢量法根据题意可以由旋转矢量法确定坐标原点质点的初相位确定坐标原点质点的初相位根据题意先根据题意先画出波形图
30、画出波形图OAy0=j2-x（m）y0uA2.0解解：（1）波动方程波动方程xj=t+cos()Ay2 Tl对照波动方程的对照波动方程的标准像标准像：振幅振幅 A1.0m 周期周期 波长波长 2.0m=j2-T2.0 slx=tcos()y2 1.02.02.02m（2）求求：t1.0s 时各质点的位移时各质点的位移分布分布，并画出该时刻的波形图并画出该时刻的波形图。（2）求求：t1.0s 时各质点的位移时各质点的位移分布分布，并画出该时刻的波形图并画出该时刻的波形图。x=tcos()y2 1.02.02.02m用用t1.0s代入上式波动方程后得代入上式波动方程后得：x=cos()y2 1.0
31、2.02.02m1.0 x=cos()1.02mx=sin()1.0以以x 0、1、2、3 代入上式可得代入上式可得：yx=sin()1.0=0以以x 2k0.5 代入上式可得代入上式可得：yx=sin()1.0=1()k0、1、2、3 以以x 0、1、2、3 代入上式可得代入上式可得：yx=sin()1.0=0以以x 2k0.5 代入上式可得代入上式可得：yx=sin()1.0=1()k0、1、2、3 mx=sin()1.0yo2.01.0-1.01.03.0y/mx/m以以x 2k1.5 代入上式可得代入上式可得：yx=sin()1.0=-1()k0、1、2、3 t=1.0s时的波形图时的
32、波形图（3）x0.5m 处质点的振动规律处质点的振动规律，并画并画出该质点的位移与时间的关系曲线出该质点的位移与时间的关系曲线。用用x0.5m 代入波函数方程代入波函数方程（1）式中的式中的 xx=tcos()y2 1.02.02.02mx0.5m 处质点的振动方程处质点的振动方程：t=cos()1.0ym（完完）11x0.5m 处质点的振动曲线处质点的振动曲线01.0-1.02.0O234*2341.0yytm+=()?123 45 6 789 0.aqaABCDE FGKM NPRS TUVWHLOQI Jgzxnsfhmq rt u vwyelpcbdkjiozhmncXYZh1 203acbdi j kzxyoacbdsincsctgcosctg sec lm()=+()()()()()()()()()()()+=()=+()()()()()()()()()()()+=()=+()()()()()()()()()()()+=()=+()()()()()()()()()()()+=j