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1、 古代埃及数学古代埃及数学n数学的发源地数学的发源地 非洲的尼罗河非洲的尼罗河 西亚的底格里斯河和幼发拉底河西亚的底格里斯河和幼发拉底河 中南亚的印度河和恒河中南亚的印度河和恒河 东亚的黄河和长江东亚的黄河和长江n“河谷文明河谷文明”n这些地区的先民由于从事这些地区的先民由于从事农业生产农业生产的需的需要，从控制洪水和灌溉，测量田地的面要，从控制洪水和灌溉，测量田地的面积、计算仓库的容积、推算适合农业生积、计算仓库的容积、推算适合农业生产的历法以及相关的财富计算、产品交产的历法以及相关的财富计算、产品交换等等长期换等等长期实践活动实践活动中积累了丰富的中积累了丰富的经经验验，并逐渐形成了相应的
2、技术知识和有，并逐渐形成了相应的技术知识和有关的数学关的数学知识知识。n数概念的形成可能与火的使用一样古老，数概念的形成可能与火的使用一样古老，大约是在大约是在30万年以前，它对于人类文明的万年以前，它对于人类文明的意义也决不亚于火的使用。意义也决不亚于火的使用。n记数记数 计数计数n手指计数、石子计数、结绳计数、刻痕计手指计数、石子计数、结绳计数、刻痕计数等。数等。n周易周易：“上古结绳而治，后世圣人，上古结绳而治，后世圣人，易之以书契。易之以书契。”n荷马史诗荷马史诗奥德赛奥德赛n当主人公奥德修斯刺瞎了当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不
3、的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。返回了山洞。n大约五千多年前，书写记数以及相应的大约五千多年前，书写记数以及相应的记数系统。记数系统。n与算术的产生相仿，最初的几何知识则与算术的产生相仿，最初的几何
4、知识则从人们对形的直觉中萌发出来。从人们对形的直觉中萌发出来。1 古埃及的数学古埃及的数学n尼罗河谷尼罗河谷“世界最大沙漠中的最大绿洲世界最大沙漠中的最大绿洲”n象形文字象形文字 巨大的金字塔巨大的金字塔n公元前公元前3100年左右起，到公元前年左右起，到公元前332年年止止n纸草纸草 纸草书纸草书1 古埃及的数学古埃及的数学n两卷古埃及数学资料两卷古埃及数学资料 公元前公元前1700年左右年左右n莫斯科纸草莫斯科纸草 25个数学问题个数学问题 1893年年 莫斯科美莫斯科美术博物馆术博物馆n莱茵德纸草莱茵德纸草 85个数学问题个数学问题 1858年年 英国博物英国博物馆馆 阿姆士阿姆士 公元
5、前公元前3000年年 阿默士纸草阿默士纸草 “万物的详尽研究，洞察一切存在及所有晦涩万物的详尽研究，洞察一切存在及所有晦涩奥秘的知识奥秘的知识”。2 古埃及的记数制与算术古埃及的记数制与算术n十进记数制十进记数制 有数字的专门符号有数字的专门符号2 古埃及的记数制与算术古埃及的记数制与算术n古埃及人的记数系统是古埃及人的记数系统是叠加制叠加制而不是位而不是位值制值制n加减法运算加减法运算n乘法或除法运算时，则需要利用连续加乘法或除法运算时，则需要利用连续加倍的运算来完成。倍的运算来完成。2731 745262 古埃及的记数制与算术古埃及的记数制与算术n分数的记法和计算分数的记法和计算2 古埃及
6、的记数制与算术古埃及的记数制与算术n通常用通常用单位分数的和单位分数的和来表示分数来表示分数n莱茵德纸草里有个莱茵德纸草里有个数表数表，它把分子为，它把分子为2而而分母为分母为5到到100的奇数的这类分数，表示的奇数的这类分数，表示成为单位分数的和。成为单位分数的和。5/21=1/21+2/21+2/21=1/21+1/14+1/42+1/14+1/42 =1/21+2/14+2/42=1/21+1/7+1/21=1/7+2/21 =1/7+1/14+1/42n由于整数与分数的运算都较为繁复，古由于整数与分数的运算都较为繁复，古埃及算术难以发展到更高的水平。埃及算术难以发展到更高的水平。2 古
7、埃及的记数制与算术古埃及的记数制与算术n体积的测量有其自己的符号体系：体积的测量有其自己的符号体系：由象征由象征何露斯的眼睛何露斯的眼睛的象形文字的的象形文字的部分组成。部分组成。n何露斯是鹰神，他的眼睛半人半鹰。何露斯是鹰神，他的眼睛半人半鹰。n象征他的眼睛的象形文字的每一个元素象征他的眼睛的象形文字的每一个元素分别表示分别表示1/2、1/4、1/8、1/16、1/32、1/64，将它们组合起来可以表，将它们组合起来可以表示分母为示分母为64的任何分数。的任何分数。2 古埃及的记数制与算术古埃及的记数制与算术n何露斯的眼睛本身还带有何露斯的眼睛本身还带有神秘色彩神秘色彩n伊希斯和欧西里斯伊希
8、斯和欧西里斯 塞斯塞斯n何露斯为埃及国王以及法老的守护神何露斯为埃及国王以及法老的守护神n掌管学习和魔法的月神透特掌管学习和魔法的月神透特n何露斯的眼睛成为了健康、洞察力和富何露斯的眼睛成为了健康、洞察力和富饶的象征饶的象征n“透特将剩下的透特将剩下的1/64给予所有进行了探给予所有进行了探索并接受了他的保护的书记们。索并接受了他的保护的书记们。”3 古埃及的代数古埃及的代数n“计算若干计算若干”的问题的问题 方程问题方程问题 试位法试位法 x+x/7=24n公元前公元前1950年：将给定的年：将给定的100单位的面积分单位的面积分为两个正方形，使二者的边长之比为为两个正方形，使二者的边长之比
9、为4：3。x2+y2=100。n莱因德纸草（等差数列问题）：今将莱因德纸草（等差数列问题）：今将10斗麦子斗麦子分给分给10给人，每人依次递降给人，每人依次递降1/8斗，问各得多斗，问各得多少？少？3 古埃及的代数古埃及的代数n希克索斯纸草希克索斯纸草 等比数列等比数列n一位妇人的家里有一位妇人的家里有7间储藏间储藏室，每间储藏室里有室，每间储藏室里有7只猫，只猫，每只猫捉了每只猫捉了7只老鼠，每只只老鼠，每只老鼠吃了老鼠吃了7棵麦穗，每棵麦棵麦穗，每棵麦穗可以长出穗可以长出7升麦粒。升麦粒。n这个问题的作者是用逐项相这个问题的作者是用逐项相加这一简单方法得到解答加这一简单方法得到解答的。没有
10、证据说明作者使的。没有证据说明作者使用了求和公式，抑或确实用了求和公式，抑或确实是用到几何级数的什么性是用到几何级数的什么性质。质。4 古埃及的几何学古埃及的几何学n埃及几何学是尼罗河的赠礼。埃及几何学是尼罗河的赠礼。n尼罗河周期性泛滥之后为了重划地界，需要有尼罗河周期性泛滥之后为了重划地界，需要有高度发达的土地测量技术。高度发达的土地测量技术。n希罗多德希罗多德 公元公元5世纪世纪 历史历史n“大王（法老拉美西斯二世，约公元前大王（法老拉美西斯二世，约公元前1300年）把土地分成大小相同的小正方形，然后分年）把土地分成大小相同的小正方形，然后分给每一个埃及人，同时，指定年税的支付并以给每一个
11、埃及人，同时，指定年税的支付并以此作为国家收入的来源。如果一个人的土地被此作为国家收入的来源。如果一个人的土地被河水冲走，他可以找大王申报所发生的事情，河水冲走，他可以找大王申报所发生的事情，然后大王会派人去调查并测量减少的土地数量。然后大王会派人去调查并测量减少的土地数量。这样以后就按剩下土地的比例缴税。我认为，这样以后就按剩下土地的比例缴税。我认为，希腊人从埃及人那里学会了几何技术。希腊人从埃及人那里学会了几何技术。”4 古埃及的几何学古埃及的几何学n一些纸草表明，埃及人在一些纸草表明，埃及人在几何几何方面也能解决某方面也能解决某些有实用价值的问题。他们提出了计算土地面些有实用价值的问题。
12、他们提出了计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、石料和其他建积、仓库容积、粮食堆的体积、石料和其他建筑材料多寡等的法则。筑材料多寡等的法则。n等腰梯形面积等腰梯形面积 三角形的面积三角形的面积n任意四边形面积的公式任意四边形面积的公式：n他们没有给出理论结果，也没有给出计算程序他们没有给出理论结果，也没有给出计算程序的一般法则。的一般法则。n埃及人只要自己的数学知识能应付日常生活中埃及人只要自己的数学知识能应付日常生活中的问题，就已感到很满足了。的问题，就已感到很满足了。4 古埃及的几何学古埃及的几何学n和上古时代的许多民族一样，埃及人似乎也已和上古时代的许多民族一样，埃及人似乎也已熟悉这样的
13、事实：如果三角形三边的边长与熟悉这样的事实：如果三角形三边的边长与3，4，5三个数成正比，则此三角形是直角三角三个数成正比，则此三角形是直角三角形。但没有可靠的证据说明他们在建筑活动中形。但没有可靠的证据说明他们在建筑活动中曾用过这个事实。曾用过这个事实。n关于圆面积的计算，埃及人认为它等于一个边关于圆面积的计算，埃及人认为它等于一个边长为此圆直径的长为此圆直径的8/9的正方形面积，这个结果的正方形面积，这个结果导致圆周长与其直径之比是导致圆周长与其直径之比是3.16。n新加坡数学教科书新加坡数学教科书New Mathematics Counts “勾股定理勾股定理”这一章的一幅插图这一章的一
14、幅插图 4 古埃及的几何学古埃及的几何学n埃及人在埃及人在体积计算体积计算中达到了很高的水平。中达到了很高的水平。n莫斯科纸草：莫斯科纸草：“你这样说，一个正四棱台你这样说，一个正四棱台6腕尺高，顶腕尺高，顶面每边面每边4腕尺，底面每边腕尺，底面每边2腕尺。你这样做：将腕尺。你这样做：将4自乘，自乘，得得16。再将。再将4乘以乘以2，得，得8，它就是底边乘以顶边。再，它就是底边乘以顶边。再将将2自乘，得自乘，得4。将。将16加加8再加再加4，得，得28。再取。再取6的的1/3得得2。再取。再取28的两倍，得的两倍，得56。看，这个。看，这个56正好就是你正好就是你要求的体积。要求的体积。”n这
15、个惊人的结果表明，埃及人早在公元前这个惊人的结果表明，埃及人早在公元前1850年就已熟悉确定年就已熟悉确定 正四棱台体积的方法了。正四棱台体积的方法了。n“最伟大的埃及金字塔最伟大的埃及金字塔”4 古埃及的几何学古埃及的几何学n埃及人究竟懂不懂证明，或着懂不懂他们的算埃及人究竟懂不懂证明，或着懂不懂他们的算法和公式需要与根据？有一种说法认为莱茵德法和公式需要与根据？有一种说法认为莱茵德纸草是按纸草是按教科书格式教科书格式写给当时学生学习用的，写给当时学生学习用的，因此虽然它在解一些类型的方程时没有叙述一因此虽然它在解一些类型的方程时没有叙述一般法则，但很可能作者是懂得这些规则的，但般法则，但很
16、可能作者是懂得这些规则的，但想让学生自己去体会出这些法则，或者想让教想让学生自己去体会出这些法则，或者想让教师教给他们。不过可以肯定的是，纸草中所载师教给他们。不过可以肯定的是，纸草中所载的问题是当时的商业人员和行政管理人员应该的问题是当时的商业人员和行政管理人员应该解决的那类问题，而求解的方法则是从工作经解决的那类问题，而求解的方法则是从工作经验中得出的验中得出的实用法则实用法则。4 古埃及的几何学古埃及的几何学n古希腊人普遍承认他们的数学，特别是古希腊人普遍承认他们的数学，特别是几何学，源于埃及。几何学，源于埃及。现在给我们印象最现在给我们印象最深的不是埃及数学和希腊数学的相似之深的不是埃及数学和希腊数学的相似之处，而是他们在风格上、深度上以及由处，而是他们在风格上、深度上以及由此推测的理解上的巨大差异。看来此推测的理解上的巨大差异。看来阿姆阿姆士的士的“晦涩的奥秘晦涩的奥秘”一直要遗留到今天。一直要遗留到今天。5 思考思考n正四棱台体积公式的推导方法正四棱台体积公式的推导方法