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1、二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质（3）吴忠一中吴忠一中 李宁波李宁波温故求新温故求新c=0平移平移y=ax2(a0)y=ax2+c(a0)温故求新温故求新如图是一座桥的抛物线形桥拱如图是一座桥的抛物线形桥拱.当水面当水面在在BC时，拱顶离水面的距离时，拱顶离水面的距离AD=2m，水面宽水面宽BC=2m.ABCD2m2m温故求新温故求新问题问题1：请建立适当的平面直角坐标系，请建立适当的平面直角坐标系，指出抛物线的顶点坐标和对称轴，并求指出抛物线的顶点坐标和对称轴，并求出此时抛物线的解析式出此时抛物线的解析式.（单位：（单位：m）温故求新温故求新xyy1=-2x2y2=-2x2+2y3=
2、-2x2+4x解析式解析式图象图象xy开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴曲线趋势曲线趋势向下向下(1,2)直线直线 x=1在对称轴左侧图在对称轴左侧图象从左到右上升象从左到右上升;在对称轴右侧图在对称轴右侧图象从左到右下降象从左到右下降.y3=-2x2+4x代数特征代数特征解析式解析式图象图象xy开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴曲线趋势曲线趋势向下向下(1,2)直线直线 x=1在对称轴左侧图在对称轴左侧图象从左到右上升象从左到右上升;在对称轴右侧图在对称轴右侧图象从左到右下降象从左到右下降.最值最值增减性增减性对称性对称性y3=-2x2+4x当当x=1时时 ymax=2当
3、当x1时时y随随x的的增大而减小增大而减小.当当x1时时y随随x的的增大而增大增大而增大;最值最值求证：求证：当当x=1时时 ymax=2.探究求解探究求解x20,a0ax20y=ax2+cc,且当且当x=0时函数有最大值时函数有最大值c(0,c)是图象的最高点是图象的最高点y=ax2+c(a0)联想想a1时，时，x越大越大(x-1)2值越值越大大，即即y随随x的增大而减小的增大而减小.y3=-2x2+4x增减性增减性说明说明:当当x1时时y随随x的的增大而增大增大而增大;当当x1时时y随随x的的增大而减小增大而减小.xymmyM=yNxMxNx=1对称性对称性说明：说明：对任意对任意m0，取
4、取xM=1-m 和和 xN=1+m时，时，其其对应的函数值相等对应的函数值相等.探究求解探究求解y3=-2x2+4xMNxyy=nx1x2x=1对称性对称性探究求解探究求解作直线作直线y=n，则当则当n0，当自变量，当自变量x分别取分别取 和和 时，时，对应的函数值相等对应的函数值相等.当当 时时y随随x的的增大而增大而减小减小;当当 时时y随随x的的增大而增大而增大增大.总结提升总结提升对于函数性于函数性质的研的研究，你有什么心得究，你有什么心得?我我们还能从哪些方能从哪些方面面继续研究二次函研究二次函数的性数的性质呢？呢？21数缺形时少直觉，数缺形时少直觉，形缺数时难入微形缺数时难入微.数
5、形结合百般好，数形结合百般好，隔离分家万事非隔离分家万事非.华罗庚华罗庚1.试研究下列二次函数的性质，试研究下列二次函数的性质，并作出图象：并作出图象：2.试用含试用含a、b、c的式子表示二次函数的式子表示二次函数y=ax2+bx+c(a0)的对称轴和顶点坐标，的对称轴和顶点坐标，并确定其开口方向并确定其开口方向.3.（选做）（选做）问题问题3：在拱桥的问题中，在拱桥的问题中，（1）你发现）你发现y1、y2、y3、y4的图象之间有什么联系？的图象之间有什么联系？（2）如果以）如果以C为原点，直线为原点，直线BC为为x轴，轴，你能直接写出桥拱所在抛物线的解析你能直接写出桥拱所在抛物线的解析式吗？和同学交流一下，看看谁的方式吗？和同学交流一下，看看谁的方法又快又好法又快又好.（3）在（）在（2）的条件下，桥拱在水中的）的条件下，桥拱在水中的倒影倒影y也是抛物线，你能直接写出它也是抛物线，你能直接写出它的解析式吗？想一想，你的依据是什的解析式吗？想一想，你的依据是什么么.