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1、1 1.2 2.3 3空间几何体的直观图空间几何体的直观图一二一、水平放置的平面图形的直观图画法1.如图,观察边长2 cm的正方形ABCD及其直观图,AB与CD有何位置关系?AD与BC呢?AB与AB相等吗?AD与AD呢?一二2.填空:用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 一二3.做一做:已知在平面直角坐标系中,一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4 cm,若ABx轴,则画出直观图后对应线段AB=cm,若ABy轴,则画出直观图后对应线段AB=cm.答案:424.做一做:如图,直观图AOB,其对应的原平面图形的面积为.答案:6一二5.做一做:判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内
2、画“”,错误的画“”.(1)相等的角,在直观图中仍相等.()(2)长度相等的线段,在直观图中长度仍相等.()(3)若两条线段平行,则在直观图中对应的线段仍平行.()(4)若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.()答案:(1)(2)(3)(4)一二二、空间几何体的直观图的画法1.阅读课本,你能用斜二测画法画出长、宽、高分别为8 cm、6 cm、4 cm的长方体ABCD-ABCD的直观图吗?提示:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使xOy=45,xOz=90.一二(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=8 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=3 cm.
3、分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取4 cm长的线段AA,BB,CC,DD.(4)成图.顺次连接A,B,C,D,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.2.填空:画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面xOy垂直的轴Oz,且平行于Oz的线段长度不变,其他同平面图形的直观图的画法.探究一探究二探究三思想方法画水平放置的平面图形的直观图画水平放置的平面图形的直观图例1如图,画出水平放置的等腰
4、梯形的直观图.思路分析:建系定点连线成图探究一探究二探究三思想方法画法:(1)如图,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立平面直角坐标系,画对应的坐标系xOy,使xOy=45.(2)以点O为中点在x轴上取AB=AB,在y轴上取OE=OE,以E为中点画CDx轴,并使CD=CD.(3)连接BC,DA,所得的四边形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.探究一探究二探究三思想方法反思感悟画水平放置的平面图形的直观图的技巧:1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线
5、段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.探究一探究二探究三思想方法延伸延伸探究探究把本例图形换成右图,试画出该图的直观图.解:(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图.(2)画相应的x轴和y轴,使xOy=45,在x轴上取OB=AB,在y轴上取OD=AD,过D作x轴的平行线l,在l上沿x轴正方向取点C使得DC=DC.如图.(3)连接BC,所得四边形OBCD就是直角梯形ABCD的直观图.如图.探究一探究二探究三思想方法画空间几何体的直观图画空间几何体的直观图例2画出底面
6、是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.思路分析画轴画底面画顶点成图画法(1)画轴:画Ox轴、Oy轴、Oz轴,xOy=45(或135),xOz=90,如图.(2)画底面:以O为中心,在xOy平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点:在Oz轴上截取OP,使OP的长度是原四棱锥的高.(4)成图:顺次连接PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图.探究一探究二探究三思想方法反思感悟画空间几何体的直观图的四个步骤(1)画轴.通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面.根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点.利用与z轴平行或在z轴上的线段确
7、定有关顶点.(4)连线成图.画图完成后,擦除辅助线,看得见的部分用实线,被遮挡的部分用虚线(或不画),就得到了几何体的直观图.探究一探究二探究三思想方法直观图的还原与计算问题直观图的还原与计算问题例3如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1Oy,A1B1C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=OD1=1.试画出原四边形的形状,并求原图形的面积.思路分析:解答本题可先由斜二测画法的逆步骤来作,先确定点,再连线画出原图,然后进行计算.探究一探究二探究三思想方法解:如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=OD1=1,OC=OC1=2.在过点D的y轴的平行线上截
8、取DA=2D1A1=2.在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形(如图).由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2.探究一探究二探究三思想方法反思感悟直观图的还原技巧1.由直观图还原为原图形是画直观图的逆过程:一是在直观图中建立坐标系xOy,使xOy=45,对应地建立直角坐标系xOy;二是平行x轴的线段长度不变,平行y轴的线段扩大为原来的2倍;三是对于相邻两边不与x,y轴平行的顶点可通过作x轴、y轴的平行线变换确定其在xOy中的位置.还原时,要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量,计算时要结合两个坐标轴确
9、定数据.2.原图形的面积S原与直观图的面积S直观有如下关系:S直观=S原.探究一探究二探究三思想方法变式训练变式训练如图,在直观图中,四边形OABC为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为(填形状),面积为 cm2.解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形.因为OA=2 cm,OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=24=8(cm2).答案:矩形8探究一探究二探究三思想方法转化与化归思想在三视图和直观图中的应用典例某几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.【审题视角】三视图六棱台画轴画底面画顶点成图探究一探究二探究三思想方法画法:(1)画轴.如图
10、,画x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90.(2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面O的直观图,在z轴上截取OO,使OO等于三视图中相应的高度,过点O作Ox的平行线Ox,作Oy的平行线Oy,利用Ox与Oy画出上底面O的直观图.(3)画圆锥的顶点.在Oz上取点P,使PO等于三视图中相应的高度.(4)成图.连接PA,PB,AA,BB,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图.探究一探究二探究三思想方法方法点睛由三视图画几何体的直观图,首先要认清几何体的结构特征,这是解决此类问题的关键,然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图.画旋转体的直观图时,常用椭圆模板画底面圆的直观图.1234
11、1.如图,已知等腰三角形ABC,则下图所示的四个图形中,可能是ABC的直观图的是()A.B.C.D.1234解析:当xOy=135时,其直观图是;当xOy=45时,其直观图是.答案:D12342.利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图),则原图形的形状是()1234答案:A 12343.如图所示,一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形ABO,若OB=1,那么原三角形ABO的面积是()答案:C12344.如图为一个水平放置的矩形ABCO,在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(4,2),则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中,顶点B到x轴的距离为.解析:直观图如图,则OA=BC=1,BCx=45,故B到x轴的距离