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1、3计 算 导 数1.1.导函数的定义导函数的定义对于函数对于函数f(x)f(x)在区间上的每一点在区间上的每一点x x处，满足：处，满足：(1)(1)导数导数f(x)f(x)存在存在.(2)f(x)(2)f(x)是关于是关于x x的函数，的函数，且且f(x)=f(x)=，称称f(x)f(x)为为f(x)f(x)的的导函数导函数，通常也简称为，通常也简称为导数导数.【思考思考】对于函数对于函数f(x)f(x)，如何求，如何求f(1)f(1)、f(x)f(x)？f(x)f(x)与与f(1)f(1)有何关系？有何关系？提示：提示：f f(1)=.(1)=.f f(x)=.(x)=.f f(1)(1)
2、可以认为把可以认为把x=1x=1代入导数代入导数f f(x)(x)得到的值得到的值.2.2.导数公式表导数公式表函数函数导导函数函数函数函数导导函数函数y=c(cy=c(c是常数是常数)y=y=0 0y=sin xy=sin x y=y=cos xcos xy=xy=x(为实为实数数)y=y=xx-1-1y=cos xy=cos x y=y=-sin x-sin x函数函数导导函数函数函数函数导导函数函数y=ay=ax x(a0(a0，a1)a1)y=y=a ax xln aln a特特别别地地(e(ex x)=)=e ex xy=tan xy=tan xy=_ y=_ y=logy=loga
3、 a x x(a0(a0，a1)a1)y=_ y=_ 特特别别地地(ln x)=(ln x)=_ _ y=cot xy=cot xy=_y=_【思考思考】(1)(1)若函数若函数f(x)=2f(x)=22 2，那么，那么f(x)=22=4f(x)=22=4成立吗？成立吗？提示：提示：不成立不成立.因为因为f(x)=2f(x)=22 2=4=4是常数函数，所以是常数函数，所以f(x)=0.f(x)=0.(2)(2)若函数若函数f(x)=f(x)=，那么，那么f(x)=f(x)=成立吗？成立吗？提示：提示：不成立不成立.f.f(x)=.(x)=.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打
4、对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)函数函数f(x)f(x)与与f(x)f(x)的定义域相同的定义域相同.()(2)(2)求求f(xf(x0 0)时，可先计算出时，可先计算出f(xf(x0 0)，再对，再对f(xf(x0 0)求导求导.(.()(3)(3)求求f(xf(x0 0)时，可先求出时，可先求出f(x)f(x)，再求，再求f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的函数值处的函数值.()提示：提示：(1).(1).因为因为f f(x)(x)是是f(x)f(x)的导数，所以二者的的导数，所以二者的定义域相同定义域相同.(2)(2).应先求函数应先求函数f(x)f(x)的导数
5、的导数f f(x)(x)，然后把，然后把x=xx=x0 0代代入可求入可求f f(x(x0 0).).(3).f(3).f(x(x0 0)的意义是函数的意义是函数f(x)f(x)的导数的导数f f(x)(x)在在x=xx=x0 0的函数值，所以正确的函数值，所以正确.2.2.已知已知f(x)=xf(x)=x3 3，则，则f(2)f(2)等于等于()A.0A.0B.2xB.2xC.12C.12D.27D.27【解析解析】选选C.C.因为因为f(x)=xf(x)=x3 3，所以所以f f(x)=3x(x)=3x2 2，所以，所以f f(2)=12.(2)=12.3.3.函数函数f(x)=f(x)=
6、，则，则f(3)f(3)等于等于()【解析解析】选选A.A.因为因为f f(x)=()(x)=()=所以所以f f(3)=(3)=类型一利用导数公式求导数类型一利用导数公式求导数【典例典例】求下列函数的导数求下列函数的导数.(1)y=sin (1)y=sin ；(2)y=x (2)y=x ；(3)y=log(3)y=log3 3x x；(4)y=(4)y=(5)y=5(5)y=5x x.【思维思维引引】根据求导公式计算，若不符合求导公式根据求导公式计算，若不符合求导公式的形式，则需通过变形转化为能够利用公式的形式的形式，则需通过变形转化为能够利用公式的形式.【解析解析】(1)y(1)y=0.=
7、0.(2)(2)因为因为y=x =y=x =，所以，所以y y=(3)y(3)y=(log=(log3 3x)x)=.=.(4)(4)因为因为y=y=所以所以y y=(tan x)=(tan x)=(5)y(5)y=(5=(5x x)=5=5x xln 5.ln 5.【内化内化悟悟】如何利用求导公式求函数的导数？如何利用求导公式求函数的导数？提示：提示：对于教材中出现的对于教材中出现的8 8个基本初等函数的导数公个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如点：一是正确理解，如sin =sin =是常数，而常数
8、的是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现导数一定为零，就不会出现 这样的错误这样的错误结果结果.二是准确记忆，灵活变形二是准确记忆，灵活变形.如根式、分式可先转如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导化为指数式，再利用公式求导.【类题类题通通】求简单函数的导函数的基本方法求简单函数的导函数的基本方法(1)(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂用导数的定义求导，但运算比较繁杂.(2)(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求
9、导公式行调整，再选择合适的求导公式.【习练习练破破】1.1.若若 则则f(x)=_.f(x)=_.【解析解析】因为因为=(x0)(x0)，所以所以f(x)=f(x)=答案：答案：2.2.求下列函数的导数求下列函数的导数.(1)y=(2)y=x(1)y=(2)y=x1313.【解析解析】(1)(1)因为因为y=y=，所以，所以y=y=(2)y=(x(2)y=(x1313)=13x)=13x13-113-1=13x=13x1212.类型二利用导数公式求切线的方程类型二利用导数公式求切线的方程 角度角度1 1利用导数求切线的方程利用导数求切线的方程【典例典例】已知点已知点P(-1P(-1，1)1)，
10、点，点Q(2Q(2，4)4)是曲线是曲线y=xy=x2 2上两上两点，是否存在与直线点，是否存在与直线PQPQ垂直的切线，若有，求出切线垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由方程，若没有，说明理由.【思维思维引引】设出切点坐标，根据导数的几何意义，设出切点坐标，根据导数的几何意义，利用求导公式求出其斜率，根据垂直关系计算利用求导公式求出其斜率，根据垂直关系计算.【解析解析】因为因为y y=(x=(x2 2)=2x=2x，假设存在与直线，假设存在与直线PQPQ垂直垂直的切线的切线.设切点为设切点为(x(x0 0，y y0 0)，由，由PQPQ的斜率为的斜率为k=1k=1，而切线与而切线
11、与PQPQ垂直，所以垂直，所以2x2x0 0=-1=-1，即，即x x0 0=-.=-.所以切点为所以切点为 .所以所求切线方程为所以所求切线方程为即即4x+4y+1=0.4x+4y+1=0.【素养素养探探】在应用导数求切线的方程时，一般要先求导，利用切在应用导数求切线的方程时，一般要先求导，利用切点在切线上，又在曲线上，列方程组求解，应用的数点在切线上，又在曲线上，列方程组求解，应用的数学素养是数学运算学素养是数学运算.若本例题条件不变，求与直线若本例题条件不变，求与直线PQPQ平行的曲线平行的曲线y=xy=x2 2的切的切线方程线方程.【解析解析】因为因为y y=(x=(x2 2)=2x=
12、2x，设切点为，设切点为M(xM(x0 0，y y0 0)，由由PQPQ的斜率为的斜率为k=1k=1，而切线平行于而切线平行于PQPQ，所以，所以2x2x0 0=1=1，即，即x x0 0=.=.所以切点为所以切点为M .M .所以所求切线方程为所以所求切线方程为y-=x-y-=x-，即，即4x-4y-1=0.4x-4y-1=0.角度角度2 2利用导数求解参数问题利用导数求解参数问题【典例典例】已知直线已知直线y=kxy=kx是曲线是曲线y=ln xy=ln x的切线，则的切线，则k k的值的值等于等于()A.eA.e B.-e B.-e C.C.D.-D.-【思维思维引引】设出切点坐标，根据
13、导数的几何意义计设出切点坐标，根据导数的几何意义计算出切线的斜率，构建方程求参数算出切线的斜率，构建方程求参数.【解析解析】选选C.yC.y=(ln x)=(ln x)=.=.设切点坐标为设切点坐标为(x(x0 0，y y0 0)，则切线方程为则切线方程为y-yy-y0 0=(x-x=(x-x0 0)，即，即y=+ln xy=+ln x0 0-1.-1.因为直线因为直线y=kxy=kx过原点，所以过原点，所以ln xln x0 0-1=0-1=0，得，得x x0 0=e=e，所以，所以k=.k=.【类题类题通通】1.1.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用解决切线问题，关键是确定切点，要充
14、分利用(1)(1)切点处的导数是切线的斜率切点处的导数是切线的斜率.(2)(2)切点在切线上切点在切线上.(3)(3)切点又在曲线上切点又在曲线上这三个条件联立方程解决这三个条件联立方程解决.2.2.解决利用导数公式求解参数问题的关键是设出切点，解决利用导数公式求解参数问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率，进一步写出根据导数的几何意义表示出切线的斜率，进一步写出切线方程切线方程.【习练习练破破】(1)(1)若直线若直线l过点过点A(0A(0，-1)-1)且与曲线且与曲线y=xy=x3 3切于点切于点B B，求，求B B点点坐标坐标.(2)(2)若直线若直线l与曲线与曲线y=
15、xy=x3 3在第一象限相切于某点，切线的在第一象限相切于某点，切线的斜率为斜率为3 3，求直线，求直线l与坐标轴围成的三角形面积与坐标轴围成的三角形面积.【解析解析】(1)y(1)y=3x=3x2 2，设，设B(xB(x0 0，)(x)(x0 00)0)，则切线，则切线斜率斜率k=3 .k=3 .又直线又直线l过点过点(0(0，-1)-1)，所以所以k=.k=.所以所以3 =3 =所以所以2 =12 =1，所以，所以x x0 0=，=，所以，所以B .B .(2)(2)设切点为设切点为(x(x0 0，)(x)(x0 00)0)，则该切线斜率为，则该切线斜率为3 3 ，所以所以3 =33 =3
16、，x x0 0=1=1，则切点为，则切点为(1(1，1).1).所以直线所以直线l的方程为的方程为y-1=3(x-1).y-1=3(x-1).所以直线所以直线l与坐标轴的交点分别为与坐标轴的交点分别为(0(0，-2)-2)，所以直线所以直线l与坐标轴围成的三角形面积与坐标轴围成的三角形面积S=S=|-2|-2|=.=.【加练加练固固】已知函数已知函数f(x)=f(x)=，g(x)=aln xg(x)=aln x，aRaR，若曲线，若曲线y=y=f(x)f(x)与曲线与曲线y=g(x)y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，相交，且在交点处有相同的切线，求求a a的值的值.【解析解析】设两曲线
17、的交点为设两曲线的交点为(x(x0 0，y y0 0)，由题意知，由题意知，f f(x(x0 0)=g)=g(x(x0 0)，即即 即即a=a=因为点因为点(x(x0 0，y y0 0)为两曲线的交点，所以为两曲线的交点，所以 =aln x=aln x0 0，由由可得可得x x0 0=e=e2 2，将，将x x0 0=e=e2 2代入代入得得a=.a=.类型三导数的综合应用类型三导数的综合应用 【典例典例】1.1.质点做直线运动的方程是质点做直线运动的方程是s=s=，则质点在，则质点在t=3t=3时的速度是时的速度是(位移单位：位移单位：m m，时间单位：，时间单位：s)s)()2.2.曲线曲
18、线y=xy=x3 3上一点上一点B B处的切线处的切线l交交x x轴于点轴于点A A，OAB(OOAB(O是是原点原点)是以是以A A为顶点的等腰三角形，则切线为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为的倾斜角为()A.30A.30B.45B.45C.60C.60D.120D.120【思维思维引引】1.1.根据导数的物理意义求解，即函数在根据导数的物理意义求解，即函数在某点处的导数等于质点运动的瞬时速度某点处的导数等于质点运动的瞬时速度.2.2.根据导数的几何意义和等腰三角形的性质构建方程，根据导数的几何意义和等腰三角形的性质构建方程，求出切点坐标，即可求解求出切点坐标，即可求解.【规范解答规范解
19、答】1.1.选选A.A.因为因为s=s=，所以，所以s=s=，当当t=3t=3时，时，s=.s=.2.2.选选C.C.方法一：设方法一：设B(xB(x0 0，)，则，则k kOBOB=tanAOB=tanAOB=，因为因为AB=AOAB=AO，所以，所以BAx=2BOABAx=2BOA，曲线，曲线y=xy=x3 3在在B B处切处切线斜率线斜率k kABAB=3 =tanBAx=tan 2BOA=3 =tanBAx=tan 2BOA=所以所以 ，所以，所以k kABAB=，所以切线，所以切线l的倾斜角为的倾斜角为60.60.方法二：设方法二：设B(xB(x0 0，)，由于，由于y=3xy=3x
20、2 2，故切线，故切线l的方的方程为程为y-=3 (x-xy-=3 (x-x0 0)，令，令y=0y=0得点得点A A由由|OA|=|AB|OA|=|AB|得得 当当x x0 0=0=0时，题目中的三角形不存在，时，题目中的三角形不存在，故得故得 ，故，故 直线直线l的斜率的斜率k=3 =k=3 =，故直线，故直线l的倾斜角为的倾斜角为60.60.【内化内化悟悟】导数在实际生活中可能涉及的领域有哪些？导数在实际生活中可能涉及的领域有哪些？提示：提示：物理中的速率问题、化学中的变化率问题等物理中的速率问题、化学中的变化率问题等.【类题类题通通】导数综合应用的解题策略导数综合应用的解题策略(1)(
21、1)导数在实际问题中的应用非常广泛，如运动物体在导数在实际问题中的应用非常广泛，如运动物体在某一时刻的瞬时速度等，解决此类问题的关键是正确某一时刻的瞬时速度等，解决此类问题的关键是正确理解导数的实际意义，准确求出导数理解导数的实际意义，准确求出导数.(2)(2)利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题.解题的解题的关键是正确确定切线的斜率，进而求出切点坐标关键是正确确定切线的斜率，进而求出切点坐标.【习练习练破破】1.1.已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x3
22、 3+ax+ax2 2+b(a+b(a，bR)bR)图像上任意一点图像上任意一点处的切线的斜率都小于处的切线的斜率都小于1 1，则实数，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由题意由题意f f(x)=-3x(x)=-3x2 2+2ax+2ax，当当x=x=时，时，f f(x)(x)取到最大值，是取到最大值，是 .所以所以 11，解得，解得-a .-a .答案：答案：-a-a 2.2.已知已知f(x)=cos xf(x)=cos x，g(x)=xg(x)=x，求适合，求适合f(x)+g(x)0f(x)+g(x)0的的x x的值的值.【解析解析】因为因为f(x)=cos xf(x)=cos x，g(x)=xg(x)=x，所以所以f f(x)=(cos x)(x)=(cos x)=-sin x=-sin x，g g(x)=x(x)=x=1=1，由由f f(x)+g(x)+g(x)0(x)0，得，得-sin x+10-sin x+10，即即sin x1sin x1，因为，因为sin x-1sin x-1，11，所以所以sin x=1sin x=1，所以，所以x=2kx=2k+，kZ.kZ.