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1、28.2 解直角三角形第2课时1.1.了解仰角、俯角的概念了解仰角、俯角的概念.（重点）（重点）2.2.能解决与测量有关的问题，提高数学建模能力能解决与测量有关的问题，提高数学建模能力.（重点、难（重点、难点）点）一、与测量有关的概念问题一、与测量有关的概念问题1.1.仰角：测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线仰角：测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫做仰角的角叫做仰角.2.2.俯角：视线在水平线俯角：视线在水平线_的角叫做俯角的角叫做俯角(如图所示如图所示).).上方上方下方下方二、与测量有关的几个图形结构二、与测量有关的几个图形结构如图所示的两个图形，已知如图所
2、示的两个图形，已知BC=aBC=a，B=B=，ACD=ACD=，求，求ADAD的的长长.【思考思考】（1 1）设）设ADAD为为x x，如何用含，如何用含x x的代数式表示的代数式表示BDBD，CDCD？提示提示:tan=,tan=.tan=,tan=.（2 2）利用含）利用含a a，的式子如何表示图的式子如何表示图1 1中中ADAD的长度？的长度？提示提示:BD+CD=aBD+CD=a，解得：解得：（3 3）利用含）利用含a a，的式子如何表示图的式子如何表示图2 2中中ADAD的长度？的长度？提示提示:BDBDCD=aCD=a，解得：解得：【归纳归纳】1.1.解决实际问题时，关键是根据题意
3、抽象出其几何模型，然后解决实际问题时，关键是根据题意抽象出其几何模型，然后再通过解决几何模型的问题得到实际问题的答案再通过解决几何模型的问题得到实际问题的答案.2.2.与斜三角形有关的问题，往往通过作一边上的高，把其转化与斜三角形有关的问题，往往通过作一边上的高，把其转化为为_的问题的问题.解直角三角形解直角三角形 （打（打“”“”或或“”）（1 1）视线与水平线的夹角叫仰角）视线与水平线的夹角叫仰角.（）（2 2）水平线下方的角叫俯角）水平线下方的角叫俯角.（）（3 3）仰角可以是钝角）仰角可以是钝角.（）知识点知识点 1 1 解直角三角形的应用解直角三角形的应用【例例1 1】(2012(2
4、012吉林中考吉林中考)如图，沿如图，沿ACAC方向开方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点的另一边寻找点E E同时施工，从同时施工，从ACAC上的一点上的一点B B取取ABDABD127127，沿，沿BDBD的方向前进，取的方向前进，取BDEBDE3737，测得，测得BDBD520 m520 m，并且，并且ACAC，BDBD和和DEDE在同在同一平面内一平面内(1)(1)施工点施工点E E离离D D多远正好能使多远正好能使A A，C C，E E成一直线（结果保留整数）成一直线（结果保留整数）.(2)(2)在在(1)(1)的条件下，
5、若的条件下，若BCBC80 m80 m，求公路，求公路CECE段的长（结果保留整段的长（结果保留整数）数）(参考数据：参考数据：sin 370.60sin 370.60，cos 370.80cos 370.80，tan 370.75)tan 370.75)【思路点拨思路点拨】（1 1）若使）若使A A，C C，E E成一条直线，则需成一条直线，则需ABDABD是是BDEBDE的外角，可求得的外角，可求得E E的度数，然后求得答案的度数，然后求得答案.（2 2）首先求）首先求BEBE的长，再求得公路段的长，再求得公路段CECE的长的长【自主解答自主解答】（1 1）若使）若使A A，C C，E E
6、成一条直线，则需成一条直线，则需ABDABD是是BDEBDE的外角，的外角，E EABDABDD D12712737379090，DEDEBDBDcos 37cos 375205200.80=4160.80=416（m m），），施工点施工点E E离离D 416 mD 416 m时，正好能使时，正好能使A A，C C，E E成一条直线成一条直线.（2 2）由（）由（1 1）得：）得：BEBEBDBDsin 37sin 375205200.60=3120.60=312（m m），），BCBC80 m80 m，CECEBEBEBC312BC3128080232232（m m）公路公路CECE段的长
7、约为段的长约为232 m232 m【总结提升总结提升】解直角三角形的应用的两步骤解直角三角形的应用的两步骤1.1.画示意图：将实际问题中的数量关系在图形中表示出来画示意图：将实际问题中的数量关系在图形中表示出来.2.2.建模解直角三角形：分析图形中的已知条件，选择合适的数建模解直角三角形：分析图形中的已知条件，选择合适的数学模型，解直角三角形学模型，解直角三角形.知识点知识点 2 2 仰角、俯角问题仰角、俯角问题【例例2 2】（20132013乐山中考）如图乐山中考）如图,山顶有一铁塔山顶有一铁塔ABAB的高度为的高度为20 m20 m，为测量山的高度，为测量山的高度BC,BC,在山脚点在山脚
8、点D D处测得塔顶处测得塔顶A A和塔基和塔基B B的仰的仰角分别为角分别为6060和和4545，求山的高度，求山的高度BC.BC.（结果保留根号）（结果保留根号）【解题探究解题探究】（1 1）在直角）在直角BCDBCD中，探究中，探究BCBC，CDCD有何数量关有何数量关系？系？提示提示:C=90C=90，BDC=45BDC=45，CBD=45CBD=45=BDC=BDC，BC=CD.BC=CD.(2)(2)在在RtACDRtACD中，探索中，探索BCBC的长的长.提示提示:C=90C=90，CDA=60CDA=60，tanCDA=tanCDA=，解得解得BC=10 +10BC=10 +10
9、（m m）.【总结提升总结提升】解答有关仰角、俯角实际问题的方法解答有关仰角、俯角实际问题的方法1.1.仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯上仰下俯”.在测量物体的高度在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题时，要善于将实际问题抽象为数学问题.2.2.视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角（俯角）视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角（俯角）和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度
10、.3.3.弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解题中的数量关系归结到直角三角形中来求解.题组一题组一:解直角三角形的应用解直角三角形的应用1.1.如图，小明要测量河内小岛如图，小明要测量河内小岛B B到河边公路到河边公路l的距离，在的距离，在A A点测点测得得BAD=30BAD=30，在，在C C点测得点测得BCD=60BCD=60，又测得，又测得AC=50 mAC=50 m，则小，则小岛岛B B到公路到公路l的距离为的距离为()()A.25 m B.25 mA.25 m B.25 mC.m
11、 D.(25+25 )mC.m D.(25+25 )m【解析解析】选选B.B.如图，作如图，作BEADBEAD于于E.E.BCD=60BCD=60，A=30A=30，ABC=30ABC=30，BC=AC=50(m),BC=AC=50(m),BE=BCBE=BCsin60sin60=25 (m).=25 (m).2.2.如图，如图，ACAC是电杆是电杆ABAB的一根拉线，测得的一根拉线，测得BC=6 mBC=6 m，ACB=52ACB=52，则拉线则拉线ACAC的长为（的长为（）【解析解析】选选D DcosACB=cos 52cosACB=cos 52，AC=mAC=m3.3.如图，一架梯子斜靠
12、在墙上，若梯子底端到墙的距离如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3 mAC=3 m，cosBAC=cosBAC=，则梯子，则梯子ABAB的长度为的长度为_m_m【解析解析】cosBAC=cosBAC=，（m m）答案答案:4 44.4.金秋时节，小芳在广场放风筝，已知风筝拉线长金秋时节，小芳在广场放风筝，已知风筝拉线长60 m60 m（假设（假设拉线是直的），且拉线与水平线的夹角为拉线是直的），且拉线与水平线的夹角为6060（如图所示），（如图所示），若小芳的身高忽略不计，则风筝离地面的高度是若小芳的身高忽略不计，则风筝离地面的高度是_m_m（结（结果保留根号）果保留根号）【解
13、析解析】如图，如图，AC=60 mAC=60 m，ACB=60ACB=60，ABC=90ABC=90.在在RtABCRtABC中，中，sinACB=sinACB=，即即AB=60AB=60sin 60sin 60=60=60 =（m m）答案答案:5.5.如图，为了测量河流某一段的宽度，在河的北岸选了点如图，为了测量河流某一段的宽度，在河的北岸选了点A A，在河的南岸选取了相距在河的南岸选取了相距200 m200 m的的B B，C C两点，分别测得两点，分别测得ABC=ABC=6060，ACB=45ACB=45求这段河的宽度求这段河的宽度ADAD的长（精确到的长（精确到0.1 m0.1 m，1
14、.73,1.411.73,1.41）【解析解析】在在RtADBRtADB中，中，ABD=60ABD=60，tanABD=tanABD=BD=BD=在在RtADCRtADC中，中，ACD=45ACD=45，CD=AD.CD=AD.又又BC=200BC=200，+AD=200+AD=200，解得解得AD126.8 mAD126.8 m答：河宽答：河宽ADAD的长约为的长约为126.8 m126.8 m题组二题组二:仰角、俯角问题仰角、俯角问题1.1.（20132013山西中考）如图，某地修建高速公路，要从山西中考）如图，某地修建高速公路，要从B B地向地向C C地修一座隧道（地修一座隧道（B B，
15、C C在同一水平面上），为了测量在同一水平面上），为了测量B B，C C两地之两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从间的距离，某工程师乘坐热气球从C C地出发，垂直上升地出发，垂直上升100 m100 m到到达达A A处，在处，在A A处观察处观察B B地的俯角为地的俯角为3030，则，则B B，C C两地之间的距离两地之间的距离为为()()A.100 m B.50 mA.100 m B.50 mC.50 m D.mC.50 m D.m【解析解析】选选A.A.根据在根据在A A处观察处观察B B地的俯角为地的俯角为3030，可得，可得B=B=3030，再根据，再根据3030角所对的直角边等于斜边
16、的一半可得角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=200 mAB=200 m，在直角三角形，在直角三角形ABCABC中，根据勾股定理可得中，根据勾股定理可得 （m m）,故选故选A.A.2.2.如图，为测量某物体如图，为测量某物体ABAB的高度，在的高度，在D D点测得点测得A A点的仰角为点的仰角为3030，朝物体，朝物体ABAB方向前进方向前进2020米到达点米到达点C C，再次测得点，再次测得点A A的仰角为的仰角为6060，则物体，则物体ABAB的高度为（的高度为（）A.10 A.10 米米 B.10B.10米米C.20 C.20 米米 D.D.米米【解析解析】选选A.D=30A.D=3
17、0，ACB=60ACB=60，CAD=30CAD=30,AC=CD=20,AC=CD=20在在RtABCRtABC中，中，ACB=60ACB=60，AB=ACsin 60AB=ACsin 60=10 =10 （米）（米）3.3.如图，从热气球如图，从热气球C C处测得地面处测得地面A A，B B两点的俯角分别为两点的俯角分别为3030，4545，如果此时热气球，如果此时热气球C C处的高度处的高度CDCD为为100100米，点米，点A A，D D，B B在同在同一直线上，则一直线上，则ABAB两点的距离是（两点的距离是（）A.200A.200米米 B.200 B.200 米米C.220 C.2
18、20 米米 D.100D.100（+1+1）米）米【解析解析】选选D.ACDD.ACD6060，CDCD100100米，米，ADADCDtanACDCDtanACD100 100 米；米；BCDBCD4545，CDCD100100米，米，CDCDBDBD100100米，米，ABABADADBDBD100(100(1)1)米米.4.4.（20132013孝感中考）如图，两建筑物的水平距离孝感中考）如图，两建筑物的水平距离BCBC为为18 m18 m，从从A A点测得点测得D D点的俯角点的俯角为为3030，测得，测得C C点的俯角点的俯角为为6060则则建筑物建筑物CDCD的高度为的高度为_ m
19、_ m（结果不作近似计算）（结果不作近似计算）.【解析解析】过点过点D D作作DEABDEAB于于E E，依据题意，依据题意，在在RtADERtADE中，中，ADE=30ADE=30，AE=DEAE=DEtan 30tan 30=BC=BCtan 30tan 30=6=6在在RtACBRtACB中，中，ACB=60ACB=60，AB=BCAB=BCtan 60tan 60=18=18CD=BE=AB-AE=18 -6 =12 (m)CD=BE=AB-AE=18 -6 =12 (m)答案答案:12 12 5.5.（20132013泸州中考）如图，为了测出某塔泸州中考）如图，为了测出某塔CDCD的
20、高度，在塔前的高度，在塔前的平地上选择一点的平地上选择一点A A，用测角仪测得塔顶，用测角仪测得塔顶D D的仰角为的仰角为3030，在，在A A，C C之间选择一点之间选择一点B B（A A，B B，C C三点在同一直线上），用测角仪三点在同一直线上），用测角仪测得塔顶测得塔顶D D的仰角为的仰角为7575，且，且ABAB间距离为间距离为40 m.40 m.（1 1）求点）求点B B到到ADAD的距离的距离.（2 2）求塔高）求塔高CDCD（结果用根号表示）（结果用根号表示）.【解析解析】（1 1）过点）过点B B作作BEADBEAD于点于点E E，在，在RtABERtABE中，中，sin 3
21、0sin 30=,BE=AB=20(m),=,BE=AB=20(m),即点即点B B到到ADAD的距离为的距离为20 m.20 m.（2 2）由勾股定理得）由勾股定理得AE=20 AE=20 ，A=30A=30,DBC=75,DBC=75,ADB=45,ADB=45,BE=DE=20,BE=DE=20，AD=20+20 ,CD=AD=10+10 (m).AD=20+20 ,CD=AD=10+10 (m).【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图，甲楼如图，甲楼ABAB的高度为的高度为20 m20 m，自甲楼楼，自甲楼楼顶顶A A处，测得乙楼顶端处，测得乙楼顶端C C处的仰角为处的仰角为3030，测得乙楼底部，测得乙楼底部D D处的处的俯角为俯角为4545，求乙楼，求乙楼CDCD的高度的高度.（结果精确到（结果精确到0.1 m0.1 m，1.7321.732）提示提示:仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，本题中的仰角不仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，本题中的仰角不是是C.C.