《2019七年级数学下册 培优新帮手 专题01 质数那些事试题 （新版）新人教版.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019七年级数学下册 培优新帮手 专题01 质数那些事试题 （新版）新人教版.doc（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、10101质数那些事质数那些事阅读与思考阅读与思考一个大于 1 的自然数如果只能被 1 和本身整除，就叫作质数(也叫素数)；如果能被 1 和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数 1 既不是质数，也不是合数，叫作单位数这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：1 单位正整数质数合数关于质数、合数有下列重要性质：1质数有无穷多个，最小的质数是 2，但不存在最大的质数，最小的合数是 421 既不是质数，也不是合数；2 是唯一的偶质数3若质数|，则必有|或|pabpapb4算术基本定理：任意一个大于 1 的整数 N 能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数k之间的顺序关系)：N= ，其中，为质数
2、，为非负数( =1，2，3，)12 12kaaa kP PP12kPPPiPiaik正整数 N 的正约数的个数为(1)(1)(1)，所有正约数的和为(1)1a1a1a1P1 1aP(1)(1)2P2 2aPkPka kP例题与求解例题与求解【例例 1】1】已知三个质数，满足=99，那么的值abcabcabcabbcca等于_(江苏省竞赛试题)解题思想：解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出，的值abc【例例 2】2】若为质数，5 仍为质数，则7 为( )p3p5pA质数B可为质数，也可为合数2C合数D既不是质数，也不是合数(湖北省黄冈市竞赛试题)解题思想：解题思想：从简单情形入手，实验、
3、归纳与猜想【例例 3】3】求这样的质数，当它加上 10 和 14 时，仍为质数(上海市竞赛试题)解题思想：解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯一，按剩余类加以深入讨论【例例 4】4】 将 1，2，2 004 这 2 004 个数随意排成一行，得到一个数，求证：一定是nn合数 若是大于 2 的正整数，求证：1 与1 中至多有一个质数n2n2n 求 360 的所有正约数的倒数和(江苏省竞赛试题)解题思想：解题思想：将 1 到 2 004 随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非 1 和本身的约数；只需说明
4、1 与1 中必有一个是合数，不能同2n2n为质数即可；逐个求解正约数太麻烦，考虑整体求解3【例例 5】5】设和是正整数，是奇质数，并且，求的值xyxyp112 xypxy解题思想：解题思想：由题意变形得出整除或，不妨设由质数的定义得到 2 1=1 或pxyxtpt2 1=由及 2 1 为质数即可得出结论tpxyt【例例 6】6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，都是质数求证：绝对质数的各位数码不能同时出现
5、数码 1，3，7，9(青少年国际城市邀请赛试题)解题思想：解题思想：一个绝对质数如果同时含有数字 1，3，7，9，则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字 0，2，4，5，6，8，否则，进行适当排列后，这个数能被 2 或 5 整除能力训练能力训练A A 级级1若，为整数，=1997，则=_ abcd2222abcd2222abcd2在 1，2，3，这个自然数中，已知共有个质数，个合数，个奇数，个偶nnpqkm数，则()()=_qmpk43设，为自然数，满足 1176=，则的最小值为_aba3ba(“希望杯”邀请赛试题)4已知是质数，并且3 也是质数，则48 的值为_p6p11p(北京市竞赛试
6、题)5任意调换 12345 各数位上数字的位置，所得的五位数中质数的个数是 ( )A4B8C12D06在 2 005，2 007，2 009 这三个数中，质数有 ( )A0 个B1 个C2 个D3 个(“希望杯”邀请赛试题)7一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大 9，这样的两位中，质数有()A1 个B3 个C5 个D6 个 (“希望杯”邀请赛试题)8设，都是质数，并且=，求pqrpqrpqp9写出十个连续的自然数，使得个个都是合数(上海市竞赛试题)10在黑板上写出下面的数 2，3，4，1 994，甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一5个数，如此轮流下去，若最后剩下的两
7、个数互质，则甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由(五城市联赛试题)11用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为cm 规格的地砖，恰用块，xn若选用边长为cm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用 124 块，已知，都是正整数，且(yxyn，)=1，试问这块地有多少平方米？xy(湖北省荆州市竞赛试题)B B 级级1若质数，满足 57=129，则的值为_mnmnmn2已知，均为质数，并且存在两个正整数，使得=，=，则pqmnpmnqmn的值为_pqnmpq mn 3自然数，都大于 1，其乘积=2 000，则其和的abcdeabcdeabcde最大值
8、为_，最小值为_(“五羊杯”竞赛试题)4机器人对自然数从 1 开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第 1 9926个数是_(北京市“迎春杯”竞赛试题)5若，均为质数，且满足=2 089，则 49=_ab11abbaA0 B2 007C2 008D2 010(“五羊杯”竞赛试题)6设为质数，并且 78 和 87 也都为质数，记=778，=887，则在以下a2a2axaya情形中，必定成立的是()A，都是质数B，都是合数xyxyC，一个是质数，一个是合数 D对不同的，以上皆可能出现xya(江西省竞
9、赛试题)7设，是自然数，并且，求证：一定是合数abcd2222abcdabcd(北京市竞赛试题)8请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足： 6 个数中任意两个都互质； 6 个数任取 2 个，3 个，4 个，5 个，6 个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由79已知正整数，都是质数，并且 7与11 也都是质数，试求的值pqpqpqqppq(湖北省荆州市竞赛试题)10. 41 名运动员所穿运动衣号码是 1，2，40，41 这 41 个自然数，问：(l) 能否使这 41 名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？(2) 能否让这 41 名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动
10、员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由01 质数那些事例 1 34例 2 C例 3 3 符合要求 提示：当p=3k1 时，p10=3k11，p14=3(k5)，显然p14 是合数，当p=3k2 时，p10=3(k4)是合数，当p=3k时，只有k=1 才符合题意例 4 （1）因 122004=2004（12004）=10022005 为 3 的倍数，故无论怎样交换21这 2004 个数的顺序，所得数都有 3 这个约数（2）因n是大于 2 的正整数，则17，1、1 是不小于 7 的三个连续的正n2n2n2n2整数，其中必有一个被 3 整除，但 3 不整除，故1 与1 中
11、至多有一个数是质数n2n2n2（3）设正整数a的所有正约数之和为b，为a的正约数从小到大的排1d2d3dnd8列，于是=1，=a由 于中各分数分母的最小公倍数=a，1dndnddddS1111321 nd故S=，而a=360=，故b=（12）nnnnn dd dd dd11 nn dddd 21 ab532232232（13）（15）=1170=23ab 3601170 413例 5 由=，得xy=k （k为正整数） ，可得 2xy=kp，所以p整除 2xy且p为奇质xyyx p2 pxy2数，故p整除x或y，不放设x=tp，则tpy=2ty，得y=为整数又t与 2t1 互质，12 ttp故
12、2t1 整除p，p为质数，所以 2t1=1 或 2t1=p若 2t1=，得t=1，x=y=p，与xy矛盾；若 2t1=p，则=，2xy=p（xy） p是奇质数，则xy为偶数，x、y同奇xyyx p2偶性，只能同为xy=必有某数含因数p令x=ap，ay=，2ay=apyy= 2yxp 2yap，故a，2a1 互质，2a1 整除p，又p是质数，则 2a1=p，a=，故x=12 aap 21p=，xy=。pp 21 21pp 21pp 21p 212p例 6 设N是一个同时含有数字 1，3，7，9 的绝对质数因为=7931，=1793，=9137，=7913，=7193，=1937，=7139 除以
13、 7 所得余数分0kk2k3k4k5k6k别为 0，1，2，3，4，5，6故如下 7 个正整数：=L，79314210 nCCCN0410kL=L，17934211 nCCCN1410kL=L，71394216 nCCCN6410kL其中，一定有一个能被 7 整除，则这个数就不是质数，故矛盾A 级11998 21 363 42000 5D 6A 7B8由r=pq可知r不是最小的质数，则为奇数，故p，q为一奇一偶，又因为pq故p既是质9数又是偶数，则p=29设十个连续合数为k2，k3，k4，k10，k11，这里k为自然数，则只要取k是2，3，4，11 的倍数即可10选甲提示：相邻的两个自然数总是
14、互质数，把相邻自然数两两分为一组，这两数总是互质的，（2，3） ， （4，5） ， （6，7） ， （1992，1993） ，1994，甲擦掉 1994，无论乙擦哪一个数，甲就擦那一组的另一数，以此类推，最后还剩一对互质数11设这块地面积为S，则S=（n124）2nx2y=124 xy （x，y）=122yxn2y（，）=1 （，）=1 得1242x2y22yx 2y22yx 124=31，=（xy） （xy）2222yx ，或 131yxyx 262yxyx，或（舍） 1516yx 3032yx此时n=900222124 yxy S=900=230400cm=2304m。2nx21622B
15、级119 或 252 提示：q=mn，则m、n只能一个为 1，另一个为q3313133 23 420015B 提示：唯有a=2，b=2089=20892048=41 是质数，符合题意1126A 提示：当a=3 时，符合题意；当a3 时，被 3 处余 1，设=3n1，则2a2a78=21n15，87=24n15，它们都不是质数，与条件矛盾故a=32a2a7a，b，c，d 都是偶数，即M=（abcd）是偶2a2b2c2d2222dcba10数因为=，所以=2（）是偶数，从而有abcd=22ba 22dc 2222dcba22ba M=2（）M，它 一定是偶数，但abcd2，于是abcd2222dc
16、ba22ba 是个合数8 8取六个数aii(123456)1 (i1，2，6)，则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设a2与a5不互质，设d是a2与a5的最大公约数，则d必是(52)123456，即 3123456 的一个因子，但从a221234561知，d不整除a2，这与假设d是a2与a5的最大公约数矛盾，故a2与a5互质9 9由pq1111 且pq11 是质数知，pq11 必为正奇数，从而p2 或q2(1)若p2，此时 7pq及 2q11 均为质数设q3k1，则q143(k5)不是质数；设q3k2，则 2q113(2k5)不是质数，因此q应为 3k型的质数，当然只能是q3(2)若q2，此
17、时 7pq与 2p11 均为质数，设p3k1，则 7p23(7k3)不是质数；设p3k2，则 2p113(2k5)不是质数，因此，p应为 3k型的质数，p3 综合(1)，(2)知p3，q2 或p2，q3，所以pq十qp 171010(1)能办到 提示：注意到 41 与 43 都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然它们只能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列：不妨先将奇数排成一排：1，3，5，7，41，在每两数之间留空，然后将所有的偶数依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41.这样任何相邻两数之和都是 41或 43.满足题目要求(2)不能办到 提示：若把 1，2，3，40，41 排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些 质数都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶但现有 20 个偶数，21 个奇数，总共是 41 个号码，由此引出矛盾，故不能办到，