《高数 微分方程应用优秀PPT.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数 微分方程应用优秀PPT.ppt（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高数 微分方程应用1第一页，本课件共有33页例例7.2.1求微分方程求微分方程的通解的通解解解:分离变量分离变量 两边积分两边积分得得所以所以 例例7.2.2 求初值问题求初值问题的特解的特解.解解:将已给方程分离变量将已给方程分离变量两边积分两边积分得得将将代入得代入得所以特解为所以特解为2第二页，本课件共有33页补充例题补充例题:1.解解:当当时时,是方程的解是方程的解.是奇解是奇解当当时时,分离变量分离变量两边积分两边积分得得3第三页，本课件共有33页2.在化学动力学中在化学动力学中,用单位时间内反应物浓度的减少量或反应用单位时间内反应物浓度的减少量或反应生成物的增加量表示反应速度生成物
2、的增加量表示反应速度,若反应速度与当时反应物的浓若反应速度与当时反应物的浓度成正比度成正比,则称为一级反应则称为一级反应.设在时刻设在时刻反应物的浓度为反应物的浓度为,初始浓度为初始浓度为,求反应物浓度求反应物浓度随时间随时间的变化规律的变化规律.解解:依题意列出微分方程依题意列出微分方程分离变量分离变量得通解得通解当当时时,初始浓度为初始浓度为得时间得时间为为半衰期半衰期.4第四页，本课件共有33页2.齐次微分方程齐次微分方程:方程的解法方程的解法:通常是通过通常是通过变换变换,把齐次方程化为可分离变把齐次方程化为可分离变量微分方程量微分方程,求解求解.是是的连续函数的连续函数()定义定义:
3、形如形如的微分方程称为齐次方程的微分方程称为齐次方程.(7.2.2)令令代入代入(7.2.2)式得式得分离变量分离变量积分得积分得5第五页，本课件共有33页例例7.2.3解方程解方程解解:原方程可写为原方程可写为设设两端积分两端积分令令得得或或6第六页，本课件共有33页解解:令令得得两边积分两边积分得得所以通解为所以通解为例例7.2.4求方程求方程的解的解7第七页，本课件共有33页定义定义:形如形如的方程称为一阶线性微分方程的方程称为一阶线性微分方程.当当时时,称为称为一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程.当当时时,称为称为一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程.一阶线性一阶线性齐次齐次微分方程的微
4、分方程的通解通解:分离变量分离变量两边积分两边积分所以通解为所以通解为(为任意常数为任意常数)3.一阶线性微分方程一阶线性微分方程8第八页，本课件共有33页积分得积分得是是的一个函数的一个函数,所以令其等于所以令其等于则非齐次微分方程的通解为则非齐次微分方程的通解为一阶线性一阶线性非齐次非齐次微分方程的微分方程的通解通解:在在的两边同时除以的两边同时除以得得9第九页，本课件共有33页“常数变易法常数变易法”通常把齐次方程通解中任意常数变易为待定函通常把齐次方程通解中任意常数变易为待定函数的求解方法数的求解方法,称为常数变易法称为常数变易法.求求设设是方程是方程的解的解10第十页，本课件共有33
5、页代入代入 式得式得所以非齐次方程的通解为所以非齐次方程的通解为11第十一页，本课件共有33页例例7.2.5 解方程解方程解法解法1:“用常数变易法用常数变易法”先解对应的齐次方程先解对应的齐次方程齐次方程的通解齐次方程的通解:代入方程得代入方程得用常数变易法用常数变易法 设设或或所以原方程的通解为所以原方程的通解为12第十二页，本课件共有33页解法解法2:通解为通解为13第十三页，本课件共有33页例例7.2.6 求求的通解的通解(以以 为未知函数的一阶线性非齐次方程为未知函数的一阶线性非齐次方程.)方程的通解为方程的通解为解解:14第十四页，本课件共有33页伯努利方程的解法伯努利方程的解法:
6、将方程的两边同除以将方程的两边同除以得得令令则则4.伯努利方程伯努利方程定义定义:形如形如的方程称为伯努利的方程称为伯努利方程方程.其中其中为常数为常数.当当时时,为可分离变量微分方程为可分离变量微分方程.当当时时,为一阶线性非齐次微分方程为一阶线性非齐次微分方程.15第十五页，本课件共有33页代入方程得代入方程得是以是以为未知函数的一阶线性非齐次微分方程为未知函数的一阶线性非齐次微分方程.代入通解即可代入通解即可.16第十六页，本课件共有33页例例7.2.7 求方程求方程的通解的通解.解解:方程两边同除以方程两边同除以得得令令代入上式得代入上式得方程的通解为方程的通解为原方程的通解为原方程的
7、通解为17第十七页，本课件共有33页例题例题:一容器内盛有清水一容器内盛有清水90升升,现将每升含盐量为现将每升含盐量为4克的盐水以克的盐水以每分钟每分钟6升的速率注入容器升的速率注入容器,不断搅拌使不断搅拌使 混合液迅速均匀，混合液迅速均匀，并以没并以没分钟升的速率流出容器，问在分钟升的速率流出容器，问在时刻容器的含盐量是多少？时刻容器的含盐量是多少？解解：设在设在时刻，时刻，容器内含盐量容器内含盐量为为，在在时间内盐的时间内盐的改变量改变量）（相应设注入与流出的盐的量分别为（相应设注入与流出的盐的量分别为平均变化率平均变化率当当时时时刻的瞬时改变速度时刻的瞬时改变速度升升分分18第十八页，
8、本课件共有33页即：即：容器内某个量的变化率容器内某个量的变化率注入量的变化率流出量的变化注入量的变化率流出量的变化率率整理得整理得代入通解公式求解代入通解公式求解.19第十九页，本课件共有33页一室模型一室模型：把机体当着一个动力把机体当着一个动力学上的同质单元，使用于给药后，药物瞬即分布到学上的同质单元，使用于给药后，药物瞬即分布到血液及其他组织中，并达到动态平衡血液及其他组织中，并达到动态平衡表室的容积，通常称为药物的表面分布容积表室的容积，通常称为药物的表面分布容积 为时间为时间时体内的药量时体内的药量入入出出分别表示药物给药分别表示药物给药和消除速率和消除速率药物动力学室模型药物动力
9、学室模型:为了揭示药物在体内的动力学规律，便于用数学方法处理，在药物为了揭示药物在体内的动力学规律，便于用数学方法处理，在药物吸收，分布代谢吸收，分布代谢动力学中，广泛采用简化的动力学中，广泛采用简化的 室模型来研究药物在体内的室模型来研究药物在体内的和排泄的时间过程和排泄的时间过程.给药给药消除消除出出入入20第二十页，本课件共有33页一室模型的一般动力学方程为一室模型的一般动力学方程为入入出出通常假定消除是一级速率过程，通常假定消除是一级速率过程，即即出出其中其中为一级速率常数为一级速率常数.将将 代入代入 有机体内药量的变化规律由给药速率机体内药量的变化规律由给药速率入入而定而定.入入单
10、位时间内室中药物的变化率单位时间内室中药物的变化率等于输入与等于输入与 输出之差输出之差21第二十一页，本课件共有33页按三种给药途径建立相应的一室模型按三种给药途径建立相应的一室模型快速静脉滴注快速静脉滴注在快速静脉注射情况下在快速静脉注射情况下,可以认为一个剂量可以认为一个剂量是瞬时输入到房是瞬时输入到房室内的室内的,没有吸收过程没有吸收过程,因为因为入入=0,这时体内药量减少的速度与这时体内药量减少的速度与当时体内药量成正比当时体内药量成正比,初始条件为初始条件为.所以由所以由 式得式得解之，并代入初始条件，得解之，并代入初始条件，得描述了快速静脉注射后，机体内的药量随时间的变化规律描述
11、了快速静脉注射后，机体内的药量随时间的变化规律.因为血药浓度因为血药浓度由方程由方程两边同除两边同除得血药浓度随得血药浓度随时间的变化规律时间的变化规律,即即22第二十二页，本课件共有33页其中其中表示初始表示初始(时时)血药浓度血药浓度.恒速静脉滴注恒速静脉滴注以恒定速率以恒定速率作静脉给药时作静脉给药时,入入初始条件为初始条件为,所以由所以由 式得式得,解方程得解方程得两边同除以两边同除以得血药浓度得血药浓度随时间随时间的的变化规律为变化规律为口服或肌肉注射口服或肌肉注射在这种给药情况下在这种给药情况下,大多数药物输入室内大多数药物输入室内(吸收入血吸收入血)的过程可的过程可作为一级过程处
12、理作为一级过程处理,有有23第二十三页，本课件共有33页入入其中其中表示在时刻表示在时刻“吸收部位吸收部位”的药量，的药量，为一级吸收速率常数为一级吸收速率常数.为所给剂量为所给剂量中可吸收的分数中可吸收的分数(),称为生物利用度称为生物利用度.此时方程此时方程 为为解之解之,得满足初始条件得满足初始条件的解为的解为两边同除以两边同除以得血药浓度得血药浓度随时间随时间的的 变化规律为变化规律为24第二十四页，本课件共有33页图形为图形为求最大血药浓度求最大血药浓度(峰浓度峰浓度)及其到达的时间及其到达的时间 达峰时达峰时).由由 式得式得令令得得代入代入得得(曲线曲线)称为称为25第二十五页，
13、本课件共有33页由于由于,此时此时,代入化简得代入化简得在药物动力学中在药物动力学中,曲线下的总面积曲线下的总面积(AUC)有重要作用有重要作用,这是这是由于在一定条件下由于在一定条件下,(AUC)能反映药物最终吸收的程度能反映药物最终吸收的程度.由由 式可计算得式可计算得显然显然,在一定剂量在一定剂量,与吸收分数与吸收分数成正比成正比.26第二十六页，本课件共有33页关于肿瘤生长的几个常见数学模型关于肿瘤生长的几个常见数学模型肿瘤的生长模型是指描述肿瘤大小肿瘤的生长模型是指描述肿瘤大小(体积、重量或细胞数等体积、重量或细胞数等)与与时间关系的一种数学表达式时间关系的一种数学表达式.指数生长模
14、型指数生长模型:假设肿瘤体积变化率与当时肿瘤的体积成正比假设肿瘤体积变化率与当时肿瘤的体积成正比,若在时间若在时间肿瘤体积为肿瘤体积为速率常数为速率常数为,则有则有分离变量分离变量,并带入初始条件并带入初始条件得其解为得其解为其中其中为开始观察的时间为开始观察的时间.通常把这种用指数函数描述的生长称为指数生长通常把这种用指数函数描述的生长称为指数生长,把指数把指数函数称为指数生长模型函数称为指数生长模型,其图形称为指数生长曲线其图形称为指数生长曲线.指数生长模型指数生长模型27第二十七页，本课件共有33页是一连续型模型是一连续型模型,体积体积随时间随时间的增大而迅速单调递增的增大而迅速单调递增
15、,通常通常把肿瘤体积增大一倍所需要的时间称为肿瘤倍增时间把肿瘤体积增大一倍所需要的时间称为肿瘤倍增时间,记为记为,倍增倍增时间时间是研究肿瘤生长、分析肿瘤性质和类型等问题的重要参数是研究肿瘤生长、分析肿瘤性质和类型等问题的重要参数.在指数生长的情况下在指数生长的情况下,肿瘤的倍增时间肿瘤的倍增时间为常数为常数.将常数将常数代入代入式式,且令且令得得设肿瘤近似为球形设肿瘤近似为球形,为直径为直径,因因且且若按直径计算若按直径计算,便有便有临床上常用该式推算肿瘤的大小临床上常用该式推算肿瘤的大小.28第二十八页，本课件共有33页Gompertz模型模型研究表明研究表明,随着肿瘤的增大随着肿瘤的增大
16、,倍增时间倍增时间也不断延长也不断延长,即即不是常数不是常数,可假设可假设的变化率随的变化率随的增大而减少的增大而减少,即即其中其中为正常数为正常数,于是肿瘤生长的数学模型为于是肿瘤生长的数学模型为若初始条件为若初始条件为:则由则由 式解得式解得29第二十九页，本课件共有33页将将式代入式代入式式,得得求得其解为求得其解为符合符合Gompertz模型生长的肿瘤，其倍增的时间为模型生长的肿瘤，其倍增的时间为Logistic模型模型在肿瘤生长过程中在肿瘤生长过程中,由于营养供应受到限制等原因由于营养供应受到限制等原因,将会阻滞自身将会阻滞自身的继续生长的继续生长,故有故有30第三十页，本课件共有3
17、3页其中其中、为正常数为正常数.假设初始条件为假设初始条件为求解贝努利方程求解贝努利方程得满足初始条件的解为得满足初始条件的解为称为称为logistic方程方程,也称也称logistic生长模型生长模型.当当时时,故故是肿瘤生长的极限值是肿瘤生长的极限值.符合此模型肿瘤生长的倍增时间为符合此模型肿瘤生长的倍增时间为31第三十一页，本课件共有33页汉英词汇对照汉英词汇对照可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 separable equation一阶线性微分方程一阶线性微分方程 linear first-order differential equation一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分方程 homegeneous linear first-order differential equation常数变易法常数变易法 method of variation of constants贝努利方程贝努利方程 Bernoullis equation常系数微分方程常系数微分方程 differential equation with constant coefficients32第三十二页，本课件共有33页33第三十三页，本课件共有33页