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1、高等数学第八章空间曲线第一页，本课件共有27页基本练习：能绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形,会求交线在坐标面上的投影。应注意的事项：绘出常见曲面（球面、锥面、柱面，平面等）相交构成的曲线的图形，求交线在坐标面上的投影（求以交线为准线的投影柱面）是学习多元函数微积分的基础，从本节开始到本章第七节都应注意进行这方面的练习。第二页，本课件共有27页一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.第三页，本课
2、件共有27页例如例如,方程组表示怎样的曲线？C第四页，本课件共有27页又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五页，本课件共有27页二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线L L 上的动点M坐标x,y,z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的参数方程.当给定t 时，就得到曲线上的一个点；随着参数的变化，可得到曲线L L上全部的点。第六页，本课件共有27页上升高度例例1 如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中、都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.解：取
3、时间t为参数，动点从A点出发，经过t，运动到M点，M点在xoy面上的投影为M称为螺距螺距.第七页，本课件共有27页例例2.将下列曲线化为参数方程表示:解解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八页，本课件共有27页消去变量z后得：曲线关于 的投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线L为准线，母线垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：注意：曲线L上的所有点都在该柱面上。投影柱面与xoy面的交线称为曲线L在xoy面上的投影曲投影曲线线，简称投影投影。三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第九页，本课件共有27页
4、设空间曲线 L L 的一般方程为消去 z得投影柱面则L L 在xoy 面上的投影曲线 L为消去x 得L L 在yoz面上的投影曲线方程消去y 得L L 在zox 面上的投影曲线方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十页，本课件共有27页如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面第十一页，本课件共有27页（2）确定投影柱面与）确定投影柱面与 xoy 面的交线面的交线在在 xoy 面上的面上的投影曲线方程的一般步骤投影曲线方程的一般步骤（1）消去变量）消去变量z后得后得 xoy 面上的投影柱面：面上的投影柱面：求空间曲线：求空间曲线：即为所求即为所求投影曲线的方程投影曲线的方程第十二页
5、，本课件共有27页例例3 3 求求在xoy 面上的投影曲线方程。机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:先从两方程消去z，可得交线C关于xOy面的投影柱面方程（母线平行于z轴）为：故C在xoy 面上的投影曲线方程为第十三页，本课件共有27页例例4 4 求曲线求曲线 L 在三个坐标面上的投影。在三个坐标面上的投影。第十四页，本课件共有27页例例4 4 求曲线求曲线L 在三个坐标面上的投影在三个坐标面上的投影.解解（1）消去变量）消去变量z后得后得L 在在 面上的面上的投影投影为为第十五页，本课件共有27页例例4 4 求曲线求曲线L 在三个坐标面上的投影。在三个坐标面上的投影。解解（2）因为曲线在
6、平面）因为曲线在平面 上，上，所以在所以在 yoz 面上的投影为面上的投影为线段线段.（3）同理在）同理在 xoz 面上的投面上的投 影也为影也为线段线段.第十六页，本课件共有27页例例5 5所围的立体在 xoy 面上的投影。求上半球面和锥面C在 xoy 面上的投影曲线解：半球面和锥面的交线为所求立体在 xoy 面上的投影为圆域:交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：所求投影区域为:C从方程组中消去z，可得交线C关于xOy面的投影投影柱面方程为柱面方程为第十七页，本课件共有27页截线方程为截线方程为解解第十八页，本课件共有27页截线方程为截线方程为解解
7、第十九页，本课件共有27页补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面第二十页，本课件共有27页空间曲线的一般方程、参数方程四、小结空间曲线在坐标面上的投影第二十一页，本课件共有27页课堂练习课堂练习求曲线绕z轴旋转的曲面与平面的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向xoy面的投影柱面方程为此曲线在xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十二页，本课件共有27页(2)(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 画出下列曲线的图形：第二十三页，本课件共有27页(3)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十四页，本课件共有27页机动 目录 上页 下页 返回 结束（4）第二十五页，本课件共有27页作 业习题8-55，7，8第二十六页，本课件共有27页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十七页，本课件共有27页