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1、计算电磁学计算电磁学现在学习的是第1页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法l 积分方程法泊松方程的积分形式是由泊松方程的微分形式导出来的，又可由积积分方程法泊松方程的积分形式是由泊松方程的微分形式导出来的，又可由积分形式的分形式的Maxwell方程导出，可以证明两者是等价的。方程导出，可以证明两者是等价的。本章只做概念性介绍。本章只做概念性介绍。l 积分方程法的应用：积分方程法的应用：求解区域内介质数目少，交界面形状不特别复杂的情况。求解区域内介质数目少，交界面形状不特别复杂的情况。不需要对全部求解区域划分网格，只需对有源区和感应不需要对全部求解区域划分网格，只需对有源区和感应(或极
2、化或极化)产生的产生的“第二次源第二次源”区划分网格，节点数大大减少，系数矩阵阶数比有限元区划分网格，节点数大大减少，系数矩阵阶数比有限元(或差分法或差分法)的系数阵阶数低得的系数阵阶数低得多，在求解时计算时间短、费用低。多，在求解时计算时间短、费用低。现在学习的是第2页，共21页4.2 积分方程法的物理概念和基本公式积分方程法的物理概念和基本公式l 积分方程法从宏观的角度来描述场，场区中每点的值仅取决于所有场源对它的影响。场点和源积分方程法从宏观的角度来描述场，场区中每点的值仅取决于所有场源对它的影响。场点和源点的联系是通过毕奥萨伐定律实现。由于离散只在源区进行，加上恒定磁场问题的电流分布点
3、的联系是通过毕奥萨伐定律实现。由于离散只在源区进行，加上恒定磁场问题的电流分布是已知的，因此实际上离散只在非线性铁区内进行，这使得数据输入和网格剖分大为简化。是已知的，因此实际上离散只在非线性铁区内进行，这使得数据输入和网格剖分大为简化。第第4 4章章 积分方程法积分方程法l 磁场积分方程法主要采取的方法：磁场积分方程法主要采取的方法：（1）磁化值直接解法；）磁化值直接解法；（2）标量磁位的边界积分法）标量磁位的边界积分法 边界元法；边界元法；（3）等值面电荷积分方程法。）等值面电荷积分方程法。现在学习的是第3页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法l 磁化值直接解法：磁化值直接解法：
4、（1）积分方程法的物理概念：）积分方程法的物理概念：积分方程法解磁场问题的基本思想是认为在积分方程法解磁场问题的基本思想是认为在空间任一点的场是由电流源所产生的磁场和介质空间任一点的场是由电流源所产生的磁场和介质被磁化所产生的磁场迭加而成：被磁化所产生的磁场迭加而成：下标为下标为 m 的量表示由磁介质磁化所产生的磁场。的量表示由磁介质磁化所产生的磁场。c 表示电流源存在所产生的磁场。表示电流源存在所产生的磁场。介质在空间各点所产生的场强的大小不仅取决于它和场点间的几何距离，而且与介质的磁介质在空间各点所产生的场强的大小不仅取决于它和场点间的几何距离，而且与介质的磁化强度有关，磁化强度除了与本身
5、材料有关以外，还与周围电流源及介质产生的场有关，化强度有关，磁化强度除了与本身材料有关以外，还与周围电流源及介质产生的场有关，相互影响，最后趋于稳定，其关系是一个较复杂的非线性关系。相互影响，最后趋于稳定，其关系是一个较复杂的非线性关系。现在学习的是第4页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法（2）基本公式：）基本公式：积分方程法求场的基本思想和物理概念，关键问题是求出产生磁场的源在所求积分方程法求场的基本思想和物理概念，关键问题是求出产生磁场的源在所求场点的场强表达式。场点的场强表达式。a）电流源）电流源 c 在空间在空间 r 处所产生的磁场处所产生的磁场 根据毕奥萨伐定律，对二维平
6、面对称根据毕奥萨伐定律，对二维平面对称场和轴对称场，讲义中已经给出了推导。场和轴对称场，讲义中已经给出了推导。因此导线电流在因此导线电流在 P 点产生的场量可认为是点产生的场量可认为是已知量。已知量。现在学习的是第5页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法毕奥萨伐定律如何得出？毕奥萨伐定律如何得出？泊松方程泊松方程 的特解为：的特解为：r 为场点坐标，为场点坐标，r 为源点坐标；场点和源点之为源点坐标；场点和源点之间的矩离间的矩离 R=r-r，其方向由源点指向场，其方向由源点指向场点。点。现在学习的是第6页，共21页b）磁介质在场点所产生的磁场）磁介质在场点所产生的磁场第第4 4章章
7、积分方程法积分方程法此公式利用矢量磁位与磁矩概念可以导出，推导过程略。此公式利用矢量磁位与磁矩概念可以导出，推导过程略。利用此公式可以求出磁介质在空间所产生的磁场分布，但须先知道磁化强度利用此公式可以求出磁介质在空间所产生的磁场分布，但须先知道磁化强度 M。实际上一般。实际上一般 M 是未知的，因此只有采用先假设的方法，把磁介质剖分为是未知的，因此只有采用先假设的方法，把磁介质剖分为许多单元。许多单元。I.假设磁化体单元假设磁化体单元 a 的磁化强度为的磁化强度为 Ma，并认为是一个常数，同样，并认为是一个常数，同样 b 单元中磁化单元中磁化强度为强度为 Mb，也为常数。，也为常数。II.取源
8、点为取源点为 b，场点为，场点为 a，在上式中，单元内，在上式中，单元内 M 看成常数，可以从积分中提出。剩下看成常数，可以从积分中提出。剩下的积分参数只与单元几何形状、场点位置有关，在确定位置情况下，积分为常数，用的积分参数只与单元几何形状、场点位置有关，在确定位置情况下，积分为常数，用 Cab 表示：表示：现在学习的是第7页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法III.对所有的场源写出联立方程组：对所有的场源写出联立方程组：又又（在各向同性媒质中）（在各向同性媒质中）代入上式可得代入上式可得整理可得整理可得得到一个具有三个方向分量的联立方程组，系数得到一个具有三个方向分量的联立方程
9、组，系数 C 是是33阶张量。阶张量。现在学习的是第8页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法若磁化率若磁化率 和和 是已知的，可以写成六个线性方程，有六个未知数：是已知的，可以写成六个线性方程，有六个未知数：Hax，Hay，Haz，Hbx，Hby，Hbz可求出。但实际上可求出。但实际上 和和 不是常数，要经过反不是常数，要经过反复迭代进行求解。复迭代进行求解。IV.计算框图：计算框图：否否参数输入，假定参数输入，假定 值值形成系数形成系数计算电流场量计算电流场量是是解方程求解方程求 H查查 B H 曲线求曲线求 计算计算M，H输出输出现在学习的是第9页，共21页第第4 4章章 积分方
10、程法积分方程法l 积分方程法用于求解平行平面场、轴向场情况可以自学，加深对积分方程积分方程法用于求解平行平面场、轴向场情况可以自学，加深对积分方程法的理解。法的理解。（3）积分方程法的特点：）积分方程法的特点：1)离散区域：只需对电流源和磁性介质进行离散，并且是分别进行考虑，因此可使离散区域：只需对电流源和磁性介质进行离散，并且是分别进行考虑，因此可使电流源和磁性介质对称性充分得到利用；电流源和磁性介质对称性充分得到利用；2)不需要专门对边界条件进行讨论：在计算中考虑到了空间所有场源的作用，不需要专门对边界条件进行讨论：在计算中考虑到了空间所有场源的作用，与外界无能量交换，可以不考虑边界条件；
11、与外界无能量交换，可以不考虑边界条件；3)由积分方程法得到的方程组其系数矩阵是满矩阵，离散单元数受到限制，由积分方程法得到的方程组其系数矩阵是满矩阵，离散单元数受到限制，故此法对有限小的无源区的封闭边界问题或饱和情况较复杂的铁区不适故此法对有限小的无源区的封闭边界问题或饱和情况较复杂的铁区不适用。在使用时要注意各种方法的适用范围；用。在使用时要注意各种方法的适用范围；4)离散铁区与场点的耦合系数都是以积分形式表示，在二维场是二重积分，离散铁区与场点的耦合系数都是以积分形式表示，在二维场是二重积分，三维场是三重积分，它们虽然可以用格林定理、高斯定理和椭圆函数等三维场是三重积分，它们虽然可以用格林
12、定理、高斯定理和椭圆函数等数学手段加以简化，但简化后的结果通常仍需要较复杂的数学运算。在数学手段加以简化，但简化后的结果通常仍需要较复杂的数学运算。在计算时仍需要较长的计算时仍需要较长的 cpu 时间。时间。现在学习的是第10页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法4.6 积分方程法与微分方程法（有限元及有限差分法）的积分方程法与微分方程法（有限元及有限差分法）的比较比较积分法积分法微分法微分法基本原理基本原理Maxwell方程方程+媒质特性方程媒质特性方程同左同左处理问题处理问题方法方法从宏观角度描述磁场特性从宏观角度描述磁场特性研究场域内各点的具体特点研究场域内各点的具体特点边界条
13、件边界条件不存在边界条件不存在边界条件需要处理边界条件需要处理边界条件离散区域离散区域电流区和铁区电流区和铁区整个区域（包括边界在内）整个区域（包括边界在内）网格划分网格划分有限多个有限多个单元较多，复杂，需自动划分单元较多，复杂，需自动划分现在学习的是第11页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法积分法积分法微分法微分法方程组方程组系数矩阵是满秩矩阵系数矩阵是满秩矩阵系数矩阵是稀疏矩阵系数矩阵是稀疏矩阵计算方法计算方法多用高斯消元法，计算多用高斯消元法，计算cpu时间时间与与(3N)3 成比例成比例多用迭代法，计算多用迭代法，计算cpu时间与时间与(3N)2 成比例成比例计算精度计算
14、精度三维场可达百分之一三维场可达百分之一二维场可达千分之一二维场可达千分之一二维场可达万分之一二维场可达万分之一应用范围应用范围（1）大气隙、开方式磁铁；）大气隙、开方式磁铁；（2）永久磁铁。）永久磁铁。（1）饱和差异大，间隙小的磁铁；）饱和差异大，间隙小的磁铁；（2）具有比较规则的场；）具有比较规则的场；（3）计算边界条件一定的场。）计算边界条件一定的场。现在学习的是第12页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法l 边界积分法是积分方程法求解静磁场的另一种方法，它是利用标量磁位进行的。它边界积分法是积分方程法求解静磁场的另一种方法，它是利用标量磁位进行的。它能这样做的基础在于：边界是
15、属于铁区的一部分。在铁区的传导电流为能这样做的基础在于：边界是属于铁区的一部分。在铁区的传导电流为0，磁场可用无，磁场可用无旋场来处理，体积分利用高斯定理换成了面积分，三维问题变成二维问题，因而简化了网旋场来处理，体积分利用高斯定理换成了面积分，三维问题变成二维问题，因而简化了网格的复杂性，也加快了计算速度。格的复杂性，也加快了计算速度。l 磁通密度的积分方程磁通密度的积分方程 磁性材料用磁化矢量表示其特性后，可用等效体电流和面电流来代替其作磁性材料用磁化矢量表示其特性后，可用等效体电流和面电流来代替其作用。用。参考书：参考书：电机电磁场的分析与计算：电机电磁场的分析与计算：TM301.3电磁
16、场数值分析：电磁场数值分析：O441.4现在学习的是第13页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法4.5 轴对称静电场计算的电荷密度法轴对称静电场计算的电荷密度法4.5.1 概述概述l 电荷密度法从库仑定律出发，最适用于开放性边界的问题。与有限差分法、有限元法不同，电荷密度法从库仑定律出发，最适用于开放性边界的问题。与有限差分法、有限元法不同，电荷密度法只对边界进行离散化处理，并不在整个区域进行剖分，所以又被称为边界元素法电荷密度法只对边界进行离散化处理，并不在整个区域进行剖分，所以又被称为边界元素法（Boundary Element Method）。）。l 电荷密度法求解一个三维区域
17、的电磁场分布时，只对该区域的边界面进行剖分；对一个二电荷密度法求解一个三维区域的电磁场分布时，只对该区域的边界面进行剖分；对一个二维区域求解电磁场分布时，只对该区域的边界线进行剖分，这样能降低方程维数，简化问题。维区域求解电磁场分布时，只对该区域的边界线进行剖分，这样能降低方程维数，简化问题。现在学习的是第14页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法4.5.2 电荷密度法计算静电场的基本原理及公式电荷密度法计算静电场的基本原理及公式根据库仑定律，空间一点电荷根据库仑定律，空间一点电荷 q 在空间任一点在空间任一点P 处处产生的电位为：产生的电位为：库仑定律不仅对点电荷适用，对线电荷、面
18、电荷和体电荷也均适用库仑定律不仅对点电荷适用，对线电荷、面电荷和体电荷也均适用:现在学习的是第15页，共21页在空间里，若同时存在在空间里，若同时存在 N 个充满电荷的各种源，它们在空间任意一点个充满电荷的各种源，它们在空间任意一点 P 处产生的电处产生的电位，应该是各个子源在位，应该是各个子源在 P 点产生的电位之和，即点产生的电位之和，即只要知道空间电荷分布，就可以利用库仑定律和场的叠加原理，求出空间电位分布，只要知道空间电荷分布，就可以利用库仑定律和场的叠加原理，求出空间电位分布，而且这种分布是唯一的。而且这种分布是唯一的。第第4 4章章 积分方程法积分方程法现在学习的是第16页，共21
19、页第第4 4章章 积分方程法积分方程法设环设环 i 上电荷在环上电荷在环 j 上产生电位为上产生电位为所有子环在所有子环在j环上产生的电位为环上产生的电位为式中式中N为剖分总环数。若令为剖分总环数。若令Aji 是仅与电极结构及位置有关的几何参数（求是仅与电极结构及位置有关的几何参数（求Aji归结为椭圆积分），则有归结为椭圆积分），则有(4.83)现在学习的是第17页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法要求出每个环上电位，得到关于要求出每个环上电位，得到关于 的线性方程组：的线性方程组：解这个方程组则可求出每个环上电荷密度解这个方程组则可求出每个环上电荷密度 的分布，下步就可求出空间任
20、意点的电位分的分布，下步就可求出空间任意点的电位分布。可由积分形式的泊松方程求解。布。可由积分形式的泊松方程求解。4.5.4 奇异点的处理奇异点的处理在系数矩阵计算中，会出现奇异点，在这些点处，被积函数出现断点。在系数矩阵计算中，会出现奇异点，在这些点处，被积函数出现断点。1）当）当 ri 靠近电极端面时，曲率半径小的地方电荷分布多。当靠近电极端面时，曲率半径小的地方电荷分布多。当 ri 靠近电极端面时，靠近电极端面时，处理方法：处理方法：采用不均匀划分子区域办法。采用不均匀划分子区域办法。仍采用均匀划分区域，但区域里电荷密度不再是常量，可看作仍采用均匀划分区域，但区域里电荷密度不再是常量，可
21、看作是连续变化函数。是连续变化函数。现在学习的是第18页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法2）第二类奇异点发生在）第二类奇异点发生在 i=j 情况，即计算小环本身处电荷对电位分布的贡情况，即计算小环本身处电荷对电位分布的贡献。在求系数矩阵中献。在求系数矩阵中 Aii 时，要作特殊处理。时，要作特殊处理。在参考文献在参考文献4中，求解中，求解 Aii归结为一个旁义积分，具体计算略去，旁义积分收敛为归结为一个旁义积分，具体计算略去，旁义积分收敛为Wi 表示环宽度，表示环宽度，ri 为环中点半径。为环中点半径。计算中得到，当电极表面上场点与环中点距离小于该环宽计算中得到，当电极表面上场点
22、与环中点距离小于该环宽0.2时，时，Aii计算必须采用计算必须采用上式；对于上式；对于Wi/ri0.2时，上式忽略时，上式忽略 二次项式，可得到小于二次项式，可得到小于0.01%的的精度。精度。求出求出 后，只要计算任一点后，只要计算任一点 j 处，处，N 个个 Aii 的值，由式的值，由式(4.83)可求出该点可求出该点电位分布，进一步可计算粒子轨迹及各种光学参量。电位分布，进一步可计算粒子轨迹及各种光学参量。现在学习的是第19页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法l 电荷密度法程序计算框图：电荷密度法程序计算框图：输入电极尺寸、电极电压及端分环数输入电极尺寸、电极电压及端分环数输
23、入计算光学参量起始点、步长及电压比输入计算光学参量起始点、步长及电压比分环分环输出分环情况输出分环情况计算计算 Aji 矩阵矩阵高斯消元法高斯消元法输出源电荷及电位输出源电荷及电位计算光学参量及像差计算光学参量及像差计算轴上电位计算轴上电位并输出轴上电位分布并输出轴上电位分布现在学习的是第20页，共21页第第4 4章章 积分方程法积分方程法4.5.6 主要特点主要特点l 可计算无界开域问题，计算精度较高；可计算无界开域问题，计算精度较高；计算时只需将源区离散，不需要给出边界条件。而计算时只需将源区离散，不需要给出边界条件。而 FDM 和和 FEM 必须要有封闭的边必须要有封闭的边界条件，电极表
24、面外的封闭边界上电位未知，用微分方程离散法求解要近似计算给出，是界条件，电极表面外的封闭边界上电位未知，用微分方程离散法求解要近似计算给出，是其计算静电场问题的误差主要来源。其计算静电场问题的误差主要来源。l 输入数据简单，只要对电极表面离散化，输入数据工作量减少。输入数据简单，只要对电极表面离散化，输入数据工作量减少。l 可提供连续解，而不是分立值。可提供连续解，而不是分立值。l 计算量随离散单元数剧增，因此不合适过密离散。一般小于计算量随离散单元数剧增，因此不合适过密离散。一般小于500。在。在100250之间，计之间，计算可具有足够的精度。算可具有足够的精度。现在学习的是第21页，共21页