理学概率4修改学习教案.pptx

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1、会计学1理学理学(lxu)概率概率4修改修改第一页，共45页。随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度(jiod)反映随机变量取值特征的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征 例 考察一射手的水平,既要看他的平均(pngjn)环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.q r.v.的平均取值 数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况 方差q 描述两 r.v.间的某种关系的数 协方差与相关系数本章内容第1页/共45页第二页，共45页。1.1

2、1.1离散离散(lsn)(lsn)型随机变量的数学期望型随机变量的数学期望 例1.1 一台机床加工某种零件,已知它加工出优质品、合格品和废品的概率依次(yc)为0.2、0.7和0.1如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利 0.40元和0.20元;如果加工出一件废品则要损失 0.10元.问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？解 以X表示加工出一个零件所获得的利润(lrn),则X的分布律为1 1 数学期望数学期望 X 0.10 0.20 0.40 P 0.1 0.7 0.2第2页/共45页第三页，共45页。现假设该机床加工个零件，其中废品件，合格品件，优质品 件，这里 .则这 个零件

3、可以获得总利润为 其中，和分别是事件、和出现的频率.当很大时，和分别接近于0.1,0.7和0.2。X 0.10 0.20 0.40 P 0.1 0.7 0.2平均(pngjn)每个零件可获利为 于是(ysh)可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为 （元）.第3页/共45页第四页，共45页。定义(dngy)1.1 设离散型随机变量 X 的分布律为则称 （要求此级数绝对收敛）设连续型随机变量(su j bin lin)X 的概率密度为 f(x),则称 为X 的数学期望(qwng)(或均值)（要求此积分绝对收敛)数学期望的本质 加权平均,它是一个数不再是 r.v.为 X 的数学期望(或均

4、值)第4页/共45页第五页，共45页。例1.2 设X服从参数为p的(01)分布,求X的数学(shxu)期望解 X 的分布(fnb)律为X 0 1P 1 p p例1.3 设，求 解 X 的分布(fnb)律为第5页/共45页第六页，共45页。例1.4 设 ，求 .解 X 的分布(fnb)律为例1.5设X参数(cnsh)为p的几何分布，求 E(X).解 X 的分布(fnb)律第6页/共45页第七页，共45页。常见离散型r.v.的数学(shxu)期望分布(fnb)期望(qwng)概率分布参数为p 的（0-1）分布pB(n,p)np参数为 p 的几何分布第7页/共45页第八页，共45页。例1.6 已知1

5、0件产品中有2件次品(cpn)，求任意取3件中次品(cpn)数的数学期望 解 以 X 表示任取3件中次品的个数，可取值为0,1,2，其分布律为第8页/共45页第九页，共45页。例1.7 设X在 a,b上服从(fcng)均匀分布，求 E(X)解 X 的概率密度为例1.8 设 X 服从参数为 的指数分布，求 E(X)解 X 的概率密度为第9页/共45页第十页，共45页。例1.9 设 ，求 解 X 的概率密度为第10页/共45页第十一页，共45页。分布期望概率密度区间(q jin)(a,b)上的均匀分布参数(cnsh)为 的指数分布N(,2)常见(chnjin)连续型r.v.的数学期望第11页/共4

6、5页第十二页，共45页。1.2 1.2 随机随机变变量的函数的数学量的函数的数学(shxu)(shxu)期望期望 定理(dngl)1.1 设随机变量 Y 是随机变量 X 的函数:Y=g(X).（1）若X为离散型r.v.,概率分布为（2）若X为连续型r.v.，其概率密度为f(x)，如果广义(gungy)积分如果 绝对收敛，则随机变量 的数学期望是 绝对收敛，则随机变量 的数学期望是注：求随机变量的随机变量的函数的数学期望方法（1）先求随机变量 Y 的分布,再求数学期望（不常用）.（2）直接应用定理1.1（常用）。第12页/共45页第十三页，共45页。例1.10 设X的分布(fnb)律为 X 2

7、1 0 1/2 1 P 1/6 1/3 1/4 1/12 1/6求,.解例1.11 设 ，求 解第13页/共45页第十四页，共45页。例1.12 设X在区间(q jin)(0,a)上服从均匀分布，求 的数学期望(qwng).解 X 的密度为 则 例1.13 设 X 的概率密度为，求 ,解第14页/共45页第十五页，共45页。定理(dngl)1.2 设随机变量Z是 X、Y 的函数Z=g(X,Y)，（2）若(X,Y)为二维连续型随机变量(su j bin lin),联合概率密度为（1）若(X,Y)为二维离散(lsn)型随机变量，联合分布律为如果 绝对收敛，则随机变量 Z 的数学期望是则随机变量Z

8、的数学期望是f(x,y)，如果 绝对收敛，第15页/共45页第十六页，共45页。例1.14 设(X,Y)的联合(linh)密度为求 E(X)、E(XY)解例1.15 设(X,Y)N(0,1;0,1;0),求的数学期望.解第16页/共45页第十七页，共45页。例1.16 设X N(0,1),Y N(0,1),X,Y 相互(xingh)独立，求E(max X,Y).D1D2解第17页/共45页第十八页，共45页。1.3 1.3 数学期望数学期望(qwng)(qwng)的性质的性质设 C 为常数,和 都存在。性质(xngzh)1 E(C)=C 性质2性质3 证 只证明连续型随机变量情形(qng xi

9、ng)，离散型的证明从略 设(X,Y )的概率密度为 f(x,y)，则有第18页/共45页第十九页，共45页。分别(fnbi)为f X(x)、f Y(y).则有f(x,y)=f X(x)f Y(y),于是性质(xngzh)4 若X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)证 只对连续型加以(jiy)证明 设(X,Y)的联合密度为f(x,y),关于 X、Y 的边缘密度注：若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定独立。第19页/共45页第二十页，共45页。反例但第20页/共45页第二十一页，共45页。解例1.17 设 X 与 Y 独立(dl)，求 注 不是所有的 r.v.都有数学(s

10、hxu)期望例如 柯西(Cauchy)分布的密度(md)函数为但发散它的数学期望不存在!第21页/共45页第二十二页，共45页。2.1 2.1 方方差差(fn(fn ch)ch)及及其其计计算算公公式式1 1 方差方差(fn ch)(fn ch)引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹(zdn),每发子弹(zdn)击中的环数分别为：甲 10,7,9,8,10,6,乙 8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？解首先比较平均环数甲=8.3,乙=8.3再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定，故乙技术较好.进一步比较平均偏离平均值的程度甲：乙：第22页/共45页第二十三页，共45页。定义2.1 D(

11、X)=EXE(X)2 称为随机变量 X 的方差.称 为 X 的均方差或标准差.注：D(X)描述 r.v.X 的取值偏离(pinl)平均值的平均偏离(pinl)程度，是一个数值。方差(fn ch)的计算公式 1设 X 为离散(lsn)型随机变量，分布律为则 2设 X 为连续型随机变量，概率密度为 f(x),则3证第23页/共45页第二十四页，共45页。例2.1 设 X 服从参数(cnsh)为 p 的(0 1)分布，求D(X)解 X 0 1 p 1 p pE(X)=p,例2.2 设 ，求D(X)解第24页/共45页第二十五页，共45页。例2.4 设X 参数为 p 的几何(j h)分布，求D(X).

12、解例2.5 设 X 在 a,b上服从(fcng)均匀分布，求D(X)解第26页/共45页第二十七页，共45页。例2.6 设 X 服从(fcng)参数为 的指数分布，求 D(X)解例2.7 设 ，求D(X)解第27页/共45页第二十八页，共45页。常见随机变量(sujbinlin)的方差分布(fnb)方差(fn ch)概率分布参数为p 的（0-1）分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)()参数为 p 的几何分布第28页/共45页第二十九页，共45页。分布方差概率密度区间(q jin)(a,b)上的均匀分布N(,2)参数(cnsh)为 的指数分布第29页/共45页第三十页，共45页。2.2 2

13、.2 方差方差(fn ch)(fn ch)的性质的性质性质(xngzh)1 设 C 为常数，则 D(C)=0证性质(xngzh)2证性质3证性质4若X 与Y 相互独立，则有证第30页/共45页第三十一页，共45页。若X 与Y 相互(xingh)独立，则性质5 随机变量X的方差(fn ch)D(X)=0的充分必要条件是：X以概率(gil)1取常数C=E(X),即注 X恒取常数例2.3 设X B(n,p)，求D(X).解一 前面已求解。故解二 引入随机变量相互独立，且第31页/共45页第三十二页，共45页。例2.8 设 X 与 Y 相互独立，求解 例2.9 已知X,Y 相互(xingh)独立,且都

14、服从N(0,0.5),求 E(|X Y|).故解第32页/共45页第三十三页，共45页。例2.10 已知 X 的 概率密度为其中(qzhng)A,B 是常数，且 E(X)=0.5.求(1)A,B.(2)设 Y=X 2,求 E(Y),D(Y).解(1)(2)第33页/共45页第三十四页，共45页。2.3 2.3 标准化随机变量标准化随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)为 X 的标准化随机变量(su j bin lin).显然，例2.11 设 相互独立，并且具有相同的期望与方差 ，求 ，解 设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称第34页/共4

15、5页第三十五页，共45页。（1）仅知r.v.的期望与方差并不能确定(qudng)其分布P-1 0 1 0.1 0.8 0.1P-2 0 20.025 0.95 0.025有相同的期望(qwng)方差但是分布却不相同例如(lr)注 （2）在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.例如 已知 X 服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1 2 X,求Y 的密度函数.解第35页/共45页第三十六页，共45页。性质(xngzh)23 协方差与相关系数3.1 3.1 协方差协方差 定义3.1 称为X 与Y的协方差，记作易得协方差性质协方差性质(xngzh)(xngzh)性质(x

16、ngzh)1性质3例3.1 设 求解 因为 所以 又由例1.11，于是，第36页/共45页第三十七页，共45页。3.2 3.2 相关系数相关系数 定义3.2 若D(X)0,D(Y)0,存在，则称为 X 与 Y 的相关系数。记为若称 X,Y 不相关(xinggun).相关系数的性质相关系数的性质(xngzh)(xngzh)性质(xngzh)1 因此注证 由柯西许瓦兹不等式 可得第37页/共45页第三十八页，共45页。性质(xngzh)3 若 X 与 Y 相互独立，则性质4 的充分必要条件是：存在常数 a,b,使得X,Y 不相关(xinggun)X,Y 相互(xingh)独立X,Y 不相关等价命题

17、：注注表明X与Y之间以概率1存在线性关系。较大表明X与Y之间线性相关程度较好。较小表明X与Y之间线性相关程度较差。表明X与Y不相关。不相关是就线性关系而言，相互独立时就一般关系而言的。第38页/共45页第三十九页，共45页。例3.2 设二维随机变量(su j bin lin)(X,Y)的概率分布为 X Y 1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8证明(zhngmng)X 与 Y 不相关，但 X 与 Y 不相互独立 证(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布为X 1 0 1P 3/8 2/8 3/8 Y 1 0 1 P 3/8 2/8 3/8 于是有

18、因此 ，即 X 与 Y 不相关由于所以 X 与 Y 不相互(xingh)独立第39页/共45页第四十页，共45页。例3.3 设(X,Y)的联合(linh)概率密度为验证(ynzhng)X 与 Y 不相关，但不相互独立解同理于是(ysh)因此 ，即 X 与 Y 不相关第40页/共45页第四十一页，共45页。例3.3 设(X,Y)的联合(linh)概率密度为验证 X 与 Y 不相关(xinggun)，但不相互独立解所以 X 与Y 不相互(xingh)独立.第41页/共45页第四十二页，共45页。例3.4 设(X,Y)N(1,12;2,22;),求XY 解则X,Y 相互(xingh)独立X,Y 不相

19、关(xinggun)若(X,Y)N(1,12,2,22,),注第42页/共45页第四十三页，共45页。4 矩4.1 4.1 原点矩和中心矩原点矩和中心矩 定义(dngy)4.1 设X与Y是两个随机变量,称E(Xk)为X的k阶原点矩;称EX E(X)k 为X的 k 阶中心矩；称E(X k Y l)为X与Y 的 k+l 阶混合原点矩；称 EXE(X)k YE(Y)l为X与Y 的 k+l 阶混合中心矩注 E(X)是X的1阶原点矩。D(X)是X的2阶中心矩。是X与Y的2阶混合(hnh)中心矩。4.2 4.2 协方差矩阵协方差矩阵(j zhn)(j zhn)定义4.2 设二维随机变量（X1,X2）关于X1和X2的二阶中心矩和二阶混和中心矩都存在，则称矩阵为二维随机变量（X1,X2）的协方差矩阵。第43页/共45页第四十四页，共45页。4.1 4.1 n n维正态分布维正态分布 性质1 n维随机变量 服从n维正态分布的充分必要条件是的任意线性组合都服从一维正态分布，其中 为任意常数。性质2 如果 服从 n 维正态分布，设是 的线性函数，则也服从多维正态分布。性质3 设 服从 n 维正态分布，则相互独立两两不相关。第44页/共45页第四十五页，共45页。