《理学弹性力学简明教程学习教案.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理学弹性力学简明教程学习教案.pptx（112页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、会计学1理学弹性力学理学弹性力学(l xu)简明教程简明教程第一页，共112页。31 逆解法逆解法(ji f)和半逆解法和半逆解法(ji f)多项式解法多项式解法(ji f)1.1.当体力为常量，按应力函数当体力为常量，按应力函数 求解平面应力求解平面应力问题问题(wnt)(wnt)时，时，应满足应满足按 求解(qi ji)多连体中的位移单值条件。(c)S=上应力边界条件,A内相容方程第1页/共112页第二页，共112页。对于单连体(lin t)，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。由 求应力(yngl)的公式是(d)第2页/共112页第三页，共112页。2.逆解法 先满足(mnz
2、)(a),再满足(mnz)(b)。步骤:(e)逆解法(ji f)先找出满足(mnz)的解 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，代入(d),求出第3页/共112页第四页，共112页。从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述(shngsh)和应力。逆解法(ji f)逆解法没有针对性，但可以积累基本(jbn)解答。第4页/共112页第五页，共112页。例2 二次式 ，分别表示常量(chngling)的应力和边界面力。如图示。例1 一次式 对应于无体力，无面力，无应力(yngl)状态。故应力(yngl)函数加减 一次式，不影响应力(yngl)。逆解法(ji f)2a2aoyxoy
3、xoyxbbbb2c2c第5页/共112页第六页，共112页。第6页/共112页第七页，共112页。例3逆解法(ji f)设图中所示的矩形(jxng)长梁，l h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？yxol h/2 h/2(l h)第7页/共112页第八页，共112页。解：按逆解法(ji f)。1.将 代入相容方程(fngchng)，可见 是满足的。有可能成为该问题的解。2.由 求出应力(yngl)分量第8页/共112页第九页，共112页。因此(ync)，在 的边界面上，无任何面力作用，即 3.由边界(binji)形状和应力分量反推边界(binji)上的面力。在主要(zhyo)边界（大边
4、界）上，第9页/共112页第十页，共112页。在x=0，l的次要(cyo)边界（小边界）上，第10页/共112页第十一页，共112页。在x=0,l 小边界上的面力 如下图中(a)所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。由此，可得出结论：上述应力函数可以解决(jiju)悬臂梁在 x=0 处受集中力F作用的问题。第11页/共112页第十二页，共112页。FFM(a)(b)第12页/共112页第十三页，共112页。代入 ，解出 ；3.半逆解法(ji f)步骤：半逆解法(ji f)由应力(yngl)(d)式，推测 的函数形式；假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；第13页/共112页第十四页，共
5、112页。由式（d），求出应力(yngl)；半逆解法(ji f)校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移(wiy)单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。第14页/共112页第十五页，共112页。思考题半逆解法(ji f)1.在单连体中，应力函数必须满足(mnz)哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足(mnz)这些条件的？2.试比较(bjio)逆解法和半逆解法的区别。第15页/共112页第十六页，共112页。3-2 矩形矩形(jxng)梁的纯弯曲梁的纯弯曲 梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题(bnt)属于纯弯曲问题。问题(wnt)提出 h/
6、2 h/2lyx(l h)oMM第16页/共112页第十七页，共112页。由逆解法得出，可取(kq)，且满足 求应力(yngl)(a)求解(qi ji)步骤：本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解，应满足相容方程及 上的应力边界条件。第17页/共112页第十八页，共112页。检验(jinyn)应力边界条件，原则是:边界条件 b.后校核次要边界(binji)（小边界(binji)），若不能精确满足应力边界(binji)条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界(binji)条件代替。a.先校核主要(zhyo)边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。第18页/共112页第十九页，共112页。主
7、要主要(zhyo)(zhyo)边界边界 从式(a)可见(kjin)，边界条件(b)均满足。满足(mnz)。主要边界次要边界次要边界 x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。第19页/共112页第二十页，共112页。次要(cyo)边界用两个积分的条件(tiojin)代替 第20页/共112页第二十一页，共112页。当 时，即使在 边界上面力不同于 的分布(fnb)，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然(zrn)满足，由第二式得出最终(zu zhn)得应力解(e)第21页/共112页第二十二页，共112页。如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界
8、条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然(brn)是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。思考题第22页/共112页第二十三页，共112页。3-3 位移位移(wiy)分量的求分量的求出出 在按应力求解中，若已得出应力，如何(rh)求出位移？以纯弯曲(wnq)问题为例，已知试求解其位移。问题提出第23页/共112页第二十四页，共112页。1.由物理(wl)方程求形变求形变(xngbin)第24页/共112页第二十五页，共112页。2.代入几何方程(fngchng)求位移求位移(wiy)第25页/共112页第二十六页，共1
9、12页。对式(a)两边(lingbin)乘 积分,对式(b)两边(lingbin)乘 积分,求位移(wiy)第26页/共112页第二十七页，共112页。再代入(c),并分开(fn ki)变量，上式对任意(rny)的 x,y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。求位移(wiy)第27页/共112页第二十八页，共112页。由此解出求位移(wiy)得出(d ch)位移为3.待定的刚体位移(wiy)分量 ，须由边界约束条件来确定。第28页/共112页第二十九页，共112页。2.代入几何(j h)方程，积分求 ；归纳：从应力求位移(wiy)步骤：3.由边界(binji)约束条件确定确定刚体位移分量1.
10、由物理方程求出形变；第29页/共112页第三十页，共112页。2.铅直线的转角(zhunjio)故在任一截面x 处，平面截面假设成立。纯弯曲(wnq)问题的讨论：1.弯应力 与材料力学(ci lio l xu)的解相同。3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结 果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力 学解相同。第30页/共112页第三十一页，共112页。思考题2.试证明刚体位移 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用(yngyng)本节的解答加以 验证。提示：微分体的转动分量为1.弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学2.的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此3.是否(sh fu)可
11、以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截4.面假设成立？第31页/共112页第三十二页，共112页。3-4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载(hzi)简支梁 ，受均布荷载(hzi)及两端支撑反力 。问题(wnt)yxoll h/2 h/2第32页/共112页第三十三页，共112页。现采用(ciyng)此假设。半逆解法(ji f)按半逆解法(ji f)求解。假设应力分量。由材料力学因为因为所以，可假设所以，可假设因为所以，可假设第33页/共112页第三十四页，共112页。由应力分量(fn ling)推出应力函数的形式。由对 x 积分(jfn)，对x再积分(jfn)，半逆解法第34页/共112页第三十五
12、页，共112页。将 代入相容(xin rn)方程，求解 :相容方程对于任何(rnh)均应满足,故的系数均应等于(dngy)0，由此得三个常微分方程。半逆解法第35页/共112页第三十六页，共112页。式(b)中已略去(l q)对于 的一次式。将式(b)代入式(a)，即得 。(b)半逆解法(ji f)解出:第36页/共112页第三十七页，共112页。对称性条件由于结构和荷载(hzi)对称于 轴，故 应为 的偶函数，为 x的奇函数，故 。由 求应力(yngl)。半逆解法(ji f)在无体力下，应力公式如书中式(f),(g),(h)所示。第37页/共112页第三十八页，共112页。考察(koch)边
13、界条件。由此解出系数(xsh)A,B,C,D。主要主要(zhyo)边界边界主要边界第38页/共112页第三十九页，共112页。次要次要(cyo)(cyo)边界边界次要(cyo)边界由此解出H，K.另一次要边界(x=-l)的条件(tiojin)，自然满足。应用圣维南原理，列出三个积分条件，第39页/共112页第四十页，共112页。最后(zuhu)应力解答：应力(yngl)第40页/共112页第四十一页，共112页。应力应力(yngl)的量级的量级当当 时时,x l 同阶，同阶，y h 同阶同阶.第一项 同阶,（与材料力学(ci lio l xu)解同）;第二项 同阶,（弹性力学(l xu)的修正
14、项）同阶,（与材料力学解同）应力的量级同阶,（材料力学中不计）第41页/共112页第四十二页，共112页。当 时,量级的值很小,可以(ky)不计。应力应力(yngl)(yngl)与材料力学解比较与材料力学解比较:最主要量级 ,和次要量级 ,在材料力学中均已反映(fnyng)，且与弹性力学相同。最小量级 ,在材料力学中没有。当 时,仅占主项 的1/15 (6%),应力比较中的弹性力学修正项：第42页/共112页第四十三页，共112页。弹性力学与材料力学弹性力学与材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)的解法比较的解法比较:应力(yngl)比较 弹性力学严格考虑并满足了A内的平
15、衡微分方程,几何方程和物理(wl)方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。第43页/共112页第四十四页，共112页。几何条件中引用平截面(jimin)假定 沿 为直线分布；例如(lr)：边界条件也没有严格(yng)考虑；平衡条件中没有考虑微分体的平衡，只 考虑 的内力平衡；材料力学解往往不满足相容条件。第44页/共112页第四十五页，共112页。对于杆件，材料力学解法及解答(jid)具有足够的精度；对于非杆件，不能用材料力学解法求解(qi ji)，应采用弹性力学解法求解(qi ji)
16、。第45页/共112页第四十六页，共112页。1.当问题(wnt)中的y轴为对称轴时，试说明 和2.应为x的偶函数，而 应为x的奇函数。思考题2.对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学3.中是如何(rh)考虑平衡条件的？第46页/共112页第四十七页，共112页。3.试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不 符合平面(pngmin)截面假设。4.材料力学(ci lio l xu)的解答往往不满足相容条件，为什么？第47页/共112页第四十八页，共112页。3-5 3-5 楔形体受重力及液体楔形体受重力及液体(yt)(yt)压力压力 设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体(yt)压
17、力。oyxn第48页/共112页第四十九页，共112页。用半逆解法(ji f)求解。因为应力(yngl),而应力(yngl)的量纲只比高一次（L），所以(suy)应力 (x,y 一次式）,=即可假设应力为x,y 的一次式。（1）用量纲分析法假设应力:第49页/共112页第五十页，共112页。（2）由应力(yngl)关系式，应为x,y的三次式，（3）满足相容(xin rn)方程（4）由 求应力(yngl)，第50页/共112页第五十一页，共112页。（5）考察边界条件-本题只有(zhyu)两个大边 界，均应严格满足应力边界条件。x=0 铅直(qinzh)面，解出解出第51页/共112页第五十二页
18、，共112页。斜边界(binji)上，须按一般的应力(yngl)边界条件来表示，有第52页/共112页第五十三页，共112页。其中(qzhng)由式（b)解出a、b,最后的应力(yngl)解答,应力(yngl)第53页/共112页第五十四页，共112页。水平(shupng)截面上的应力分布如图所示。第54页/共112页第五十五页，共112页。楔形体解答的应用:作为重力坝的参考解答；分逢重力坝接近平面应力问题；在坝体中部的应力，接近楔形体的解答。重力坝规范规定(gudng)的解法 材料力学解法（重力法）.重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。第55页/共112页第五十六页，共112页。思考题 重
19、力法是按应力求解的，试回忆应力分量 必须满足(mnz)哪些条件？在重力法中考虑了哪些条件？第56页/共112页第五十七页，共112页。例题(lt)1例题(lt)2例题3例题4例题8例题7例题6例题5第57页/共112页第五十八页，共112页。例题(lt)1 设单位厚度(hud)的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，图3-5，试用应力函数 求解应力分量。第58页/共112页第五十九页，共112页。图3-5ydyyxl h/2 h/2o第59页/共112页第六十页，共112页。解：本题是较典型的例题(lt)，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。1.将 代入相容(xin rn)方程
20、，显然是满足的。2.将 代入式(2-24)，求出应力(yngl)分量。第60页/共112页第六十一页，共112页。3.考察边界条件：4.主要(zhyo)边界 上应精确满足式(2-15),第61页/共112页第六十二页，共112页。在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分(jfn)的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得：第62页/共112页第六十三页，共112页。第63页/共112页第六十四页，共112页。由(a),(b)解出 最后一个次要(cyo)边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必
21、然满足的，故不必再校核。第64页/共112页第六十五页，共112页。代入应力(yngl)公式，得第65页/共112页第六十六页，共112页。例题(lt)2 挡水墙的密度(md)为 ，厚度为b,图示,水的密度(md)为 ，试求应力分量。yox第66页/共112页第六十七页，共112页。解：用半逆解法(ji f)求解。1.假设(jish)应力分量的函数形式。2.3.因为在 y=-b/2边界上，y=b/2 边界上，所以可假设(jish)在区域内 4.沿x 向 也是一次式变化，即 第67页/共112页第六十八页，共112页。2.按应力函数(hnsh)的形式，由 推测 的形式，所以(suy)第68页/共
22、112页第六十九页，共112页。3.由相容方程(fngchng)求应力函数。代入 得要使上式在任意(rny)的x处都成立，必须 第69页/共112页第七十页，共112页。代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去(l q)了与应力无关的一次式。第70页/共112页第七十一页，共112页。4.由应力函数求解应力分量(fn ling)。将 代入式(2-24),注意 ，体力求得应力分量(fn ling)为第71页/共112页第七十二页，共112页。5.考察(koch)边界条件：6.主要边界 上,有得得得第72页/共112页第七十三页，共112页。由上式得到(d do)第73页/共112页第七十四页，共1
23、12页。求解(qi ji)各系数，由得得得得第74页/共112页第七十五页，共112页。由此得又有代入A,得第75页/共112页第七十六页，共112页。在次要(cyo)边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：由式(g),(h)解出第76页/共112页第七十七页，共112页。代入应力分量的表达式得最后(zuhu)的应力解答：第77页/共112页第七十八页，共112页。例题(lt)3已知试问它们能否作为平面(pngmin)问题的应力函数？第78页/共112页第七十九页，共112页。解：作为应力函数，必须首先满足相容(xin rn)方程，将 代入，(a)其中A=0，才可能成为应力(yngl)
24、函数；(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能(knng)成为应力函数。第79页/共112页第八十页，共112页。例题(lt)4图中所示的矩形截面(jimin)柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移(wiy)，设在A点的位移(wiy)和转角均为零。第80页/共112页第八十一页，共112页。bbAyxhOFFb/2第81页/共112页第八十二页，共112页。解：应用应力(yngl)函数求解：(1)校核 相容(xin rn)方程 ，满足.(2)求应力(yngl)分量，在无体力时，得(3)考察主要边界条件主要边界条件，均已满足第82页/共112页第八十三页
25、，共112页。考察(koch)次要边界条件，在y=0上，满足(mnz)。得得第83页/共112页第八十四页，共112页。上述应力(yngl)已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。代入，得应力(yngl)的解答，第84页/共112页第八十五页，共112页。(4)求应变(yngbin)分量，第85页/共112页第八十六页，共112页。(5)求位移(wiy)分量，第86页/共112页第八十七页，共112页。将u,v代入几何(j h)方程的第三式，两边分离变量(binling)，并全都等于 常数，即第87页/共112页第八十八页，共112页。从上式分别(fnbi)积分，求出代入u,v,得第88
26、页/共112页第八十九页，共112页。再由刚体(gngt)约束条件，得得得第89页/共112页第九十页，共112页。代入u,v,得到位移(wiy)分量的解答在顶点(dngdin)x=y=0，第90页/共112页第九十一页，共112页。例题(lt)5 图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载(hzi)。试用下列应力函数求解应力(yngl)分量。第91页/共112页第九十二页，共112页。yxo h/2 h/2l第92页/共112页第九十三页，共112页。解：应用上述(shngsh)应力函数求解：(1)将 代入相容(xin rn)方程，由此，第93页/共112页第九十四页，共112页。(2)代
27、入应力(yngl)公式，在无体力下，得(3)考察(koch)主要边界条件第94页/共112页第九十五页，共112页。对于任意(rny)的x值，上式均满足，由此得(a)(b)(c)(d)第95页/共112页第九十六页，共112页。由(3)+(4)得由(3)-(4)得由(5)-(1)得(e)第96页/共112页第九十七页，共112页。(4)考察(koch)小边界上的边界条件(x=0),由得由式(2)和(6)解出（f）第97页/共112页第九十八页，共112页。另两个(lin)积分的边界条件，显然(xinrn)是满足的。第98页/共112页第九十九页，共112页。于是将各系数(xsh)代入应力表达式
28、，得最后的应力解答。第99页/共112页第一百页，共112页。读者试校核在x=l的小边界(binji)上，下列条件是满足的，第100页/共112页第一百零一页，共112页。例题(lt)6矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力(tl)，试用应力函数求解其应力(yngl)分量。Mqqhyxo b/2 b/2 第101页/共112页第一百零二页，共112页。解：应用上述应力函数(hnsh)求解：(1)代入相容(xin rn)方程，(2)求应力(yngl)分量，在无体力下，第102页/共112页第一百零三页，共112页。(3)考察边界条件，在主要(zhyo)边界在小边界(binji)
29、（x=0）第103页/共112页第一百零四页，共112页。第104页/共112页第一百零五页，共112页。再由(a),(b)式解出代入，得应力(yngl)解答，第105页/共112页第一百零六页，共112页。例题(lt)7 试用(shyng)应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。第106页/共112页第一百零七页，共112页。第107页/共112页第一百零八页，共112页。解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力(yngl)分量。本题(bnt)得出的应力解答是第108页/共112页第一百零九页，共112页。例题(lt)8 试用应力函数 求解图中所示的半平面体在 的边界(binji)上受均布切力q的问题。第109页/共112页第一百一十页，共112页。第110页/共112页第一百一十一页，共112页。解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以(ky)求出其应力分量。本题得出的应力(yngl)解答是第111页/共112页第一百一十二页，共112页。