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1、会计学1现代控制现代控制(kngzh)理论李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫稳定性理论理论第一页，共67页。2n n经典控制理论稳定性判别方法：经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，奈魁斯特判据，对数代数判据，奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据判据，根轨迹判据n n非线性系统：相平面法非线性系统：相平面法(适用适用(shyng)于一，二阶非线性系统于一，二阶非线性系统)n n1892年，俄国学者李雅普诺夫提年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用来描述，适用(shyng)于单变量于单变量，线性，非线性，定常，时变，线性，非线性，定常，时变，多变量
2、等系统。多变量等系统。n n应用：自适应控制，最优控制，应用：自适应控制，最优控制，非线性控制等。非线性控制等。第2页/共67页第二页，共67页。3主要主要(zhyo)内容：内容：李雅普诺夫第一李雅普诺夫第一(dy)法（间接法）法（间接法）利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法(fngf)，它适用于线性定常、线性时变及可线性，它适用于线性定常、线性时变及可线性化的非线性系统。化的非线性系统。李雅普诺夫第二法（直接法）李雅普诺夫第二法（直接法）直接判直接判断系统稳定性断系统稳定性，利用经验和技巧利用经验和技巧构造构造一个李亚普诺夫函数一个李亚普诺夫函
3、数V(x)，根据，根据 符号性质判符号性质判断系统稳定性断系统稳定性-对任何系统都适用。对任何系统都适用。第3页/共67页第三页，共67页。44.1 稳定性基本概念稳定性基本概念 1.自治系统：输入为自治系统：输入为0的系统的系统 2.初态初态 的解为的解为 初态初态 3.平衡状态：平衡状态：系统的平衡状态系统的平衡状态 a.线性系统线性系统 A非奇异：非奇异：A奇异：奇异：有无穷有无穷(wqing)多个多个第4页/共67页第四页，共67页。5b.非线性系统非线性系统 可能可能(knng)有有多个多个 例例4-1:令令 第5页/共67页第五页，共67页。64.孤立的平衡状态孤立的平衡状态(zh
4、ungti)：在某一平：在某一平衡状态衡状态(zhungti)的充分小的邻域内不的充分小的邻域内不存在别的平衡状态存在别的平衡状态(zhungti)。5.对于孤立的平衡状态对于孤立的平衡状态(zhungti)，总，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态态(zhungti)空间的原点。空间的原点。第6页/共67页第六页，共67页。74.2 李雅普诺夫稳定李雅普诺夫稳定(wndng)性的性的定义定义 1.李雅普诺夫意义下的稳定李雅普诺夫意义下的稳定(wndng)如果对每个实数如果对每个实数 都对应存在另都对应存在另一个实数一个实数 满足满足的任意的任意(rny
5、)初始态初始态 出发的运动轨迹出发的运动轨迹，在，在 都满足都满足(mnz)：第7页/共67页第七页，共67页。8则称则称 是李雅普诺夫意义下稳定的。是李雅普诺夫意义下稳定的。时变系统时变系统(xtng)：与与 有关有关 定常系统定常系统(xtng)：与与 无关，无关，是一致稳定的。是一致稳定的。注意：注意：向量范数向量范数(表示空间距离表示空间距离)欧几里得范数。欧几里得范数。第8页/共67页第八页，共67页。92.渐近稳定渐近稳定(wndng)1）xe是李雅普诺夫意义下的稳定是李雅普诺夫意义下的稳定(wndng)2）一致渐近稳定一致渐近稳定(wndng)3.大范围内渐近稳定大范围内渐近稳定
6、(wndng)性性对于对于 都有都有第9页/共67页第九页，共67页。10初始条件扩展到整个初始条件扩展到整个(zhngg)空间，且是渐近稳空间，且是渐近稳定性。定性。v线性系统线性系统(严格严格)：如果它是渐近稳定的，必：如果它是渐近稳定的，必v 是有大范围是有大范围(fnwi)渐近稳定性渐近稳定性(线性系统稳线性系统稳定性与初定性与初v 始条件的大小无关始条件的大小无关)。v非线性系统：只能在小范围非线性系统：只能在小范围(fnwi)一致稳定，一致稳定，由状由状v 态空间出发的轨迹都收敛态空间出发的轨迹都收敛 或其附近。或其附近。大范围大范围(fnwi)渐近稳定渐近稳定第10页/共67页第
7、十页，共67页。11n当当 与与 无关无关 大范围一致渐大范围一致渐近稳定。近稳定。n必要条件：在整个状态空间中必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态只有一个平衡状态 。n不稳定性：不管不稳定性：不管 ，有多小，有多小，只要只要(zhyo)n 内由内由 出发的轨迹超出出发的轨迹超出 以外，则称此平衡状态是不稳以外，则称此平衡状态是不稳定的。定的。第11页/共67页第十一页，共67页。12 线性系统的平衡状态(zhungti)不稳定 表征系统不稳定。非线性系统的平衡状态(zhungti)不稳定 只说明轨迹离开了S(），这说明平衡状态(zhungti)是不稳定的。然而却不能说明轨迹将趋于无穷远
8、处，这是因为轨迹还可能趋于在S(）外的某个极限环,若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。第12页/共67页第十二页，共67页。13图图4.1 稳定性的平面几何稳定性的平面几何(pngminjh)表示表示（c）不稳定）不稳定性性（b）渐近稳定性）渐近稳定性（a）李雅普诺夫意义）李雅普诺夫意义(yy)下的稳定性下的稳定性第13页/共67页第十三页，共67页。144.3 李雅普诺夫第一法（间接法）李雅普诺夫第一法（间接法）利用状态方程解的特性来判断利用状态方程解的特性来判断(pndun)系统稳系统稳定性。定性。线性定常系统稳定性的特征值判据线性定常系统稳定性的特征值判据1）李雅普诺夫意义下
9、的稳定的充要条件：）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：2）渐近稳定的充要条件：）渐近稳定的充要条件：3）不稳定）不稳定(wndng)的充要条件：的充要条件：第14页/共67页第十四页，共67页。152.非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析3.假定非线性系统在平衡假定非线性系统在平衡状态状态(zhungti)附近可展开附近可展开成台劳级数，可用线性化系统成台劳级数，可用线性化系统的特征值判据判断非线性系统的特征值判据判断非线性系统的平衡状态的平衡状态(zhungti)处的处的稳定性。稳定性。4.设非线性系统状态设非线性系统状态(zhungti)方程：方程：5.在平衡状态在平衡状态(zhu
10、ngti)附近存在各阶附近存在各阶偏导数，于是：偏导数，于是：6.-非线性函数非线性函数(hnsh)第15页/共67页第十五页，共67页。16其中其中(qzhng)：-级数级数(j sh)展开式中二阶以上各项展开式中二阶以上各项之和之和第16页/共67页第十六页，共67页。17n n上式为向量函数的雅可比矩阵。上式为向量函数的雅可比矩阵。上式为向量函数的雅可比矩阵。上式为向量函数的雅可比矩阵。n n 令令令令n n n n 则线性化系统则线性化系统则线性化系统则线性化系统(xt(xt ng)ng)方程为：方程为：方程为：方程为：n n 第17页/共67页第十七页，共67页。18结论结论结论结论
11、(jiln)(jiln)：若若若若 ，则非线性系统在，则非线性系统在，则非线性系统在，则非线性系统在 处是渐近处是渐近处是渐近处是渐近稳定的，与稳定的，与稳定的，与稳定的，与 无关。无关。无关。无关。若若若若 ,则非线性系统不稳定。则非线性系统不稳定。则非线性系统不稳定。则非线性系统不稳定。若若若若 ，稳定性与，稳定性与，稳定性与，稳定性与 有关，有关，有关，有关，则是李雅普诺夫意义下的稳定。则是李雅普诺夫意义下的稳定。则是李雅普诺夫意义下的稳定。则是李雅普诺夫意义下的稳定。第18页/共67页第十八页，共67页。19例例4-2：已知非线性系统：已知非线性系统(xtng)的状态方程为：的状态方程
12、为：试分析系统试分析系统(xtng)在平衡状态处的稳在平衡状态处的稳定性。定性。解：解：令令第19页/共67页第十九页，共67页。20第20页/共67页第二十页，共67页。21可见非线性系统可见非线性系统(xtng)在平衡状态在平衡状态xe1处不处不稳定。稳定。不能确定非线性系统不能确定非线性系统(xtng)在平衡状态在平衡状态xe2处稳处稳定性。定性。第21页/共67页第二十一页，共67页。22 李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理李雅普诺夫第二法（直接法）基本原理 ：根据物理学原理，若系统贮存的能量：根据物理学原理，若系统贮
13、存的能量：根据物理学原理，若系统贮存的能量：根据物理学原理，若系统贮存的能量(nngling)(nngling)(nngling)(nngling)（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。（含动能与位能）随时间推移而衰减，系统迟早会到达平衡状态。实际系统的能量实际系统的能量实际系统的能量实际系统的能量(nngling)(nngling)(nngling)(nngling)函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义
14、能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量函数表达式相当难找，因此李雅普诺夫引入了广义能量(nngling)(nngling)(nngling)(nngling)函数，称之为李雅普诺夫函数。它与函数，称之为李雅普诺夫函数。它与函数，称之为李雅普诺夫函数。它与函数，称之为李雅普诺夫函数。它与 及及及及t t t t 有关，是一个标量函有关，是一个标量函有关，是一个标量函有关，是一个标量函数，记以数，记以数，记以数，记以 ；若不显含；若不显含；若不显含；若不显含t t t t，则记以，则记以，则记以，则记以 。考虑到能量考虑到能量考虑到能量考虑到能量(nngling)(nngling)(
15、nngling)(nngling)总大于零，故为正定函数。能量总大于零，故为正定函数。能量总大于零，故为正定函数。能量总大于零，故为正定函数。能量(nngling)(nngling)(nngling)(nngling)衰减特性用衰减特性用衰减特性用衰减特性用 或或或或 表示。表示。表示。表示。实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数实践表明，对于大多数系统，可先尝试用二次型函数 作为李雅普诺夫函数。作为李雅普诺夫函数。作为李雅普诺夫函数。作为李雅普诺夫函数。4.4 李雅普诺夫第二李雅普诺夫第二(d
16、 r)法法(直接法直接法)第22页/共67页第二十二页，共67页。23n4.4.1 预备预备(ybi)知识知识第23页/共67页第二十三页，共67页。24 第24页/共67页第二十四页，共67页。25 第25页/共67页第二十五页，共67页。26 5.V(x)不定不定(bdng):V(x)0或或V(x)0 则则 V(x)是不定是不定(bdng)的。的。如：如：第26页/共67页第二十六页，共67页。27第27页/共67页第二十七页，共67页。282.如果如果P是奇异矩阵是奇异矩阵(j zhn)，且它的所有主子行列式均非负，则，且它的所有主子行列式均非负，则是正半定的。是正半定的。3.如果矩阵如
17、果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值，的奇数阶主子行列式为负值，偶数偶数(u sh)阶主子行列式为正值，则阶主子行列式为正值，则是是负负定的。定的。即即:第28页/共67页第二十八页，共67页。29第29页/共67页第二十九页，共67页。30n4.4.2 几个稳定性定理几个稳定性定理n 设系统状态设系统状态(zhungti)方方程：程：n 其平衡状态其平衡状态(zhungti)满满足足 ，假定状态，假定状态(zhungti)空间原点作为平衡状空间原点作为平衡状态态(zhungti)()，并设在原，并设在原点邻域存在点邻域存在 对对 x 的连续的的连续的一阶偏导数。一阶偏导数。第30页/共67页第三
18、十页，共67页。31n定理定理1：若：若(1)正定；正定；n (2)负定；负定；n 则原点是渐近稳定的。则原点是渐近稳定的。n(3)当当 时时 ,n则系统在原点处是大范围渐近稳则系统在原点处是大范围渐近稳定的。定的。n 说明：说明：负定负定 能量随时能量随时间连续间连续(linx)单调衰减。单调衰减。n定理定理2：若：若(1)正定；正定；n (2)负半定；负半定；n (3)在非零状在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定态不恒为零，则原点是渐近稳定的。的。第31页/共67页第三十一页，共67页。32说明：负半定表示在非零状态存在说明：负半定表示在非零状态存在说明：负半定表示在非零状态存在说明：负半
19、定表示在非零状态存在 ,但在从初态出发的轨迹但在从初态出发的轨迹但在从初态出发的轨迹但在从初态出发的轨迹 上，不存在上，不存在上，不存在上，不存在 的情的情的情的情况，于是系统况，于是系统况，于是系统况，于是系统(xt(xt ng)ng)将继续运行至原点。状态轨迹将继续运行至原点。状态轨迹将继续运行至原点。状态轨迹将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。定理定理定理定理3 3：若：若：若：若(1)(1)正定；正定；正定；正定；(2)(
20、2)负半定；负半定；负半定；负半定；(3)(3)在非零状态恒为零；则原点是在非零状态恒为零；则原点是在非零状态恒为零；则原点是在非零状态恒为零；则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。李雅普诺夫意义下稳定的。李雅普诺夫意义下稳定的。李雅普诺夫意义下稳定的。说明：沿状态轨迹能维持说明：沿状态轨迹能维持说明：沿状态轨迹能维持说明：沿状态轨迹能维持 表示系统表示系统表示系统表示系统(xt(xt ng)ng)能维持等能量水平运行，使系统能维持等能量水平运行，使系统能维持等能量水平运行，使系统能维持等能量水平运行，使系统(xt(xt ng)ng)维维维维持在非零状态持在非零状态持在非零状态持在非零状态,而不运行
21、至原点。而不运行至原点。而不运行至原点。而不运行至原点。第32页/共67页第三十二页，共67页。33n定理定理4：若：若(1)正定；正定；n (2)正定正定n 则原点是不稳定则原点是不稳定(wndng)的。的。n说明：说明：正定正定 能量函能量函数随时间增大，数随时间增大，在在 处处发散。发散。第33页/共67页第三十三页，共67页。34n推论推论1：当：当 正定，正定，正半定，且正半定，且 在非零状在非零状态态(zhungti)不恒为零时不恒为零时,则则原点不稳定。原点不稳定。n推论推论2：正定，正定，负半负半定，若定，若n ，则原点是，则原点是李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定(同定
22、理同定理3)。第34页/共67页第三十四页，共67页。35几点说明：几点说明：选取不唯一，但没有通用办法选取不唯一，但没有通用办法(bnf)，选取不当，会导致选取不当，会导致 不定的不定的结果。结果。2)李雅普诺夫第二法诸稳定性定理李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件。所述条件都是充分条件。具体分析时，先构造具体分析时，先构造(guzo)一个李雅普诺夫函数一个李雅普诺夫函数V(x,t),通常选二次型函数，求其导数通常选二次型函数，求其导数(do sh)再再将状态方将状态方程代入，最后根据程代入，最后根据 的定号性判别稳定性。的定号性判别稳定性。第35页/共67页第三十五页，共67页
23、。36例例4-3：已知非线性系统：已知非线性系统(xtng)的状态方程为：的状态方程为：试用李雅普诺夫第二法判断试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。其稳定性。解：解：令令原点是唯一原点是唯一(wi y)平衡点平衡点第36页/共67页第三十六页，共67页。37 设设则则负定负定1)原点是渐近稳定原点是渐近稳定(wndng)的；的；2)只有一个平衡状态只有一个平衡状态(zhungti)，该系统，该系统是大范围渐近稳定；是大范围渐近稳定；3)由于由于V(x)与与t 无关，又是大范围一致无关，又是大范围一致(yzh)渐近稳定。渐近稳定。定理定理1第37页/共67页第三十七页，共67页。38n几何几何(j
24、 h)意义：意义：等能量轨迹等能量轨迹(guj)(整整个平面个平面)表示状态表示状态(zhungti)x到状态到状态(zhungti)空间原点距离的一种度量。空间原点距离的一种度量。如果原点与瞬时状态如果原点与瞬时状态x(t)之间的距离随之间的距离随t的增加而连续的增加而连续地减小（即地减小（即），则），则最终最终 。第38页/共67页第三十八页，共67页。39例例4-4：已知非线性系统的状态方：已知非线性系统的状态方程为：程为：试用李雅普诺夫第二试用李雅普诺夫第二(d r)法判断其稳定性。法判断其稳定性。解：解：令令原点是唯一原点是唯一(wi y)平衡点平衡点第39页/共67页第三十九页，共
25、67页。40 设设则则负半定负半定反设反设 只有只有(zhyu)平衡状态平衡状态 满足满足第40页/共67页第四十页，共67页。41这个结果是相矛盾的。所以这种情况这个结果是相矛盾的。所以这种情况(qngkung)不会不会发生在状态方程的解运动发生在状态方程的解运动(yndng)轨迹轨迹上。上。综合以上分析综合以上分析(fnx)可知可知,系统在平衡状态系统在平衡状态xe=0处是大范围渐近稳定的。处是大范围渐近稳定的。第41页/共67页第四十一页，共67页。42例例4-5：试判断：试判断(pndun)下列线性下列线性系统平衡状态的稳定性。系统平衡状态的稳定性。解：解：1)令令即原点是平衡即原点是
26、平衡(pnghng)状状态。态。设设第42页/共67页第四十二页，共67页。43则：则：其它其它(qt)负半定负半定令令只有只有(zhyu)全零解全零解非零状态非零状态(zhungti)时时原点原点 是渐近稳定，且是大范围是渐近稳定，且是大范围一致渐近稳定。一致渐近稳定。定理定理2第43页/共67页第四十三页，共67页。44例例4-6：试判断：试判断(pndun)下列线性下列线性系统平衡状态的稳定性。系统平衡状态的稳定性。解：解：设设 则则 故系统是李雅普诺夫意义下的故系统是李雅普诺夫意义下的稳定。稳定。原点是平衡原点是平衡(pnghng)状态状态定理(dngl)3第44页/共67页第四十四页
27、，共67页。45例例4-7：试判断下列：试判断下列(xili)线性系线性系统平衡状态的稳定性。统平衡状态的稳定性。解解:即即 设设 则则 可见可见 与与 无关，故非零状态无关，故非零状态(如如 )有有 ，而对其余任，而对其余任意状态意状态 有有第45页/共67页第四十五页，共67页。46 故 正半定。令 即非零状态时，不恒为零，则原点不稳定(wndng)即系统不稳定(wndng)。推论推论(tuln)1第46页/共67页第四十六页，共67页。474.5 4.5 线性定常系统线性定常系统线性定常系统线性定常系统(xt(xt ng)ng)渐近稳定性判别法渐近稳定性判别法渐近稳定性判别法渐近稳定性判
28、别法1.设系统状态方程为：设系统状态方程为：2.为唯一平衡状态。为唯一平衡状态。3.设选取设选取(xunq)如下的正定二如下的正定二次型函数次型函数 为李氏函数为李氏函数4.则：则：-非奇异非奇异(qy)矩阵矩阵将将 代入：代入：线性定常连续系统渐近稳定性判别线性定常连续系统渐近稳定性判别第47页/共67页第四十七页，共67页。48 令 由渐近稳定性定理1，只要Q正定(即 负定)，则系统(xtng)是大范围一致渐近稳定。定理：系统(xtng)大范围渐近稳定的充要条 件为:给定一正定实对称矩阵Q，存在唯一的正定实对称矩阵P使 成立，则 为系统(xtng)的一个李雅普诺夫函数。第48页/共67页第
29、四十八页，共67页。49方法方法1：给定正定给定正定(zhn dn)Q P的定号性的定号性 Q单位阵单位阵 P的定号性的定号性方法方法2：Q取正半定取正半定(定理定理2)允许单允许单位矩阵主对位矩阵主对 角线上部分元素为零。角线上部分元素为零。第49页/共67页第四十九页，共67页。50例例4-8：解：选取解：选取(xunq)第50页/共67页第五十页，共67页。51第51页/共67页第五十一页，共67页。52P正定正定(zhn dn)是大范围(fnwi)一致渐近稳定李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数(hnsh)为为:且且第52页/共67页第五十二页，共67页。53例例4-9:试用李雅普诺夫方程确定
30、下图所示系统试用李雅普诺夫方程确定下图所示系统(xtng)渐近稳定的渐近稳定的K值范围。值范围。第53页/共67页第五十三页，共67页。54解解 容易容易(rngy)推得系统的状态方程为推得系统的状态方程为:在确定渐近稳定的在确定渐近稳定的K值范围时，假设输入值范围时，假设输入(shr)u为为零。零。于是上式可写为于是上式可写为:由式由式(4.1）到（）到（4.3）可知，原点是平衡状态。）可知，原点是平衡状态。假设假设(jish)取正半定的实对称矩阵取正半定的实对称矩阵Q为为:第54页/共67页第五十四页，共67页。55由于由于(yuy)除原点外除原点外不恒等于零，不恒等于零，因此因此(ync
31、)可选上式可选上式的的Q。为了为了(wi le)证实这一点，注证实这一点，注意意取取于是于是只在原点处才恒等于零。只在原点处才恒等于零。为负半定。为负半定。因此可选择正半定因此可选择正半定Q用于用于Lyapunov方程。方程。第55页/共67页第五十五页，共67页。56现在求解如下现在求解如下(rxi)Lyapunov方程方程:对P的各元素(yun s)求解，可得:第56页/共67页第五十六页，共67页。57为使为使P成为正定成为正定(zhn dn)矩阵，其充要条件为矩阵，其充要条件为:和和即即 系统系统(xtng)渐近稳定。也就是说，渐近稳定。也就是说，原点是大范围一致渐近稳定的。原点是大范
32、围一致渐近稳定的。第57页/共67页第五十七页，共67页。582.线性定常离散系统渐近稳定性线性定常离散系统渐近稳定性判别判别3.设系统状态方程：设系统状态方程：4.其中其中 -非奇异非奇异(qy)阵，阵，是平衡状态。是平衡状态。5.设设第58页/共67页第五十八页，共67页。59令令李氏代数方程李氏代数方程(dish fngchng)第59页/共67页第五十九页，共67页。60定理：系统定理：系统定理：系统定理：系统 渐近稳定的渐近稳定的渐近稳定的渐近稳定的 充要条件为：充要条件为：充要条件为：充要条件为：给定任一正定实对称矩阵给定任一正定实对称矩阵给定任一正定实对称矩阵给定任一正定实对称矩
33、阵(j(j zhn)Q zhn)Q，存在一个正定实，存在一个正定实，存在一个正定实，存在一个正定实对称矩阵对称矩阵对称矩阵对称矩阵(j(j zhn)P zhn)P，使式，使式，使式，使式 成立，成立，成立，成立，则则则则 是系统的一个李氏函数。是系统的一个李氏函数。是系统的一个李氏函数。是系统的一个李氏函数。可取可取可取可取 Q=I Q=I如果如果如果如果 且且且且 可取可取可取可取QQ为正半定阵。为正半定阵。为正半定阵。为正半定阵。第60页/共67页第六十页，共67页。614.6 构造李雅普诺夫函数的一些构造李雅普诺夫函数的一些(yxi)方法方法克拉索夫斯基方法给出了非线性系统克拉索夫斯基方
34、法给出了非线性系统平衡状态渐近稳定平衡状态渐近稳定(wndng)的充分条的充分条件。件。克拉索夫斯基定理克拉索夫斯基定理(dngl):考虑如下非线性系统考虑如下非线性系统 式中，式中，x为为n维状态向量，维状态向量，为的非线性的非线性n维向量函数，假定维向量函数，假定，且，且对对可微（可微（i=1,2,n）。）。第61页/共67页第六十一页，共67页。62该系统该系统(xtng)的雅可比矩阵定义为的雅可比矩阵定义为第62页/共67页第六十二页，共67页。63如果如果(rgu)矩阵矩阵 是负定的，是负定的，则平衡则平衡(pnghng)状态状态xe=0是渐近稳定是渐近稳定(wndng)的。的。该系
35、统的该系统的Lyapunov函数为函数为:此外，若随着此外，若随着，则平衡状态是大范围渐近稳定的。，则平衡状态是大范围渐近稳定的。第63页/共67页第六十三页，共67页。64证明证明(zhngmng):选取选取(xunq)注意注意(zh y)到到 从而从而因为因为 是负定的，所以是负定的，所以也是也是负定的负定的。所以原点是渐近稳定的。所以原点是渐近稳定的。第64页/共67页第六十四页，共67页。65例例4-10：已知非线性系统的状态方：已知非线性系统的状态方程为：程为：试用试用(shyng)克拉索夫斯基方法克拉索夫斯基方法判断判断xe=0稳定性。稳定性。解：解：第65页/共67页第六十五页，共67页。66根据根据(gnj)赛尔维斯特判据，赛尔维斯特判据，有有是负定的。是负定的。第66页/共67页第六十六页，共67页。67感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第67页/共67页第六十七页，共67页。