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1、会计学1王勖成有限王勖成有限(yuxin)单元法学习总结单元法学习总结第一页，共109页。内容内容(nirng)(nirng)提纲提纲一、绪论一、绪论二、有限元法的理论基础二、有限元法的理论基础-加权余量加权余量(y lin)(y lin)法和变法和变分原理分原理三、弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达式三、弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达式四、单元和插值函数的构造四、单元和插值函数的构造五、等参元与数值积分五、等参元与数值积分六、有限元法运用中的若干实际考虑六、有限元法运用中的若干实际考虑七、线性代数方程组的解法七、线性代数方程组的解法八、有限元分析计算机程序八、有限元分析计算机程序
2、第1页/共109页第二页，共109页。一、绪论(xln)l 1.1 有限元法要点有限元法要点(yodin)：l 将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个将一个表示结构或连续体的求解域离散为若干个 子域（单子域（单元），并通过他们边界上的节点相互联接成为组合体；元），并通过他们边界上的节点相互联接成为组合体；l 用每个单元内在所假设的近似函数来分片地表示全求解域用每个单元内在所假设的近似函数来分片地表示全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未知场函数（或及其导数）在单元各结点上的数值和与其对应的插值数（或及其导数）在单元各结点上
3、的数值和与其对应的插值函数来表达（此表达式为矩阵形式）；函数来表达（此表达式为矩阵形式）；l 通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数结点值）分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数结点值）的代数方程组或者场微分方程组。的代数方程组或者场微分方程组。第2页/共109页第三页，共109页。一、绪论(xln)l 1.2 有限元法特性：有限元法特性：l 对于复杂几何构型的适应性（单元在空间可以是一维、二对于复杂几何构型的适应性（单元在空间可以是一维、二维或三维的，而每一种单元可以有不同形状
4、）；维或三维的，而每一种单元可以有不同形状）；l 对各种物理问题的可应用性对各种物理问题的可应用性(用单元内近似函数分片地表示用单元内近似函数分片地表示(biosh)全求解域的未知场函数，并为限制场函数所满足的全求解域的未知场函数，并为限制场函数所满足的方程形式，也为限制各个单元所对应方程必须是相同的形式方程形式，也为限制各个单元所对应方程必须是相同的形式)；l 建立于严格理论基础上的可靠性建立于严格理论基础上的可靠性(用于建立有限元方程的变用于建立有限元方程的变分原理或加权余量法在数学上以证明是微分方程和边界条件分原理或加权余量法在数学上以证明是微分方程和边界条件的等效积分形式的等效积分形式
5、)；l 适合计算机实现的高校性适合计算机实现的高校性(有限元分析的各个步骤可以表达有限元分析的各个步骤可以表达成规范的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩成规范的矩阵形式，最后导致求解方程可以统一为标准的矩阵代数问题，特别适合计算机编程和执行阵代数问题，特别适合计算机编程和执行)。第3页/共109页第四页，共109页。一、绪论(xln)l 1.3 有限元法的发展和现状：有限元法的发展和现状：l 单元单元(dnyun)类型和形式：为扩大有限元法的应用类型和形式：为扩大有限元法的应用领域，新的单元领域，新的单元(dnyun)类型不断涌现，例如等参单类型不断涌现，例如等参单元元(dnyun)
6、采用和位移插值相同的表示方法，将形状采用和位移插值相同的表示方法，将形状规则单元规则单元(dnyun)变换为边界为曲线或曲面的单元变换为边界为曲线或曲面的单元(dnyun)；l 有限元法的理论基础和离散格式：在提出新的单元有限元法的理论基础和离散格式：在提出新的单元(dnyun)类型，扩展新的应用领域和应用条件的同时，类型，扩展新的应用领域和应用条件的同时，为了给新单元为了给新单元(dnyun)和新应用提供可靠的理论基础，和新应用提供可靠的理论基础，研究了研究了Hellinger-Reissner原理、原理、Hu-Wanshizu原理等多原理等多场变量的变分原理，发展了混合型、杂交型的有限元表
7、场变量的变分原理，发展了混合型、杂交型的有限元表达格式；达格式；l 有限元方程的解法：独立于时间的平衡问题（或稳态有限元方程的解法：独立于时间的平衡问题（或稳态问题）；特征值问题；依赖于时间的瞬态问题；有限元问题）；特征值问题；依赖于时间的瞬态问题；有限元法的计算机软件（专用软件、大型通用商业软件）法的计算机软件（专用软件、大型通用商业软件）第4页/共109页第五页，共109页。一、绪论(xln)l 1.4 有限元法的未来：有限元法的未来：l 为了真实地模拟新材料和新结构的行为，需要发展新的为了真实地模拟新材料和新结构的行为，需要发展新的材料本构模型和单元形式；材料本构模型和单元形式；l 为了
8、分析和模拟各种类型和形式的结构在复杂为了分析和模拟各种类型和形式的结构在复杂(fz)载载荷工况和环境作用下的全寿命过程响应，需要发展新的数荷工况和环境作用下的全寿命过程响应，需要发展新的数值分析方案；值分析方案；l 有限元软件和有限元软件和CAD/CAM/CAE等软件系统共同集成完整等软件系统共同集成完整的虚拟产品发展（的虚拟产品发展（VPD）系统）系统第5页/共109页第六页，共109页。二、有限元法理论基础-加权余量(y lin)法和变分原理l 2.1 微分方程的等效积分微分方程的等效积分(jfn)形式和加权余量法形式和加权余量法l2.1.1 微分方程的等效积分微分方程的等效积分(jfn)
9、形式：形式：l上式满足微分方程组和边界条件：上式满足微分方程组和边界条件：l1.1.2 微分方程等效积分微分方程等效积分(jfn)的的“弱弱”形式：形式：l通过适当提高对任意函数通过适当提高对任意函数v的连续性要求，以降低微的连续性要求，以降低微分方程场函数分方程场函数u的连续性要求所建立的等效积分的连续性要求所建立的等效积分(jfn)形式。形式。第6页/共109页第七页，共109页。二、有限元法理论(lln)基础-加权余量法和变分原理l 2.1 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法l2.1.3 基于等效积分形式的近似基于等效积分形式的近似(jn s)方法方法加
10、权余量法：加权余量法：l 假设未知函数假设未知函数u可以采用近似可以采用近似(jn s)函数表示，近似函数表示，近似(jn s)函数是一族有待定参数的已知函数，一般形式为：函数是一族有待定参数的已知函数，一般形式为：l 通常通常n取有限项的近似取有限项的近似(jn s)解不能精确满足微分方程解不能精确满足微分方程式和边界条件，故产生残差式和边界条件，故产生残差R，即：，即：l 把等效积分形式写成余量形式：把等效积分形式写成余量形式：第7页/共109页第八页，共109页。二、有限元法理论(lln)基础-加权余量法和变分原理l 2.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权
11、余量法l2.2.3 基于基于(jy)等效积分形式的近似方法等效积分形式的近似方法加权余量法：加权余量法：l 采用使余量的加权积分为零来求微分方程近似解的方采用使余量的加权积分为零来求微分方程近似解的方法称为加权余量法。法称为加权余量法。l 根据对权函数根据对权函数W的不同选择可得到不同的加权余量计的不同选择可得到不同的加权余量计算方法，常用的方法有：算方法，常用的方法有：l配点法：配点法：l子域法：在子域法：在n个子域内个子域内W=I，在子域意外，在子域意外W=0。即强迫余量。即强迫余量在在n个子域的积分为零。个子域的积分为零。l最小二乘法：最小二乘法：使使 最小，即最小，即 。l力矩法：力矩
12、法：第8页/共109页第九页，共109页。二、有限元法理论基础(jch)-加权余量法和变分原理l 2.2 微分方程的等效积分形式和加权余量法微分方程的等效积分形式和加权余量法l2.2.3 基于等效积分形式的近似方法基于等效积分形式的近似方法加权余量法：加权余量法：l伽辽金法：取伽辽金法：取W=N，即简单地利用，即简单地利用(lyng)近似解的近似解的试探函数序列作为权函数，等效积分形式：试探函数序列作为权函数，等效积分形式：l 近似解变分为：近似解变分为：l 使使l 加权余量法可以用于广泛的方程类型，选择不同加权余量法可以用于广泛的方程类型，选择不同的权函数，可以产生不同的加权余量法；通过采用
13、等效的权函数，可以产生不同的加权余量法；通过采用等效积分的积分的“弱弱”形式，可以降低对近似函数连续性的要求。形式，可以降低对近似函数连续性的要求。如果近似函数取自完全的函数系列，并满足连续性要求，如果近似函数取自完全的函数系列，并满足连续性要求，当试探函数的项数不断增加时，近似解可趋于精确解。当试探函数的项数不断增加时，近似解可趋于精确解。第9页/共109页第十页，共109页。二、有限元法理论基础-加权余量(y lin)法和变分原理l 2.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法l2.3.1线性、自伴随微分线性、自伴随微分(wi fn)方程变分原理的建立：方程变分原理的建立：l 线性、自伴随
14、微分线性、自伴随微分(wi fn)算子：算子：l 若微分若微分(wi fn)方程：方程：lL为微分为微分(wi fn)算子，若算子，若 ,则为线则为线性。性。lL(u)与任意函数的内积：与任意函数的内积：l若若 ，则算子为自伴随的。，则算子为自伴随的。l 泛函的构造：泛函的构造：l 原问题微分原问题微分(wi fn)方程和边界条件：方程和边界条件：l与上式等效的伽辽金法：与上式等效的伽辽金法：l若：若：，其中：，其中：为原问题为原问题的泛函。的泛函。第10页/共109页第十一页，共109页。二、有限元法理论基础(jch)-加权余量法和变分原理l 1.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法l2
15、.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立：线性、自伴随微分方程变分原理的建立：l泛函的构造：泛函的构造：l 原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界金法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分等于零，亦即泛函取驻值。反之，条件等效于泛函的变分等于零，亦即泛函取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足如果泛函取驻值则等效于满足(mnz)问题的微分方程问题的微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效积分的伽辽和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效积分的伽辽金提法得到的，并称这样的
16、到的变分原理为自然变分原金提法得到的，并称这样的到的变分原理为自然变分原理。理。第11页/共109页第十二页，共109页。二、有限元法理论基础(jch)-加权余量法和变分原理l 2.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法l2.3.1线性、自伴随微分方程变分原理的建立：线性、自伴随微分方程变分原理的建立：l 泛函的极值性：泛函的极值性：l 对于对于2m阶微分方程，含阶微分方程，含0m-1阶导数的边界条件称阶导数的边界条件称为强制边界条件，近似函数应事先满足。含为强制边界条件，近似函数应事先满足。含m2m-1阶导阶导数的边界条件成为自然数的边界条件成为自然(zrn)边界条件，近似函数不必事边界条
17、件，近似函数不必事先满足。先满足。l设近似场函数设近似场函数 ，则，则l其中，其中，是真正的泛函，是真正的泛函，是等效积分伽辽金提法的是等效积分伽辽金提法的弱形式，应有：弱形式，应有：l 第12页/共109页第十三页，共109页。二、有限元法理论基础-加权余量(y lin)法和变分原理l 2.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法l2.3.2 里兹方法：里兹方法：l 设未知函数的近似解由一族带有待定参数的试探设未知函数的近似解由一族带有待定参数的试探函数来近似表示，即：函数来近似表示，即：l 泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参泛函的变分为零相当于将泛函对所包含的待定参数进行全微分，并
18、令所得方程数进行全微分，并令所得方程(fngchng)等于零，即：等于零，即：l 由于由于 是任意的，满足上式时必然有是任意的，满足上式时必然有l都等于零。这是与待定系数都等于零。这是与待定系数a的个数相等的方程的个数相等的方程(fngchng)组，用以求近似解的经典方法叫做里兹法。组，用以求近似解的经典方法叫做里兹法。l 里兹法的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变里兹法的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变分的最好解，显然近似解的精度与试探函数的选择有关。分的最好解，显然近似解的精度与试探函数的选择有关。第13页/共109页第十四页，共109页。二、有限元法理论基础-加权余量(y lin)法和
19、变分原理l 2.3 变分原理和里兹方法变分原理和里兹方法l2.3.2 里兹方法：里兹方法：l 当当n趋于无穷时，近似解收敛于微分方程精确解的趋于无穷时，近似解收敛于微分方程精确解的条件如下：条件如下：l试探函数应取自完备函数系列试探函数应取自完备函数系列(xli)。满足此要求的。满足此要求的试探函数称为是完备的；试探函数称为是完备的；l试探函数应满足试探函数应满足 连续性要求，即表示泛函的场函连续性要求，即表示泛函的场函数最高的微分阶数是数最高的微分阶数是m时，试探函数时，试探函数0m-1阶导数应是阶导数应是连续的，以保证泛函中的积分存在，满足此要求的试探连续的，以保证泛函中的积分存在，满足此
20、要求的试探函数称为是协调的。函数称为是协调的。第14页/共109页第十五页，共109页。二、有限元法理论(lln)基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本弹性力学的基本(jbn)方程和变分原理方程和变分原理l2.4.1 弹性力学基本弹性力学基本(jbn)方程的矩阵形式：方程的矩阵形式：l平衡方程：平衡方程：l 弹性体弹性体V域内任一点沿坐标轴域内任一点沿坐标轴x,y,z方向的平衡方方向的平衡方程为：程为：l平衡方程矩阵形式：平衡方程矩阵形式：第15页/共109页第十六页，共109页。二、有限元法理论基础-加权余量(y lin)法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性
21、力学的基本方程和变分原理l2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式弹性力学基本方程的矩阵形式(xngsh)：l几何方程几何方程应变与位移关系：应变与位移关系：l 在微小位移和微小变形情况下，略去位移导数的在微小位移和微小变形情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的关系为：高次幂，则应变向量和位移向量间的关系为：l几何方程的矩阵形式几何方程的矩阵形式(xngsh)为：为：第16页/共109页第十七页，共109页。二、有限元法理论基础(jch)-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理l2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵弹性力学基本方程的
22、矩阵(j zhn)形式：形式：l物理方程物理方程应力与应变关系：应力与应变关系：l 弹性力学中应力弹性力学中应力-应变之间的转换关系也称弹性应变之间的转换关系也称弹性关系。对各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表关系。对各向同性的线弹性材料，应力通过应变的表达式可用矩阵达式可用矩阵(j zhn)形式表示为：形式表示为：l 其中，其中，D为弹性矩阵为弹性矩阵(j zhn)，它完全取决于弹，它完全取决于弹性体材料的弹性模量和泊松比。性体材料的弹性模量和泊松比。第17页/共109页第十八页，共109页。二、有限元法理论(lln)基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学弹性力学(l xu)的基本
23、方程和变分原理的基本方程和变分原理l2.4.1 弹性力学弹性力学(l xu)基本方程的矩阵形式：基本方程的矩阵形式：l力的边界条件：力的边界条件：l 弹性体在边界上单位面积的内力等于在边界上已弹性体在边界上单位面积的内力等于在边界上已知弹性体单位面积上作用的面积力，即：知弹性体单位面积上作用的面积力，即：l设边界外法线的方向余弦为设边界外法线的方向余弦为 ，则边界上弹性，则边界上弹性体的内力为：体的内力为：l l边界条件矩阵形式为：边界条件矩阵形式为：第18页/共109页第十九页，共109页。二、有限元法理论基础-加权余量(y lin)法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力
24、学的基本方程和变分原理l2.4.1 弹性力学基本方程的矩阵形式：弹性力学基本方程的矩阵形式：l几何几何(j h)边界条件：边界条件：l 弹性体在边界上单位面积的内力等于：弹性体在边界上单位面积的内力等于：l l边界条件矩阵形式为：边界条件矩阵形式为：l 把边界力学方程记为一般形式，则有：把边界力学方程记为一般形式，则有：第19页/共109页第二十页，共109页。二、有限元法理论(lln)基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程(fngchng)和变分原理和变分原理l2.4.1 弹性力学基本方程弹性力学基本方程(fngchng)的矩阵形式：的矩阵形式：l弹性体应
25、变能和余能：弹性体应变能和余能：l 单位体积的应变能（应变能密度）为：单位体积的应变能（应变能密度）为：l l 应变能是个正定函数，只有当弹性体内所有的应变能是个正定函数，只有当弹性体内所有的点都没有应变时，应变能才为零。点都没有应变时，应变能才为零。l 单位体积的余能（余能密度）为：单位体积的余能（余能密度）为：l 余能也是正定函数，在线弹性力学中弹性体的余能也是正定函数，在线弹性力学中弹性体的应变能等于余能。应变能等于余能。第20页/共109页第二十一页，共109页。二、有限元法理论(lln)基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理(y
26、unl)l2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式：弹性力学基本方程的张量形式：l平衡方程：平衡方程：l 张量形式的平衡方程为：张量形式的平衡方程为：l l l 其扩展形式为：其扩展形式为：第21页/共109页第二十二页，共109页。二、有限元法理论基础-加权余量(y lin)法和变分原理l 2.4 弹性弹性(tnxng)力学的基本方程和变分原理力学的基本方程和变分原理l2.4.2 弹性弹性(tnxng)力学基本方程的张量形式：力学基本方程的张量形式：l几何方程：几何方程：l 张量形式的几何方程为：张量形式的几何方程为：l l l 其扩展形式为：其扩展形式为：第22页/共109页第二十三页，共1
27、09页。二、有限元法理论(lln)基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理(yunl)l2.4.2 弹性力学基本方程的张量形式：弹性力学基本方程的张量形式：l物理方程：物理方程：l 张量形式的物理方程为：张量形式的物理方程为：l l l 其扩展形式为：其扩展形式为：第23页/共109页第二十四页，共109页。二、有限元法理论基础(jch)-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学弹性力学(l xu)的基本方程和变分原理的基本方程和变分原理l2.4.2 弹性力学弹性力学(l xu)基本方程的张量形式：基本方程的张量形式：l力的边界条件：力的边
28、界条件：l 张量形式的力的边界条件为：张量形式的力的边界条件为：l l l 其扩展形式为：其扩展形式为：第24页/共109页第二十五页，共109页。二、有限元法理论(lln)基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理l2.4.3 平衡方程和几何方程的等效积分平衡方程和几何方程的等效积分“弱弱”形式形式l虚位移原理：虚位移原理：l 平衡方程和力边界条件为：平衡方程和力边界条件为：l l 其等效积分为：其等效积分为：l 经分部积分后的等效积分经分部积分后的等效积分“弱弱”形式为：形式为：l 虚功是外力和内力分别虚功是外力和内力分别(fnbi)在虚
29、位移与之对应的虚在虚位移与之对应的虚应变上所作的功，称为虚位移原理。应变上所作的功，称为虚位移原理。第25页/共109页第二十六页，共109页。二、有限元法理论(lln)基础-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程(fngchng)和变分原理和变分原理l2.4.3 平衡方程平衡方程(fngchng)和几何方程和几何方程(fngchng)的的等效积分等效积分“弱弱”形式形式l虚应力原理：虚应力原理：l 几何方程几何方程(fngchng)和位移条件为：和位移条件为：l l 其等效积分为：其等效积分为：l 经分部积分后的等效积分经分部积分后的等效积分“弱弱”形式为：形式
30、为：l 上式第一项代表虚应力在应变上所作的功，第上式第一项代表虚应力在应变上所作的功，第二项代表虚位移约束反力在给定位移上所作的虚功，二项代表虚位移约束反力在给定位移上所作的虚功，称为虚应力原理。称为虚应力原理。第26页/共109页第二十七页，共109页。二、有限元法理论基础(jch)-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程(fngchng)和变分原理和变分原理l2.4.4 线弹性力学的变分原理线弹性力学的变分原理l最小位能原理：最小位能原理：l 系统的总位能是弹性体变形位能和外力位能之和：系统的总位能是弹性体变形位能和外力位能之和：l l l l 在所有区域内连
31、续可导的并在边界上满足给定位移条件在所有区域内连续可导的并在边界上满足给定位移条件式的可能位移中，真实位移使系统的总位能取驻值。即在所式的可能位移中，真实位移使系统的总位能取驻值。即在所有可能位移中，真实位移使系统总位能取最小值，因此称为有可能位移中，真实位移使系统总位能取最小值，因此称为最小位能原理。最小位能原理。第27页/共109页第二十八页，共109页。二、有限元法理论基础(jch)-加权余量法和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理l2.4.4 线弹性力学的变分原理线弹性力学的变分原理l最小余能原理：最小余能原理：l 系统的总位能是弹性体余能和外力
32、余能之和：系统的总位能是弹性体余能和外力余能之和：l l l l 在所有在弹性体内满足平衡方程，在边界上满在所有在弹性体内满足平衡方程，在边界上满足力的边界条件的可能盈利中，真实应力足力的边界条件的可能盈利中，真实应力(yngl)使使系统的总余能取驻值，真实位移使系统总位能取最小系统的总余能取驻值，真实位移使系统总位能取最小值类同步骤，证明在所有应力值类同步骤，证明在所有应力(yngl)中，真实应力中，真实应力(yngl)使系统总余能取最小值，因此称为最小余能使系统总余能取最小值，因此称为最小余能原理。原理。第28页/共109页第二十九页，共109页。二、有限元法理论基础(jch)-加权余量法
33、和变分原理l 2.4 弹性力学的基本方程和变分原理弹性力学的基本方程和变分原理(yunl)l2.4.4 线弹性力学的变分原理线弹性力学的变分原理(yunl)l弹性力学变分原理弹性力学变分原理(yunl)的能量上、下界：的能量上、下界：l 根据能量平衡，应变能应等于外力功，因此得到根据能量平衡，应变能应等于外力功，因此得到弹性系统的总位能与总余能之和为零：弹性系统的总位能与总余能之和为零：l l l l 利用最小位能原理利用最小位能原理(yunl)求得位移近似解的弹性求得位移近似解的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似的位移场在总体变形能是精确解变形能的下界，即近似的位移场在总体上偏小；利用最
34、小余能原理上偏小；利用最小余能原理(yunl)得到的应力近似解得到的应力近似解的弹性余能是精确解余能的下界，即近似的应力解在总的弹性余能是精确解余能的下界，即近似的应力解在总体上偏大。体上偏大。第29页/共109页第三十页，共109页。三、弹性(tnxng)力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式l3.2.1单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造l单元的位移模式和广义坐标：单元的位移模式和广义坐标：l 在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采在有限元方法中单元的位移模式或称位移函数一般采用多项式作为近似函数
35、，因为多项式运算简便，并且随着用多项式作为近似函数，因为多项式运算简便，并且随着项数增多，可以逼近任何一段函数曲线，三结点三角形单项数增多，可以逼近任何一段函数曲线，三结点三角形单元位移模式选取一次多项式：元位移模式选取一次多项式：l 矩阵形式矩阵形式(xngsh)l l l 称为位移模式，表示位移作为坐标称为位移模式，表示位移作为坐标x,y的函数中所包的函数中所包含的项次；含的项次；是待定系数，称之为广义坐标。是待定系数，称之为广义坐标。第30页/共109页第三十一页，共109页。三、弹性力学问题有限元方法(fngf)一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题
36、的有限元格式l3.2.1单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造l位移插值函数：位移插值函数：l 由广义坐标，可将位移函数表示成结点位移函数：由广义坐标，可将位移函数表示成结点位移函数：l l 其中：其中：称为单元的插值函数称为单元的插值函数或形函数。它具有如下性质：或形函数。它具有如下性质：l在结点上：在结点上：l单元中任一点插值函数之和等于单元中任一点插值函数之和等于1：l若插值函数是线性的，在单元内部若插值函数是线性的，在单元内部(nib)及单元的边界上及单元的边界上位移也是线性的，可由结点上的位移值唯一确定。位移也是线性的，可由结点上的位移值唯一确定。第31页/共109
37、页第三十二页，共109页。三、弹性力学问题有限元方法一般原理(yunl)和表达格式l 3.2 弹性弹性(tnxng)力学平面问题的有限元格式力学平面问题的有限元格式l3.2.1单元位移模式及插值函数的构造单元位移模式及插值函数的构造l应变矩阵和应力矩阵：应变矩阵和应力矩阵：l 确定了单元位移后，可利用几何方程和物理方确定了单元位移后，可利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力：程求得单元的应变和应力：式中，B为应变矩阵(j zhn)，S为矩阵(j zhn)。它们都为常量矩阵(j zhn)。第32页/共109页第三十三页，共109页。三、弹性力学问题有限元方法(fngf)一般原理和表达格式l
38、3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式l3.2.2利用最小位能利用最小位能(winng)原理建立有限元方程原理建立有限元方程l利用最小位能利用最小位能(winng)原理建立有限元方程：原理建立有限元方程：l 最小位能最小位能(winng)原理的泛函总位能原理的泛函总位能(winng)在平面问在平面问题中矩阵表达形式为：题中矩阵表达形式为：l 对离散模型，系统位能对离散模型，系统位能(winng)是各单元位能是各单元位能(winng)之和：之和：l将单元结点位移列阵用结构结点位移列阵表示：将单元结点位移列阵用结构结点位移列阵表示：第33页/共109页第三十四页，共109
39、页。三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达(biod)格式l 3.2 弹性弹性(tnxng)力学平面问题的有限元格式力学平面问题的有限元格式l3.2.2利用最小位能原理建立有限元方程利用最小位能原理建立有限元方程l利用最小位能原理建立有限元方程：利用最小位能原理建立有限元方程：l 令：令：l 和和 为单元刚度矩阵和单元等效结点载荷矩为单元刚度矩阵和单元等效结点载荷矩阵。阵。l 令：令：为结构整体刚度矩阵为结构整体刚度矩阵和结构结点载荷矩阵，则：和结构结点载荷矩阵，则：l 根据变分原理，泛函取驻值条件式它的一次变根据变分原理，泛函取驻值条件式它的一次变分为零，即：分为零，即：，从而得有限元求解
40、方程为：，从而得有限元求解方程为：第34页/共109页第三十五页，共109页。三、弹性力学(l xu)问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式l3.2.3 单元刚度矩阵单元刚度矩阵l单元刚度矩阵的形成：单元刚度矩阵的形成：l 由于应变矩阵对于由于应变矩阵对于3结点结点(ji din)三角形单元是三角形单元是常量阵，故：常量阵，故：l单元刚度矩阵的力学意义：单元刚度矩阵的力学意义：l 单元刚度矩阵中任一元素单元刚度矩阵中任一元素 的物理意义：当单的物理意义：当单元的第元的第j个节点位移为单位位移而其他结点个节点位移为单位位移而其他结点(
41、ji din)位移为零时，需在单元第位移为零时，需在单元第i个节点位移方向上施加的个节点位移方向上施加的结点结点(ji din)力的大小。单元刚度大，则使结点力的大小。单元刚度大，则使结点(ji din)产生单位位移所需施加的结点产生单位位移所需施加的结点(ji din)力就大。力就大。因此，单元刚度矩阵中的每个元素反映了单元刚度的因此，单元刚度矩阵中的每个元素反映了单元刚度的大小，称为刚度系数。大小，称为刚度系数。l 第35页/共109页第三十六页，共109页。三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达(biod)格式l 3.2 弹性力学弹性力学(l xu)平面问题的有限元格式平面问题的有限元
42、格式l3.2.4 单元等效结点载荷列阵单元等效结点载荷列阵l均质等厚单元自重（自重的等效结点载荷）：均质等厚单元自重（自重的等效结点载荷）：l均布侧压（侧压作用下的单元等效结点载荷）：均布侧压（侧压作用下的单元等效结点载荷）：lX向均布力（单元等效结点载荷）：向均布力（单元等效结点载荷）：lX方向三角形均布载荷（单元等效结点载荷）：方向三角形均布载荷（单元等效结点载荷）：l l 第36页/共109页第三十七页，共109页。三、弹性力学问题有限元方法一般(ybn)原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面弹性力学平面(pngmin)问题的有限元格式问题的有限元格式l3.2.5 结构刚度矩阵和结构结点
43、载荷列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成l单元刚度矩阵的转换单元刚度矩阵的转换l 刚度矩阵的转换表示为：刚度矩阵的转换表示为：l l 第37页/共109页第三十八页，共109页。三、弹性力学问题有限元方法一般原理(yunl)和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式l3.2.5 结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成l单元等效结点载荷列阵的转换单元等效结点载荷列阵的转换(zhunhun)l 单元等效结点载荷列阵的转换单元等效结点载荷列阵的转换(zhunhun)表示表示为：为：l l 单元等效结点载荷包括(boku)
44、体积力和面积力等的等效结点载荷。等效结点载荷列阵转换是将单元结点载荷列阵的阶数扩大到与结构结点载荷列阵同阶，并将单元结点载荷按结点自由度顺序入位。第38页/共109页第三十九页，共109页。三、弹性力学问题有限元方法(fngf)一般原理和表达格式l 3.2 弹性力学平面问题的有限元格式弹性力学平面问题的有限元格式(g shi)l3.2.5 结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成l结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成结构刚度矩阵和结构结点载荷列阵的集成l 计算中的集成只需计算单元矩阵元素后直接计算中的集成只需计算单元矩阵元素后直接“对号对号入座入座”地叠加到结构
45、刚度矩阵及结构载荷列阵即可：地叠加到结构刚度矩阵及结构载荷列阵即可：l l 第39页/共109页第四十页，共109页。三、弹性(tnxng)力学问题有限元方法一般原理和表达格式l 3.3 广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式l3.3.1 广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造l选择广义坐标有限元位移模式的一般原则选择广义坐标有限元位移模式的一般原则l广义坐标是结点场变量确定的，因此它的个数应与结广义坐标是结点场变量确定的，因此它的个数应与结点自由度数相等点自由度数相等(xingdng)。l选取多项式时，常数项和坐标的一次项完备。位移模选取多
46、项式时，常数项和坐标的一次项完备。位移模式中的常数项和一次项放映了单元刚体位移和常应变的式中的常数项和一次项放映了单元刚体位移和常应变的特性。特性。l多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。一般来说，对于单元边每边具有两以提高单元的精度。一般来说，对于单元边每边具有两个端结点的应保证一次完全多项式。个端结点的应保证一次完全多项式。l l 第40页/共109页第四十一页，共109页。三、弹性力学问题有限元方法(fngf)一般原理和表达格式l 3.3 广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式l3.3.1 广义坐标有限元位
47、移模式选择和插值函数构造广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造(guzo)l建立广义坐标有限元位移插值函数的一般步骤建立广义坐标有限元位移插值函数的一般步骤l以广义坐标为待定系数，给出单元内位移：以广义坐标为待定系数，给出单元内位移：l用单元结点位移表示广义坐标：用单元结点位移表示广义坐标：l以单元结点位移表示单元位移函数，得到单元插值函数以单元结点位移表示单元位移函数，得到单元插值函数矩阵：矩阵：l以单元结点位移表示单元应变，得到应变矩阵：以单元结点位移表示单元应变，得到应变矩阵：l 第41页/共109页第四十二页，共109页。三、弹性力学(l xu)问题有限元方法一般原理和表达格式l 3
48、.3 广义坐标有限元的一般格式广义坐标有限元的一般格式l3.3.2 广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造广义坐标有限元位移模式选择和插值函数构造l弹性力学问题有限元分析的执行步骤弹性力学问题有限元分析的执行步骤l 对结构进行离散。按问题的几何特点和精度要求等对结构进行离散。按问题的几何特点和精度要求等因素划分单元并形成网格；因素划分单元并形成网格；l形成单元的刚度矩阵和等效结点载荷形成单元的刚度矩阵和等效结点载荷(zi h)列阵；列阵；l集成结构的刚度矩阵和等效结点载荷集成结构的刚度矩阵和等效结点载荷(zi h)列阵；列阵；l引入强制（给定位移）边界条件；引入强制（给定位移）边界条件；l求
49、解有限元求解方程（线性代数方程组），得到结求解有限元求解方程（线性代数方程组），得到结点位移；点位移；l计算单元应变和应力；计算单元应变和应力；l进行必要的后处理。进行必要的后处理。l 第42页/共109页第四十三页，共109页。三、弹性力学问题有限元方法一般原理和表达(biod)格式l 3.4 有限元解的性质和收敛条件有限元解的性质和收敛条件l3.4.1 有限元解的收敛准则有限元解的收敛准则l完备性要求：如果完备性要求：如果(rgu)出现在泛函中场函数的最出现在泛函中场函数的最高阶导数是高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是内
50、场函数的试探函数至少是m次完全多项式。或者说次完全多项式。或者说试探函数中必须包括本身和直至试探函数中必须包括本身和直至m阶导数为常数的项；阶导数为常数的项；l协调性要求：如果协调性要求：如果(rgu)出现在泛函中的最高阶导出现在泛函中的最高阶导数是数是m阶，则试探函数咋单元交界面上必须具有阶，则试探函数咋单元交界面上必须具有l 连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至至m-1阶的连续性导数。阶的连续性导数。l 第43页/共109页第四十四页，共109页。四、单元与插值函数(hnsh)的构造l 4.2 一维单元一维单元l4.2.1 拉格朗日单元拉格朗日